在对比中明晰方法 在反思中深化概念——“平均数”教学分析

吴 青

（南通师范学校第二附属小学，江苏 南通 226001）

“平均数”是四年级上册统计单元中的内容，需要学生在经历用平均数反映一组数据总体水平的过程中，体会平均数的意义，掌握求简单平均数的方法，并能够运用平均数解决生活中的简单实际问题。

平均数是刻画一组数据集中趋势的一个统计量，它能够比较客观地反映出一组数据的总体水平，因此平均数在生活和生产中的应用非常多，比如平均成绩、平均温度、平均产量、平均年龄等。学生以后还将学习到中位数和众数这两个统计量，平均数是学生学到的第一个统计量，也是最为常见、应用范围最广、内涵最为丰富的一个统计量。

所以教师要关注平均数的教学，让学生深刻认识平均数的特点，理解平均数的内涵，掌握平均数的计算方法，并能够灵活地运用平均数来解决生活中的实际问题。

一、创设比赛情境，激活生活经验

平均数是怎样产生的？人们为什么要用平均数来表示一组数据的总体水平？

我们知道，数学知识都来源于生活实践，是人们对生活现象的分析和对实际问题思考的结晶。统计知识与生活的联系尤其紧密，我们在生产生活中经常会用到统计的方法来收集、整理、分析和描述数据，平均数更是在对两组数据进行比较的过程中产生出来的。所以教师在教学平均数的知识时，要创设优化的数学情境，让学生在情境中分析实际问题，感悟平均数的产生，理解平均数的意义，掌握平均数的计算方法，体会平均数的应用价值。

教材中安排了这样的例题：四年级第一小组的男、女生进行套圈比赛，每人套15 个圈。随后用两张条形统计图分别给出男、女生套中的个数（如图1），接下来让学生思考，“男生套得准一些还是女生套得准一些？你想怎么比？”

图1

这道例题是以男女生套圈比赛为素材，学生对于套圈游戏都是非常喜欢的，所以例题的素材贴近学生的生活，能够引起学生的共鸣，活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣。

在课堂教学时，教师可以创设生动有趣的比赛情境，以教材中提供的套圈比赛为素材，选出4 个男生和5 个女生来进行套圈比赛。教师可以在课堂上现场开展比赛，记录数据，用学生套圈的实际数据替换教材中例题的数据，现场生成实际问题。这样的情境创设，会让学生感觉更有真实感，更能激发学生的学习兴趣和探究欲望，也更能真切地认识到平均数的应用价值。但是，现场进行套圈比赛，会占用较多的课堂教学时间，可能会来不及完成教学任务。同时，现场生成的套圈数据，在计算平均数时可能会出现有余数的情况，这时课上更改数据显得有些弄虚作假、不真实，违背了统计的真正价值，而不改数据又会出现余数，让教师陷入尴尬的境地。所以，课上现场进行套圈比赛的做法，出发点很好，但是不太现实。

因此，可以在课前组织学生开展套圈比赛，记录数据，然后课上分析数据。由于数据是课前记录的，教师可以对个别数据进行调整，确保在计算时不出现问题。同时可以拍一段套圈比赛的视频片段，在课堂开始的导入部分播放，引发学生对课前比赛场景的回顾，从而创设出一个比赛的生活情境，让学生在优化的情境中进行探究，从而激发他们的学习兴趣和探究欲望。

二、对比呈现数据，激发学生思考

教材中的例题，以条形统计图的形式分别给出了男生和女生套圈的个数，然后让学生思考，“男生套得准一些还是女生套得准一些？你想怎么比？”

