概率统计在保险中的应用

摘 要：保险作为一种以经济保障为基础的金融制度安排，以合同的形式实现投保人转移风险和理财计划的目标。保险公司为提高保险理赔效率，需要建立概率模型，对不确定的事件进行数理预测。本文重点阐述了概率统计在保险中的应用，综合描述了概率统计中随机变量、中心极限定理、大数定律的定义，并结合具体案例加以分析，深入探究概率统计在承保及保险理赔中的重要指导意义。同时，通过对实际情况的总结和归纳，为使概率统计更好地应用于保险实务中提供建议。

关键词：概率统计;保险;中心极限定理;大数定律;应用

本文索引：李诗琪.<变量 2>[J].中国商论，2022（06）：-102.

中图分类号：F842 文献标识码：A 文章编号：2096-0298（2022）03（b）--03

概率论与数理统计是基于大量同类随机变量的统计规律，对随机现象出现某一个结果可能性的大小做出描述的科学，在自然科学及经济工作中都有广泛的应用。随着金融市场的繁荣和发展，各式各样的保险业务如雨后春笋般涌现。自然灾害和意外事故是保险产生和发展的自然基础，决定了风险的存在，由于风险具有损害性和普遍性，且单一风险具有不确定性。因此，在一定时间和空间内，风险发生频率及损失程度只能被降低，却无法被彻底消除，人们通过转嫁风险，才能相对减小风险。保险作为风险管理的方式，需要估算风险发生的概率及损失率来作为开展业务、制定保费标准的依据，而概率统计恰恰能够研究风险不确定性在大数中呈现出的规律性。本文就保险中的概率统计模型及应用情况进行简单讨论。

1 随机变量与概率分布

在概率统计中，随机变量是随机事件的数量表现，随机变量的概率分布描述的是变量取值与相应概率之间的对应关系。意外的发生具有不确定性，因此在保险中，为了达到统计事件结果的目的，需要使用隨机变量及其分布描述由意外造成的损失的数量及损失可能性的大小。

例：某航运公司为4艘船舶投保，发生事故的船舶数目是一个随机变量，以X表示发生事故的船舶数目，X的可能取值是0、1、2、3、4，根据保险公司的统计，每种结果发生的概率如表1所示。

以上表达方式，是船舶发生事故的概率分布，在风险估计中，常常由大量统计数据抽象出可用数学公式描述的分布规律。保险理论中，一些随机变量近似服从于理论概率分布，其中常用的有正态分布、二项分布等，二项分布可用来计算n个投保个体中有k个个体需要理赔的概率，当信息量不足时，通常使用正态分布作为近似估计。正态分布是大数规律下的表现形态，在保险概率统计中发挥着重要的作用。

2 中心极限定理

棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设随机变量服从二项分布，则对任意实数y恒有：

此定理是概率论历史上第一个中心极限定理，专门针对二项分布，因此被称为“二项分布的正态近似”。保险公司可以运用此定理初步估算保险业务的盈利情况及预判承保某一保险业务时，是否会亏本。

2.1 确定公司盈亏情况

假设某保险公司有3000人参加保险，投保人需要每年缴纳保费10元，若被保险人死亡，保险受益人可以从保险公司领取2000元赔偿金。已有数据显示，人在一年内死亡的概率是0.001，不考虑保费以外的收入和赔偿金以外的支出，分析保险公司亏损的概率。解：

设表示一年内被保险人的死亡人数

死亡人数服从分布，保险公司的年保费收入为元，需要赔付的赔偿金为，利润为。

由中心极限定理可知，近似服从分布正态分布。

故保险公司亏本的概率几乎为0，此业务可以大力推广。

2.2 评估发展目标可行性

中心极限定理可以帮助保险公司估算达到目标利润值可能性的大小，评估发展目标的可行性。设该公司的目标年利润为20000元，公司想要了解能达到目标年利润的可能性为多大。

所以，该公司有87.6%的可能性达到年盈利20000元的目标。

2.3 核算偿付金额

假设保险公司想要保证年利润至少为20000元的概率不低于99%，计算可设的最大赔偿金数额。

设赔偿金为a元，则年利润为元，

由中心极限定理可知，上式等价于 解得，

因此，保险公司若想保证每年的利润不低于20000元的概率为99%，赔偿金不可超过1421.73元。从本例中可以看出，恰当运用概率统计中的中心极限定理，可以帮助保险公司对业务的盈亏情况进行预测，同时能根据已经统计出的不同风险的发生概率、公司自身盈利需求等制定相应的保费标准。

3 大数定律

大数定律描述的是大量重复随机事件的概率分布情况。当试验次数足够多时，大量随机现象由于偶然性的相互抵消，会呈现出一定的数量规律。保险中常用的大数定律为伯努利大数定律和切比雪夫大数定律。

3.1 伯努利大数定律

设为n次独立重复试验中，事件A发生的次数，是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意给定的>0，总有：

伯努利大数定律用数学方式证明了随机变量的频率稳定性，由定律可以看出，当事件数量足够多时，事件A发生的频率依概率收敛于事件发生的概率，证明了n足够大时，频率的稳定性。在保险经营中，损失频率指一定数量的危险单位在一定时间内发生损失的程度和次数。由伯努利大数定律可以看出，当保险标的的数目n足够大时，损失频率值趋于一个稳定值，即损失概率，而损失概率在保险公司制定保费、预估收益等环节中发挥着重要的参考价值。保险公司在估计某一类保险标的的损失概率前，往往需要先根据以往承保的数据计算损失频率，当观察次数足够多时，损失频率无限接近于损失概率，可被当作损失概率的近似估计值。

