基于EKF的车用永磁同步电机无电流传感器鲁棒控制

龙吟江，吴晓东，王锐松

(上海交通大学 机械与动力工程学院, 上海 200240)

0 引 言

在电动汽车行业，永磁同步电机(以下简称PMSM)已成为了电动汽车的主流电机之一，对其高性能控制策略的研究也成为众多学者关注的焦点，矢量控制是其中最具代表性的一项控制策略。矢量控制最早是1971年BLASHKE等人针对异步电机提出的[1]，其基本思想源于对直流电机的严格控制模拟。经过长时间发展，矢量控制理论不断完善，已经成为PMSM的主流控制策略。矢量控制的重点就是实时检测定子电流和转子的位置信息，以作为参考输入进行控制。通常地，PMSM既有电流传感器用于检测电流，也有位置传感器检测位置信息。而无传感器控制利用算法对相电流或者位置信息进行估计，代替传感器的检测值参与电机控制，具有节约成本、简化系统、提高可靠性的优势。

无传感器控制可以分为无位置传感器控制和无电流传感器控制，本文主要研究的是无电流传感器控制。无电流传感器控制不仅能简化系统结构，还能防止因为电流传感器故障带来的逆变器故障[2]和转矩脉动等问题。

对于无电流传感器而言，需要采用算法估计相电流经过坐标变换后的d、q轴电流。基于状态观测器的估计算法是一种通用性强而简洁的算法，即根据电机系统状态方程构建观测器，配置极点，根据观测值对状态变量(即电流)进行估计。文献[3]采用扩张状态观测器，相比普通的状态观测器，扩张状态观测器多出一维状态，利用这个多出的一维状态，可实现对未知变量(扰动)的重构或估计，从而将电阻在电机运行过程中可能发生变化(尤其是温度的影响)的情况考虑在内。

无电流传感器控制还采用模型参考自适应方法。模型参考自适应控制系统是设计适应机构使被控对象和已知参考模型的动态特性尽可能接近的一种自适应控制系统。文献[4]以三相异步电机系统为研究对象，基于相电流传感器故障但尚有一相可用的情况，设计了一种自适应观测器，对其他相电流进行估计，同时还提出了对定子电阻和磁链的估计策略。

还有其他无传感器控制方法，比如文献[5]利用基于电压超前的相位角来进行无电流传感器控制。此方法相比传统方法无电流环，从而省去了电流传感器，易于控制和实现，但精度和稳定性不足。文献[6]基于一相电流传感器和相电流特征，重构了各相相电流，并提出零电压矢量采样方法以改善重构电流盲区问题。文献[7]提出了一种基于算法重构的相电流估算方法，该方案在中高速工况下有着不错的性能，但是低速下效果不很理想。

针对无传感器控制方法，状态观测器方法受参数变化影响较大，模型参考自适应方法在自适应率的调整和选择上较为困难。本文引入扩展卡尔曼滤波(以下简称EKF)算法，该方法是在卡尔曼滤波器基础上，针对非线性系统的估计算法，通过取其一阶泰勒系数来近似线性系统。文献[8]应用EKF进行了电机同步电感、转子磁链及定子电阻的相关鲁棒性仿真实验和加速加载仿真实验，证实基于扩展卡尔曼滤波器的PMSM 无电流传感器矢量控制方法有较好的控制性能。文献[9]在无位置传感器控制中应用EKF，提出了一种新颖的过程，在基于扩展卡尔曼滤波器的PMSM驱动器中调整协方差矩阵，取得了良好的效果。EKF适用于非平稳的随机过程，具有较好的动态估计能力、良好的控制性能和鲁棒性强，在工程中应用广泛，是一种经过检验的有效的估计算法。

综上所示，本文将采用改进型EKF进行PMSM的无电流传感器控制算法设计，对d，q轴电流进行估计，使用估计值进行电机实时控制。通过多种不同工况测试，对算法估计效果进行了仿真验证。对于多个影响电机控制性能的参数进行仿真实验，验证了控制算法的鲁棒性。同时，相较于常规的运用EKF的无电流传感器控制方法，本文提出了一种引入额外观测变量的改进策略，进一步优化了电流估计效果。