在教学中一般都是将男、女生的数据全部呈现出来，然后让学生进行思考、讨论，下面是课堂教学的一个片段：

【片段一】

师：同学们，现在老师请你们来当小裁判，请你判断一下，在这次比赛中是男生套得准一些，还是女生套得准一些？

生1：我觉得是女生套得准一些，因为女生中的吴×套中了10 个，套中的个数最多。

生2：我不同意，套中最多的是女生，最少的也是女生，刘×和沈×都只套中了4 个，所以我觉得不能认为女生套得准一些。

师：我们只比某一个人套中的个数，就来判断是女生套得准一些，你们觉得合理吗？

生：不合理。

师：那么应该怎么判断呢？

生3：男生的几个人套中的个数比较接近，水平差不多，而女生套中的个数相差较大，所以我觉得男生套得准一些。

生4：我不同意。我算了一下，男生一共套中了28 个，而女生一共套中了30 个，女生套中的个数比男生多，所以我觉得女生套得准一些。

师：女生套中的总数比男生多，所以认为女生套得准一些，你们同意吗？

生5：不同意，因为男生和女生的人数不相等。男生只有4 个人，而女生有5 个人。

师：这位同学真会观察，发现了男女生人数不相等，那么比总数公平吗？

生：不公平。

师：比某一个人套中的个数不合理，人数不相等时比总数也不公平。那么怎样比才公平呢？

在这个教学片段中，学生通过观察男、女生的套圈数据，分别提出了比某一个人套中的个数、比数据之间的差异、比套中的总数等几种比较方法，但都被否定掉了，于是他们继续讨论、研究。

教过这个内容的教师都知道，要让学生通过自己的研究，得到“比较平均每个人套中的个数”这种方法，是非常困难的，需要教师给予一定的提示、引导。所以，也有教师把这个难点分散，分成几次来进行比较，逐步得出最终的方法，我们来看下面的教学片段：

【片段二】

第一场比赛：男生4 人，每人都套中7 个；女生4 人，每人都套中6 个。

让学生比较，很显然是男生套得准一些。

第二场比赛：男生4 人，套中的个数分别为6、9、7、6；女生4 人，套中的个数分别为10、4、7、5。

学生发现，男生一共套中了28 个，女生一共套中了26 个，男生套得准一些。

第三场比赛：女生队又增派了一个同学，套中4 个，这时女生队能赢吗？

生1：现在女生一共套中了30 个，比男生多，所以女生队赢了。

生2：不同意，男生只有4 个人，而女生有5个人，人数不相等，所以这样比较总数不公平。

师：对啊，现在男女生人数不相等，比总数就不公平了，那应该怎么比较呢？

生3：我们可以让男生队也再增派一个同学，这样大家都是5 个人，就可以比较总数了。

师：这是一个办法，不过，现在男生就是4个人，不能增加人数，怎么办呢？

生4：我想，能不能像第一场比赛那样，把男生4 个人套中的个数都变得一样多，把女生5 个人套中的个数也都变得一样多，这样就可以比较了。

师：你想得真好！把男生4 个人套中的个数都变得一样多，这时候的个数就是男生平均每人套中的个数。

在这个教学片段中，教师把学生思考的难点进行了分解，先后进行了三场比赛，学生逐渐意识到，当人数不相等时，可以把每个人套中的个数变得一样多，这样就可以比较了。此时，平均数的概念已经呼之欲出，接下来再引出“平均数”的概念也就水到渠成了，学生对平均数也会有更加深刻的认识。

上面这两种不同的教学方法，有着各自的特点。对于片段一的教学方法来说，教师几乎完全放手让学生进行讨论、研究，教师要做的工作就是及时引导学生对提出的比较方法进行深入反思、质疑，从而不断的否定，最终逐步得出正确的比较平均数的方法。在这个教学过程中，学生是课堂的主人，是学习的主体，学生的积极能动性得到了充分地展示。但是，研究的难度很大，所以中间需要经过比较长时间的讨论、纠结，才能慢慢得出正确的方法。

而对于片段二的教学方法来说，学生在这三场比赛的指引下，能够比较轻松的得出用平均数来比较的方法，但是，教师所安排的这三场比赛，带有非常明显的暗示性，学生独立思考的成分不高，学生的主体性没有得到充分体现。

在教学中，我们可以兼顾以上两种方法，既保证学生的学习主体性地位，又能有效的缩短学生思考的时间，让学生少走弯路，节省宝贵的课堂教学时间，达到最佳的教学效果。

三、探究计算方法，深刻理解内涵

平均数是把一组数据变得一样多之后得到的数据，要想把一组数据变得一样多，我们用的最多的方法就是移多补少，即把较大的数据移一部分给较小的数据，最终使得它们同样多；同时，我们也可以把所有的数据全都合并起来，再进行平均分，从而确保所有的数据都一样多。因此，我们求一组数据的平均数，也就有移多补少和先合后分这两种不同的方法，教材中的例题，也在引导学生分析的基础上，给出了这两种解答方法。

