一类两端简单支撑弹性梁问题解的存在性

马亚薇, 马如云

(西安电子科技大学数学与统计学院, 西安 710126)

1 引 言

弹性梁是工程建筑的基本构件之一.在材料力学和工程物理中，人们常用四阶常微分方程边值问题来描述弹性梁的状态.源于这类问题的普遍性与重要性,不同边界条件下的梁方程解的存在性问题受到广泛关注,也出现了许多重要研究结果[1-12].

2015年,Vrabel[6]在h(x,y(x))关于y单调的条件下通过构造上下解方法研究了四阶边值问题

解的存在性,其中λ=k1+k2,k1,k2是两个常数且满足k20时,情况完全不同.2018年,Ma等[7]在上述文献的基础上运用新方法构造了Green函数,结合Elias公式研究了k1,k2均为正常数情形下四阶问题

(1)

解的存在性，得到以下结果:

本文进一步将文献[7]中的常数k1,k2推广到满足一定条件的函数,考虑问题

解的存在性，其中k1,k2∈C[0,1].本文总假设

本文的主要结果如下:

定理1.1假设(H1)成立.若问题(2)存在下解α和上解β满足α(x)≤β(x),x∈[0,1]，且f:{(x,s)|x∈[0,1],α(·)≤s≤β(·)}→R连续且满足f(x,s1)≤f(x,s2),α(x)≤s1≤s2≤β(x),x∈[0,1],则问题(2)存在一个解y(x)满足α(x)≤y(x)≤β(x),0≤x≤1.

2 预备知识

k1(x)k2(x)y,y∈D(L),

y″(0)=y″(1)=0}.

的Green函数为

其中

φ(t),ψ(t)分别是问题

(3)

(4)

的唯一解.

的Green函数,记为G2(x,s).

引理2.1(Sturm比较定理)[13]设x(t),y(t)分别是二阶线性齐次方程x″+q1(t)x=0,y″+q2(t)y=0的非平凡解,其中q1,q2∈C[0,1],q1(t)≤q2(t),t∈[0,1],且在[0,1]上的任一子区间内q1不恒等于q2.如果α,β∈[0,1]是x(t)的两个相邻零点,则y(t)在(α,β)内至少有一个零点.

引理2.2假设对于任意的x∈[0,1]有k1(x),k2(x)∈(0,π2),则

(i)φ(x)>0,x∈(0,1];

(ii)ψ(x)>0,x∈[0,1).

证明 众所周知,初值问题

由引理2.2及G1(x,s),G2(x,s)的表达式可知,G1(x,s)>0,G2(x,s)>0,∀(x,s)∈(0,1)×(0,1).可以验证,Ly=L2(L1)y,Ly=0的Green函数G(x,s)满足

(x,s)∈[0,1]×[0,1].

因此,G(x,s)>0,∀(x,s)∈(0,1)×(0,1).

3 非共轭和Elias公式

定义3.1[14]如果一个n阶线性常微分方程Ln[y]=y(n)+p1(t)y(n-1)+…+pn(t)y=0,pk(·)∈C[a,b],k=1,...,n的任个非平凡解在区间[a,b]上的零点个数都少于n,那么该方程被称为非共轭的,多重零点按其重数记.

考虑微分方程

Lny(x)+λy(x)=0,x∈[0,1]

(5)

其中Lny=0是非共轭的.Ln可以做如下Pólya分解:

Lny=ρn(ρn-1…(ρ1(ρ0y)′)′…)′.

对任意x∈[0,1],权函数ρi(x)>0,ρi(x)∈Cn-i,i=0,...,n,拟导数L0y=ρ0y,Liy=ρi(Li-1y)′,i=1,...,n.

由文献[14]可知,如果u是方程(5)的非平凡解,则它的任何一个拟导数的零点都是孤立的.拟导数L0u,...,Ln-1u被视作按循环顺序排列,即L0u排列在Ln-1u之后.令x1≤x2≤…≤xr表示以下述方式列出的[0,1]中拟导数的零点:

(a) 如果一个点是一个或多个阶数不间断的拟导数的零点,那么对这组零点只列出一次(即对这组零点使用同一个下标);

(b) 如果一个点是存在间断阶数拟导数的公共零点,那么对于分开的每一组不间断阶数的零拟导数都分别以不同的下标对这个零点进行一次标记.

引理3.2(Elias公式)[15]若方程Lny=0在[0,1]上是非共轭的,u是(5)的任意非平凡解,则N(u)≤n.