1 PMSM模型设计

三相PMSM是一个复杂、强耦合的非线性系统，为了设计先进的算法和实现PMSM的良好控制，建立合适的模型就尤为重要。PMSM通常在d，q坐标系下进行控制，在此坐标系下能实现较好的解耦控制，且形式简洁。其电压方程：

式中：ud，uq分别为定子电压矢量在d，q轴上的分量；ω为转子角频率；p为微分算子；φd，φq分别为d，q轴磁链，磁链方程：

基于以下理想化假设：(1)采用Y形连接法使定子三相绕组对称分布；(2)忽略气隙磁场的影响，忽略涡流损耗和磁滞损耗，忽略绕组电阻和绕组电感等。PMSM转矩方程及动力学方程：

式中：Te为电磁转矩；TL为负载转矩；J为转动惯量；p为极对数；B为阻尼系数；φf为主磁链。

2 无传感器电流评估方法

2.1 基于EKF算法的无电流传感器控制

对于无电流传感器的PMSM系统，需要采用估计算法代替传感器测量值，本文采用EKF方法。

卡尔曼滤波算法利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计。EKF是在卡尔曼滤波器基础上针对非线性系统的估计算法，通过取其一阶泰勒系数来近似线性系统。在PMSM无电流传感器控制中，采用d，q轴电流和转速作为状态变量(也可适当选取状态变量用于无位置传感器)，得到电机状态方程：

(4)

对于凸极式PMSM，其Ld与Lq通常是不等的，定义η=Lq/Ld，电机的状态方程可以写为：

(5)

式(4)、式(5)中：id，iq，ω分别是d，q轴电流和转速，为状态变量；Rs为定子电阻；Ld，Lq为d，q轴电感；φf为磁链；p为极对数；J为转动惯量；TI为负载扭矩。

EKF数学模型：

式中：V(k)为系统噪声，W(k)为测量噪声，均为数学期望为0的高斯白噪声。

状态方程的雅克比矩阵：

实际应用通常为离散系统，设采样时间为Tc，则k时刻状态转移矩阵：

Fk≅I+FTc

(8)

EKF步骤：

1)预测阶段，得到下一时刻的状态变量估计和误差协方差矩阵：

2)更新阶段，计算卡尔曼增益矩阵，修正状态变量估计和误差协方差矩阵：

Pk=(I-kkHk)Pk/k-1

(13)

采用EKF的无电流传感器控制框图如图1所示，状态变量和输入变量与式(5)相对应，先进行先验估计，并计算卡尔曼增益，利用卡尔曼增益进行修正，得到最终估计结果。

图1 EKF算法框图

扩展卡尔曼滤波器设计中，协方差矩阵初值和噪声矩阵对于整体的收敛性能和估计效果有一定影响，需要进行适当的调节。本文先根据经验大致设定协方差矩阵初值和噪声矩阵，再通过仿真结果调整参数。

2.2 引入观测变量的EKF改进策略

基于EKF进行电机电流估计时，先验估计部分依赖于电机系统状态方程，因此先验估计完全由电机系统的特性和输入决定。由于EKF的非线性化误差和系统及输入的变化等原因，先验估计并不完全准确，故需要用测量反馈进行后验修正，避免估计结果不断偏离。

对于后验过程，式(12)表示的是测量反馈，其中的观测变量应是可以测量到的，用于修正先验估计。常规的基于EKF的无电流传感器控制方法，采用的是转速作为观测变量，对应观测矩阵H=[0 0 1]。用于修正的卡尔曼增益K与误差协方差矩阵相关，误差协方差矩阵反映了各个状态变量的统计特性和线性关系。由于矢量控制的解耦特性，我们认为三个状态变量d、q轴电流和转速的误差互不相关，协方差矩阵为对角矩阵，迭代的初值亦设置为对角矩阵。故由式(11)可知，Kk=[0 0g(k)]T,即只有第三行非0，从而更新阶段进行后验修正时，主要依据转速观测的残差，修正的状态变量也是转速一项。

为进一步提升后验修正性能从而提升EKF的电流估计效果，考虑引入体现电流特征的物理量进行观测，这里引入了电机的电磁转矩。电磁转矩的值可由负载扭矩和转速变化率计算得出，是可以测量的。电磁转矩作为观测变量。对于后验修正式(12)，其原本的观测变量：

y(k)=ω(k)