（一）抓住平均数的内涵理解移多补少法

移多补少法，就是把一组数据中较大的数据移一部分给较小的数据，经过这样的几轮操作之后，最终使得它们全都变得同样多，这个同样多的数据就是这组数据的平均数。这种方法和平均数的内涵是完全一致的，是平均数内涵的直接体现。在教学时，我们要始终抓住平均数的内涵，帮助学生深刻理解移多补少，加深对平均数内涵的认识。

在教学例题时，当学生说出要把4 个男生套中的个数都变得一样多，也就是要得到男生平均每人套中的个数，可以让学生想一想，怎么才能把每个男生套中的个数变得一样多？学生通过思考和讨论交流之后发现，把多的移给少的，这样就可以变得一样多了，这就是移多补少的实质。我们一定要让学生自己动手操作，经历移多补少的过程，加深对移多补少方法的理解，同时能更加深刻地认识平均数的内涵。

课堂上，笔者给学生提供可操作的学具，在男生套圈统计图上用棋子表示数量的多少，棋子可以随意移动，学生通过亲手移一移，并最终把男生套中的数据变得一样多，感受平均数的涵义。同时，棋子移动之后，统计图上会留下棋子初始位置的痕迹，也就是原始数据，通过这些初始痕迹，帮助学生理解刚才的移动并不是把这些棋子真正拿走，而仅仅是采用“移多补少”的方式得到平均数，移多补少的过程是一个虚拟的过程，每个男生套中的个数仍然是原来那么多，并没有变多，也没有变少，我们只是假想着把他们变得一样多而已，从而认识到平均数与真实数据的区别。

通过移多补少的操作过程学生发现，把最多的移给最少的，经过几次操作之后才变得一样多，得到平均数，所以平均数一定比最多的数据要小，比最少的数据要大，平均数在最大数与最小数之间。而且原始数据中一定有一部分数据比平均数大，还有一部分数据比平均数小，平均数处于原始数据靠近中间的位置，这才是“平均”的真正涵义。

此外，把超出平均数的那部分棋子移到比平均数少的数据上去，因此在一组数据中，比平均数多的部分和比平均数少的部分应该正好相等。这个规律，在有些思考题中有着独特的作用。比如这道题目：“两组学生进行跳绳比赛，平均每人每分钟跳152 次。甲组有学生6 人，平均每人每分钟跳140 次。如果乙组学生平均每人每分钟跳160 次，那么乙组有学生多少人？”用常规的思路，这道题目需要用方程来解答，而且方程比较复杂，解方程的过程也很麻烦。如果从平均数“移多补少”的内涵来分析这道题，就简单多了。甲组学生的平均数比两组的总平均数要少，那么甲组一共比平均数少跳的次数，应该就正好等于乙组一共比平均数多跳的次数，因此列式为（152-140）×6÷（160-152），从而可以方便的求出乙组有学生9 人。

抓住平均数的内涵来理解移多补少法，不仅可以直观的得到平均数，而且还能让学生更深刻的理解平均数的内涵，认识平均数的特点。

（二）紧扣平均数的本质掌握先合后分法

通过移多补少的操作来得到平均数的方法，比较适合于数据比较少，并且数据之间相差不大的情况，如果一组数据比较多，或者数据之间相差较大，这时移多补少法就比较麻烦了，所以需要采用计算的方法。

课堂教学时，在学生采用移多补少的方法得到男生套中的平均数之后，让学生继续思考，有没有其它方法可以得到男生的平均数了？除了移多补少之外，还有什么方法可以使得男生套中的个数都变得一样多？对了，在平均分的时候，分得的每一个数量全都一样多。因此我们可以把男生套中的个数全都合并在一起，然后再平均分，这样就会变得一样多。这就是先合后分的计算方法，是计算平均数时最常用的方法。

计算之后，引导学生回顾反思先合后分的计算过程，理解平均分得到的数量一样多，也就符合平均数的内涵要求，体会平均数概念中的“平均”二字，与平均分中的“平均”之间的联系，从而加深对平均数内涵的理解，进一步掌握先合后分的计算方法。