3.2 切比雪夫大数定律

设，，，…，为两两不相关的随机变量序列，且它们的期望值存在，记为（），每个随机变量的方差有界，即存在常数，使，， 则对，，特别是，若有相同的期望，则。

切比雪夫大数定律的意义在于，对同一随机变量进行n次观测，随着n的增加，所得观测值的平均值无限趋近于期望值的均值，若随机变量的期望相同，则观测值的平均值密集地分布在期望值附近。在保险经营中，要遵循收支相抵原则制定保费，就需要切比雪夫大数定律的运用。保险公司对某一个被保险人支付的赔偿金是不确定的，但当被保险人的数量足够多时，总支出即赔偿金的总额是基本确定的。保险公司为了实现收支平衡，会将总支出平均到每一个投保人身上，即形成总赔偿金等于纯保费总额。

该定理应用于保险业务中，相当于n个投保人同时投保n个保险标的，每个标的都有可能发生损失，且标的之间是否发生损失相互独立，每个投保人获得的赔偿金为（），则平均每位投保人得到的实际赔偿金可以表示为。由于标的相互独立，故随机变量也相互独立， 又因为的期望值都存在，所以赔偿金满足切比雪夫大数定律的基本条件。当投保人数n足够大时，每个被保险人所获赔偿金的均值等于每个被保险人获得赔偿金期望值的均值，代表保险公司向每个投保人收取的纯保费，因此平均每个被保险人所获赔偿金与纯保费相等。

例：有5000人参加某保险公司的人寿保险，根据公司以往经验，一个人在一年内死亡的概率为0.002，被保险人死亡后，受益人可获赔偿金2000元，纯保费应当如何制定？（）表示第i个保险受益人能领取到的赔偿金。的概率分布如表2所示。

根据切比雪夫大数定律，纯保费应当制定为4元。

本例中，假定风险独立且同分布，是对风险进行了简化。在现实问题中，风险并不一定同分布，不同的被保险人发生损失的概率不一定相同，保险公司要给付不同个体赔偿金的期望值也存在差異，这时保险公司对不同的投保人就不会采取损失均摊原则，而会通过估计被保险人风险水平，制定不同的保费标准和免赔额，实行差异化费率，这种方式仍将大数定律作为理论依据。

4 在保险实务中的应用

保险公司在运用概率统计的知识分析保险实务时，需要注意以下几点。

4.1 确保数据真实有效

保证数据的真实性和有效性，对损失概率等信息的估算需要基于真实有效的数据，来源不明、可靠性欠缺的数据会影响判断的准确性。

4.2 分组分析事故原因，技术手段解决问题

在分析前，按照事故发生的时间、类型、经济损失等对事故进行分组，有利于进一步分析事故发生的规律。数理统计虽可以反映出事故发生的原因，但解决问题仍然需要技术手段的支持。

4.3 注意事故调查的连续性和数量性

保险公司可以借助数理统计整理大量的事故信息，寻找事故的规律性，也能督促投保人消除保险标的的不安全因素和隐患，强化防灾防损工作的实施，从而科学地降低风险。大数定律同时要求保险公司保证事故调查的持续性和数量性，及时跟踪事故调查进度，讲求事故调查的实效性。

4.4 加强偿付能力监管，拓展承保业务量

当保险事故发生后，保险公司需要按照保险合同的规定，给付被保险人保险金，被保险人能否及时得到足额赔付是保险质量高低的体现，保险公司的偿付能力是决定被保险人能否享受应有权益的基础，也是公司能否长足稳定发展的关键。因此，保险公司需要重视对自身偿付能力的监管，估算未来可能的偿付风险，核算可能的偿付金额，积极寻求途径提高偿付能力，维护被保险人权益。

保险是将少数不幸个体发生的损失分摊给投保人，大数定律作为保险经营的数理基础，可以通过投保人人数的增加，将少量个体遭受损失的不确定性转化为大量单位下的可预测损失。因此，保险公司可以通过增加承保业务量来提高偿付能力和产品核心竞争力。

5 结语

在风险的基本含义中，损失的发生具有不确定性的状态，投保人想要将未来可能的风险转移给保险人，所以选择投保。概率统计的研究对象是事物发展的不确定性及其中可能隐藏的规律性。保险存在的基础恰好与概率统计的研究对象不谋而合，因此概率统计在保险发展中具有重要的指导意义。保险公司在处理实际问题时，需要重视概率论中大数定律的重要内涵，以此为数理基础，通过收集大量已有数据，科学建立保险产品模型，综合运用概率论及保险经济的相关知识，为保险业赢得更加广阔的发展空间。

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Application of Probability Statistics in Insurance

School of Statistics and Information， Shanghai University of International Business and Economics

Shanghai  201620

LI Shiqi

Abstract： As a kind of financial system arrangement based on economic security， insurance achieves the goal of transferring risk and financial plan of the insured in the form of contract. In order to improve the efficiency of insurance claims， insurance companies need to establish a probability model to predict uncertain events. This research focuses on the application of probability statistics in insurance， comprehensively describes the definitions of random variables， central limit theorem and law of large numbers in probability statistics， analyzes them with specific cases， conducts in-depth analysis of the important guiding significance of probability statistics in underwriting and insurance claims. At the same time， through the summary and induction of the actual situation， it provides suggestions for the better application of probability statistics in insurance practice.

Keywords： probability statistics; insurance; central limit theorem; law of large numbers; application