(14)

引入电磁转矩后变为：

y(k)=[ω(k)Te(k)]T

(15)

观测矩阵由原来的[0 0 1]变为：

H(k)=

3 仿真验证和分析

为了验证本文基于EKF算法进行无电流传感器控制的有效性，基于Simulink平台，搭建了电机模型及其控制系统，并应用EKF算法进行电流估计仿真实验。无电流传感器控制框图如图2所示。模型整体采用双闭环控制，外环为速度环，内环为电流环。将参考电流和转速与估计电流、测量转速相比较，进行双环PI控制，以调节转速和电流，并得到参考电压，指导SVPWM进行电机控制。

图2 PMSM无电流传感器控制框图

本文考虑更具有普遍性的d，q轴电感不等的凸极式PMSM，对应应采用最大转矩电流比(MTPA)的控制策略。对于传统的矢量控制包括id=0控制和最大转矩电流比控制，表贴式PMSM的d，q轴电感基本相同，在转矩表达式中不包含磁阻转矩，适合id=0控制；而凸极式PMSM的d，q轴电感不等，在转矩表达式中就会出现一部分磁阻转矩，最大转矩电流比控制(MTPA)能通过一定的方法利用该磁阻转矩，使得在输出同等转矩时的定子电流达到最小，进而减小损耗，提高电机的效率。

本文在以下几个方面进行仿真验证：(1)对比PMSM运行时的实际电流与估计电流，验证电流估计的有效性；(2)对比无电流传感器控制和常规控制方式的电机响应，验证控制性能；(3)对多个参数进行鲁棒性仿真实验，验证其鲁棒性。电机的参数设置及EKF算法参数设置如表1所示。

表1 电机模型和EKF算法参数设置表

3.1 电流估计效果验证

无电流传感器控制关键在于电流估计的准确性和有效性，本文在多个工况下对PMSM电流估计进行了仿真验证。本小节在不同期望转速和负载扭矩下，设置了多个阶跃加载的简单工况，以验证EKF进行电流估计的有效性。

使用EKF进行无电流传感器控制的估计误差结果如表2所示，估计误差采用的是整个仿真过程中误差的均方根值，括号中的为电流估计的稳态误差。

除了阶跃负载扭矩工况，本文设置了以下3种典型工况进行进一步验证：(1)变扭矩工况，期望转速为1 000 r/min，在0.2 s给予4 N·m的阶跃转矩, 0.3 s再加4 N·m的阶跃转矩, 0.4 s再加4 N·m的阶跃转矩；(2)变转速工况，期望转速为500 r/min，0.15 s上升至1 000 r/min，0.3 s上升至1 500 r/min，在0.2 s给予10 N·m的阶跃转矩；(3)斜坡负载工况，在1 000 r/min转速下，0.20 s到0.22 s负载扭矩由0上升至15 N·m，之后保持15 N·m。在这几个工况下，验证输入变化下电流估计效果。图3～图5分别显示了这三个工况下的d，q轴电流和转速估计效果。

由表2可以看出，对于相对简单的阶跃负载扭矩输入工况，其q轴电流估计的相对稳态误差在2%～5%，d轴电流估计的相对稳态误差约10%。EKF方法对于电流估计效果整体较好，尤其是稳态时估计精确。d，q轴电流估计误差在转速和扭矩由低到高的工况下，都保持较低的水平。高转速下动态响应稍差，d，q轴电流整体误差稍大，但稳态误差仍然较低，转速估计则几乎没有误差。对于输入变化的工况，使用EKF进行电流估计也保持了良好的估计水平，动态误差稍大，但整体估计效果仍然较准确，这也进一步说明了EKF方法进行电流估计的可靠性和有效性。

图4 基于EKF的变转速工况下电流估计效果

图5 基于EKF的斜坡负载工况下电流估计效果

对于存在的估计误差，一方面是由于EKF方法采用一阶泰勒系数作为近似，会产生一定的估计误差；另一方面，转速作为观测变量不能很好反映电流控制性能，使得EKF在修正环节性能提升有限。而高转速下，电流由转矩和转速共同作用，不同于低转速下主要取决于转矩，使得估计效果变差。同时，动态误差比稳态误差更大，这是转速变化率本身对电流控制有较大影响的缘故。对于转速作为观测变量不能很好反映电流控制性能的问题，本文提出改变观测变量的改进策略具有实际的意义。