（三）通过对算法的对比加深对平均数内涵的认识

移多补少和先合后分这两种方法都可以得到一组数据的平均数，但是它们的侧重点各不相同，在学生掌握了两种方法之后，我们需要对这两种方法进行对比分析，从而帮助学生加深对平均数内涵的认识，更加熟练地掌握这两种方法。

移多补少是用操作的方法得到一组数据的平均数，它适用于数据的个数比较少且数据之间相差不大的情况，如果数据比较多或者数据之间相差较大时，移多补少的过程就会比较麻烦，但是先合后分的计算方法对于任何情形都是适用的，只不过当数据较大时，计算会稍微麻烦一些。所以在遇到实际问题时，我们要根据数据的特点灵活选择合适的方法，在分析课堂练习题时，一定要让学生掌握判断的方法，选择最简便的方法来得到平均数。

既然先合后分的计算方法能够适用于任何情形，而移多补少法有较多的局限性，那么以后是不是就可以全都采用先合后分法来计算平均数，甚至在教学时也没有必要再分析移多补少法了，这样不是能够节省一些教学时间？其实不然，在有些情况下，采用移多补少的方法还是比先合后分法要简便一些。同时先合后分法重在结果，而移多补少法重在过程，在移多补少的操作过程中，学生能够直观地看出一组数据的平均数一定在最大数与最小数之间，一组数据中一定有一些数据比平均数大，也有一些数据比平均数小，而且比平均数多的部分与比平均数少的部分恰好同样多。对于平均数的这些特点，先合后分的计算方法无法直观地发现，只有在移多补少的过程中才能直观地看出，所以在教学时，我们应该要两种方法并重，而在解决实际问题时，要灵活选择合适的方法来得到平均数。

（四）两种方法的融合提升

先合后分法只是纯粹的机械计算，而移多补少法则注重过程的技巧性。如果实际问题中遇到5623、5625 和5618 这三个数时，移多补少法只关注三个数据之间的差，而无需理会这三个数有多大，采用移多补少法的过程与23、25和18 这三个数是一样的，但是采用先合后分法时，在计算方面就会稍微麻烦一些。

所以许多时候，我们会把两种方法结合起来，兼顾两种方法的优点，采用更加灵活方便的计算方法。比如上面的三个数，我们发现它们都超过5600，因此可以把超过5600 的部分截取出来，为23、25 和18，用先合后分法先计算这三个数的平均数是22，然后再加上5600，就可以得到原来三个数的平均数是5622。这种方法类似于移多补少法那样只关注条形统计图中数据直条顶端的差异，而暂时舍弃同样长的直条部分，同时又采用了先合后分的计算，把两种方法完美的融合在一起，使得我们的计算更加简便，更加灵活。

四、拓展引申对比，深化概念认知

在四年级上册，学生认识了平均数，知道可以用平均数来刻画一组数据的集中趋势，反映一组数据的总体水平。以后学生还会再认识中位数和众数。平均数、中位数和众数是比较常见的三个统计量，它们有各自的特点，在实际应用中有各自的使用场合。

对于四年级学生来说虽然还没有学到中位数和众数的知识。但是作为教师，我们需要对平均数、中位数和众数这三个统计量的各自特点以及它们之间的区别非常熟悉，这样才能在教学平均数时，引导学生正确认识平均数的特点，深刻理解平均数的内涵，从而为以后能够比较轻松的将中位数和众数融入到自己的知识体系中，对这三个统计量有更加深刻地认识。

根据以上的对比分析，在平均数教学时，我们要让学生认识到平均数的特点，知道平均数的存在性、唯一性、虚拟性与易变性，知道平均数和每一个数据都有关系，能够反映一组数据的整体水平。同时也要引导学生认识到，尽管每个数据的变动都会引起平均数的变动，但是当个别数据变动较大时，平均到每个数据上之后，平均数的变动相对比较小，因此平均数可以弱化个别数据的影响，这也是生产、生活中广泛运用平均数的一个原因。

平均数在生活和生产中的应用非常广泛，在课堂教学中，我们通过创设优化的生活情境，引导学生经历用平均数描述数据特征的过程，逐步掌握平均数概念的内涵、熟悉平均数的特点，能够熟练计算一组数据的平均数，从而更好的解决生活中的实际问题。