引理3.3[14]考虑方程

4 上下解

定义4.1如果函数α∈C4[0,1]满足

L(α(x))≤f(x,α(x)),x∈(0,1)

及α(0)≤0,α(1)≤0,α″(0)≥0,α″(1)≥0,则称α为问题(2)的下解.

定义4.2如果函数β∈C4[0,1]满足

L(β(x))≥f(x,β(x)),x∈(0,1)

及β(0)≥0,β(1)≥0,β″(0)≤0,β″(1)≤0,则称β为问题(2)的上解.

记

gα(x)=L(α(x))-f(x,α(x)),x∈[0,1]

(6)

gβ(x)=L(β(x))-f(x,β(x)),x∈[0,1]

(7)

vα(x)=α(0)w(x)+α(1)w(1-x)+

α″(0)χ(x)+α″(1)χ(1-x)

(8)

其中w(x),χ(x)分别是问题

L(y)=0,y(0)=1,y″(0)=y(1)=y″(1)=0

(9)

L(y)=0,y(0)=0,y″(0)=1,y(1)=y″(1)=0

(10)

的唯一解.

vβ(x)=β(0)w(x)+β(1)w(1-x)+

β″(0)χ(x)+β″(1)χ(1-x)

(11)

引理4.3(i) 若(H1)成立,则w(x)>0,x∈(0,1)；

(ii) 若h1,h2∈(0,π2),则χ(x)<0,x∈(0,1).

证明 (i) 我们断言当(H1)成立时算子

有以下形式的Pólya分解：

对任意x∈[0,1],权函数ρi(x)>0,i=0,...,4.事实上,定义线性算子Ti:D(Ti)→X,i=1,2,3，

及

其中

{y∈C2[0,1]:y(0)=y(1)=0}.

定义

则λi>0,i=0,1,2.计算可知T3可进行Pólya分解T3y=λ2(λ1(λ0y)′)′.由k1(x)

T1y=1×(1×(1×y)′)′,

因而由引理3.3可知

y(4)+(k1(x)+k2(x))y″=0

在[0,1]上是非共轭的,L4可做相应的Pólya分解.

现反设存在τ∈(0,1),使得

w(τ)=min{w(x)|x∈[0,1]}≤0.

(a) 若w(τ)=0，因w′(τ)=0,w″(0)=0=w(1)=w″(1),则可得N(w)≥5,与引理3.2矛盾.

(b) 若w(τ)<0，则存在a,b∈(0,1]使得w(x)<0,x∈(a,b),且w(a)=w(b)=0.设wθ为齐次边值问题

(ii) 由(10)式可知,χ(x)满足

L2χ=Z,χ(0)=0,χ(1)=0

(12)

其中Z满足

L1Z=0,Z(0)=1,Z(1)=0

(13)

当h1=r2,r>0时的解,计算可得

结合引理4.1,(8)式及(9)式可得vα(x)≤0,vβ(x)≥0,x∈[0,1].定义算子

T:C[0,1]→C4[0,1]，

则由(6)式可得

L(α)=f(x,α(x))+gα(x)，

及α(x)≤Tα(x),x∈[0,1].类似地，我们有β(x)≥Tβ(x),x∈[0,1].

以下引理是Schauder不动点定理的直接结果：

引理4.4[16]若存在常数M>0,使得|f(x,y)]≤M对任意的(x,y)∈[0,1]×R成立,则存在y(x)是满足问题(2)的解.

5 主要结果的证明

定义[0,1]×R上的函数

因F在[0,1]×R上连续有界,由引理4.4知存在y(x)满足边值问题

下证α(x)≤y(x)≤β(x),0≤x≤1.由算子L的线性,上下解的定义及f的单调性条件有

L(y(x)-β(x))=L(y(x))-L(β(x))≤

F(x,y(x))-f(x,β(x))≤0,

从而

0, x∈[0,1].

因此y(x)≤β(x),x∈[0,1].同理可证

L(y(x)-α(x))=L(y(x))-L(α(x))≥

F(x,y(x))-f(x,α(x))≥0,

0, x∈[0,1].

因此y(x)≥α(x),x∈[0,1].证毕.

注与问题(1)相比,本研究的难点在于无法得到Green函数的具体形式,因而运用Sturm比较定理对其性质进行分析.此外,由于无法计算Pólya分解的具体形式,我们不能直接运用Elias公式,因而需要再次运用Sturm比较定理并结合非共轭的重要性质，以满足Elias公式的条件.