3.2 基于EKF改进策略的验证

使用EKF进行电流估计的常规方法仅采用转速作为观测变量，后验修正有所不足，下文将采用改变观测变量的改进策略进行仿真，并与常规方法进行对比验证。添加电磁转矩作为额外的观测变量后，噪声矩阵R相应扩充为二维，这里设置R=[1,0;0,10]。仿真采用斜坡负载工况：期望转速为1 000 r/min，负载扭矩输入为斜坡负载，0.20～0.22 s负载扭矩由0上升至15 N·m，之后保持15 N·m，对比两种方法的估计效果。图6是基于改进EKF的电流估计仿真结果。

图6 基于改进策略的电流估计效果

对比图5和图6可以看出，相比于采用转速作为观测变量的常规方法，使用改变观测变量的改进策略时，d，q轴电流在转速上升过程中和稳态时估计误差均有所减小，总体估计均方根误差优化了30%左右。转速是状态变量中可以观测到的值，因而两者均有优异的估计效果，差别很小。同时，在改变观测变量的改进策略下，稳态时曲线更平直，即稳态时d，q轴电流波动更小，稳态响应性能也更好。总体而言，改进策略减小了估计误差，提升了响应性能，是一种有效的优化方法。

3.3 考虑参数变化的鲁棒性实验

在电机的实际控制中，各项参数和输入都存在着可能的变化和扰动，验证算法抵抗参数变化和干扰的能力，即鲁棒性也就十分重要。本文将基于改进策略的EKF算法无电流传感器控制系统，验证模型控制性能和估计效果对参数变化和输入变化的鲁棒性，主要包括对电感参数、定子电阻、转动惯量和负载扭矩。对于电感而言，由于饱和特性的影响，实际电感值并非保持恒定，而是与电流相关，需要验证其鲁棒性。实际的定子电阻值随温度升高而增加，不是定值。转动惯量是实际控制中相对电机轴的总体转动惯量，有的时候并非能得到准确值。对于负载转矩输入，实际车用电机采集的负载转矩多是转矩控制命令，而非实际负载需求转矩，因此电机响应可能存在延迟，同时转矩反馈也存在一些误差。本文对以上参数变化和输入变化的鲁棒性进行验证。仿真条件设置如下：期望转速为1 000 r/min，负载转矩设置为从0.20 s开始加载斜坡负载，在0.22 s时达到10 N·m，之后保持稳定。

首先，对于电感、定子电阻和转动惯量这三个电机内部参数进行鲁棒性实验。电感鲁棒性实验中，电机模型中的d，q轴电感在前0.3 s内保持标称值，0.3 s时突变为1.1倍标称值，0.4 s时突变为0.9倍标称值，而估计算法中维持标称值，用于模拟参数受到干扰时的情况，其余参数都保持标称值不变。定子电阻和转动惯量的鲁棒性实验也按照类似的设置。图7～图9分别显示了三个参数鲁棒性的典型仿真结果。为了突出参数变化和干扰前后d，q轴电流形态，图中只显示了电流0.15 s到0.5 s时的图象，即加载前后和参数变化的图象，省去了起动的部分。

图8 定子电阻参数变化影响测试

图9 转动惯量参数变化影响测试

由图7至图9可以看出，在电机内部参数变化的情况下，对于不同的参数，电流估计效果和电机的控制性能都得到了保持。在电感参数突变实验中，1.1倍标称值下，d，q轴电流的估计误差相比准确值分别增大了37.2%，29.1%；0.9倍标称值下，d，q轴电流的估计误差相比准确值分别增大了43.5%，41.6%。在定子电阻参数突变实验中，1.1倍标称值和0.9倍标称值下的上述数据则是24.8%，21.5%和15.3%，13.8%。在转动惯量参数突变实验中，1.1倍标称值和0.9倍标称值下的上述数据则是22.4%，13.5%和20.6%，9.6%。在参数变化后，估计误差也有所增大，这是因为真实电流发生变化，算法仍采用标称值，使得电流估计中先验估计部分不很准确，但经过EKF后验修正后，误差增加有限，说明EKF方法进行电流估计的效果有着较强的抵抗参数变化能力。在参数突变为1.1倍标称值和0.9倍标称值时，电感鲁棒性实验中d，q轴电流的真实值分别稍稍增大和减小，相比估计结果也是稍偏大和偏小。定子电阻鲁棒性实验则相反，这个趋势与式(5)是一致的。转动惯量鲁棒性实验中d，q电流真实值和误差的变化都不明显，这是因为这一项对应的动力学方程得到了较好的后验估计修正。

