关注教学基本问题

杨梓晨

教学基本问题即“教什么、为什么教、如何教”的问题，它是教师进行教学设计、教学实施的基础和前提。笔者以《最短路径问题》为例，探讨如何厘清数学教学基本问题，实施有效教学。

一、教什么

《最短路径问题》是人教版八年级数学上册第十三章（轴对称）的“课题学习”，教材通过讨论“牧人饮马”“造桥选址”两个问题，让学生学习如何利用轴对称、平移等知识转化问题，进而便捷地求解最短路径;涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”等。

在思考《最短路径问题》應该教什么时，教师可以从两方面思考。一是教学生学的内容，包括利用轴对称和平移的性质解决“牧人饮马”和“造桥选址”两类实际问题;求最短路径（转化为求两点之间的距离）的方法;化归转化、数形结合的思想方法;运用所学数学知识和方法解决实际问题的应用意识。二是教学生学的方法，包括观察、抽象（问题的本质、数学表示）的方法，通过寻找关键信息来建构未知与已知的联系，进而转化问题的方法，以及猜想、反思等学习方法。

由此，我们可以拟订本课的教学目标：知识方面，会通过作图求解两类最短路径问题，并能证明结论的正确性，加深对轴对称和平移性质的理解;能力方面，将实际问题抽象成数学问题的能力，作图能力，转化能力，利用数形结合分析、解决问题的能力，积累解决路径问题的经验，领会化归转化、数形结合的思想方法;素养方面，数学抽象，直观想象;情意方面，通过解决实际问题，体会数学与生活的联系、数学的应用价值及数学思想方法的魅力。

二、为什么教

“为什么教”即对数学知识学习的必要性和意义的理解，既包含对数学知识本身价值的理解，如数学发展的内在需要，社会发展的外在需要，数学的科学价值、应用价值、文化价值、审美价值等，又包含对学习数学知识的意义和目的的理解。这是教师创设教学情境、设计问题的依据。

《最短路径问题》作为课题学习要达成什么教育目的呢？一是让学生体会两点间线段最短、轴对称和平移的性质等的应用价值;二是培养学生抽象概括、化归转化、数形结合等数学思想方法。以上两点是提升学生学习兴趣、促进学生数学思维形成的基础。

三、如何教

“如何教”即对教学过程、学习活动的构想，以体现主体性、主动性和探索性为基本原则。

《最短路径问题》属于研究性学习，笔者的教学思路如下：首先呈现“牧人饮马”的问题情境，引导学生将实际问题抽象成数学问题，即直线[l]上的C点选在何处才能使“AC+CB”的值最小;接着引导学生将数学问题简单化，即将A、B两点在直线[l]同侧的情况转化为A、B两点在直线[l]异侧的情况;然后引导学生归纳解决问题的过程，梳理解决问题的方法，进而提出“造桥选址”的新问题，并引导学生用相似的方法加以解决;最后呈现练习题，进行巩固应用。

笔者在明确数学课程标准要求、教材设计意图、学生已有基础以及数学知识产生与发展历程的基础上，以“问题串”的形式搭建教学实施过程。问题一：“牧人饮马”问题如何用数学语言来表达？学生通过画图、用数学符号表达，把问题抽象为在直线[l]上求作一点C，使“AC+BC”最短的问题。问题二：我们学习过的与之相关的知识有哪些？师生共同整理得到“两点之间线段最短”“过直线外一点作已知直线的垂线，垂线段最短”等。问题三：如何解决这个问题呢？能否先解决一个与之相关的简单问题或特殊问题？学生很快想到A、B位于直线[l]异侧的情形，并练习解决一个这样的问题。问题四：能将“同侧”问题转化为“异侧”问题吗？转化的关键是什么？学生以小组为单位，通过想一想、画一画、试一试，找到了问题的关键“在[l]的另一侧找一点B'，使CB'=CB'”，并在教师引导下完成证明题目、总结问题解决过程、提炼转化方法的学习过程。问题五：“造桥选址”问题如何用数学语言表达？学生探究得出：当点N在b上的什么位置时，AM+MN+NB最小？（其中a和b为两条平行直线，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M）问题六：它能转化为前面已经解决的、我们熟悉的问题吗？学生回顾交流“牧人饮马”问题的解决方法及策略，找到了解决新问题的关键。问题七：如何应用这些新方法呢？教师呈现相关练习题，学生独立完成后，进行小组交流。

（作者单位：武汉市第十九初级中学）

责任编辑  刘佳