三者之中，电感变化时估计误差增大最多，同时稳态电流响应的偏移也最明显，说明基于EKF的无电流传感器控制系统对电感变化最为敏感。从状态方程出发可以解释其原因，三个参数均是影响状态方程的系数矩阵进而影响估计效果，定子电阻主要影响电压方程的电阻压降项，相对影响较小，转动惯量影响的是动力学方程的转速响应，但转速本身可以观测，后验估计值能得到较好的修正，因此估计误差增加幅度和真实值的波动都是最小的。而电感同时影响电压方程中的电阻压降项和电感项，先验估计偏离更多，估计误差相对增大更多。总体而言，对于电机内部参数的变化，电流估计效果仍然保持良好，电机响应的趋势和性能也保持和理想状态一致，具有良好的鲁棒性。

除了对电机内部参数的鲁棒性验证之外，作为电机输入变量的负载转矩的鲁棒性也很重要。本文设置了两种不同的工况以验证其鲁棒性：(1)期望转速设置为1 000 r/min，电机模型中的负载转矩时间为0.20～0.22 s，转矢由0上升至10 N·m的斜坡信号，估计算法中仍采用固定标称值，即0.2 s时施加10 N·m的阶跃转矩，这一设置是为了模拟实际转矩命令的响应延迟，仿真结果如图10所示；(2)电机模型输入的负载扭矩在前0.3 s内保持标称值，0.3 s时突变为1.1倍标称值，0.4 s时突变为0.9倍标称值，而估计算法中维持标称值，用于模拟干扰和误差，仿真结果如图11所示。

图10 负载反馈延迟影响测试

图10显示的是在1 000 r/min期望转速下的结果，id，iq估计误差相对常规情况变化了16.97%和26.50%，在较低转速500 r/min和较高转速2 000 r/min下也有接近的变化幅度，说明了实际转矩延迟响应的场景下的鲁棒性。图11显示负载转矩突变场景下的仿真结果。1.1倍标称值下，d、q轴电流的估计误差相比准确值分别增大了10.7%，31.7%；0.9倍标称值下，d，q轴电流的估计误差相比准确值分别增大了6.9%，27.6%。

相对常规情况而言，电流估计误差有所增大，主要是转速变化时误差增大，即动态误差增大，使得总体电流估计误差有所增大，但仍保持较低的误差水平。同时，电流响应变化相比上述内部参数更明显，这是因为是输入变量的直接改变，比状态方程系数改变的影响更为直接。且由于矢量控制中iq和电磁转矩强相关，因而iq的估计误差和响应变化都更大。以上两种实验均表明，在负载转矩变化的情况下，使用EKF方法仍然保持了良好的电流估计效果和控制性能，具有较好的鲁棒性。

总体而言，采用改进EKF方法进行电流估计，电机的参数和输入变化时，不论是电流估计效果还是整体控制性能，均得到了保持，基于EKF的PMSM无电流传感器控制具有良好的鲁棒性。

4 结 语

本文使用EKF进行电流估计，进行PMSM无电流传感器控制，起到了节约成本、简化系统的作用。针对具有普遍性的凸极式PMSM进行建模，在多个工况下，使用EKF算法进行仿真，取得了良好的估计效果和控制性能。对于电机的电感参数、定子电阻、转动惯量和负载扭矩进行了鲁棒性实验，说明了该算法在估计和控制上的良好鲁棒性。同时针对常规基于EKF算法策略的不足，通过引入负载转矩作为观测变量，提出了一种改变观测矩阵的改进策略，对整体估计效果进行了优化，并验证了其可行性。