无穷维3-李代数的可列结构

2022-03-26 07:03潘学功白喜梅
关键词:同构等式实数

周 檬,潘学功,白喜梅

(1.河北软件职业技术学院软件技术系,河北 保定 071000;2.河北大学数学系,河北 保定 071002)

1 预备知识

3-李代数[1-3]在理论物理及微分几何中发挥着重要作用.文献[4-5]利用交换的结合代数构造出了无限维的3-李代数,研究了无限维单3-李代数与Harish-Chandra模的关系,以及实数域上可微函数空间上的单3-李代数的可列结构.

3-李代数L是域F上具有线性运算[,,]:L∧L∧L→L的线性空间,且满足∀x1,x2,x3,y2,y3∈L,

[[x1,x2,x3],y2,y3]=[[x1,y2,y3],x2,x3]+[x1,[x2,y2,y3],x3]+[x1,x2,[x3,y2,y3]].

设B是3-李代数L的子空间,如果∀x1,x2,x3∈B有[x1,x2,x3]∈B,则称B是L的子代数.

设H是3-李代数L的子代数,如果H是满足下列条件的极大子代数:

(1) [H,H,H]=0;

Lγ={x=L|[h1,h2,x]=γ(h1,h2)x,∀h1,h2∈H}.

(1)

则称H是3-李代数L的可列Cartan子代数.如果3-李代数L具有可列Cartan子代数,则称L为可列3-李代数,等式(1)为L关于可列Cartan子代数H的根空间分解.如果Lγ≠0,则称γ是关于H的一个根,称L为根子空间,根的全体Λ={γ∈(H∧H)*-{0}|Lγ≠0}称为L关于H的根系.

例1 设L是域F上的4维3-李代数,{e1,e2,e3,e4}是L的一组基,L的乘法为

[e1,e2,e3]=e4,[e1,e2,e4]=e3.

直接计算可知H=Fe1+Fe2是L的可列Cartan子代数,L关于H的根空间分解为

L=H+Lγ1+Lγ2,Lγ1=F(e3+e4),Lγ2=F(e3-e4).

其中Λ={γ1,γ2}⊂(H∧H)*,γ1(e1,e2)=1,γ2(e1,e2)=-1.

设A是以{Lr,Mr|r∈Z}为基的交换结合代数,其乘法为

LrLs=Lr+s,MrMs=Mr+s,LrMs=0,∀r,s∈Z.

定义线性变换δ,ω:L→L,

δ(Lr)=rLr,δ(Mr)=rMr;ω(Lr)=M-r,ω(Mr)=L-r.

(2)

2 主要结论

设R是实数域,W={fr=yerx,gr=zerx|r∈Z,x,y,z∈R}是三元实函数的集合.显然,W是所有三元实函数构成的线性空间中的线性无关组,记W在实数域上张成的线性空间为L,则L是以W为基的实数域上的无限维线性空间.

为方便起见,记fr=zerx,gr=yerx,∀r∈Z.

定理1 设L是以{fr=yerx,gr=zerx|r∈Z,x,y,z∈R}为基的实数域R上的无限维线性空间,则L按下列运算构成无限维的单3-李代数,记为L∂:

(3)

且在基{fr=yerx,gr=zerx|r∈Z,x,y,z∈R}下的乘法表如下:

(4)

证明由文献[1]可知,L按照运算(3)构成3-李代数,且直接计算可知:

[yelx,yemx,yenx]=[zelx,zemx,zenx]=0,

从而可得乘法表(4).由文献[4],在3-李代数L∂同构映射

对任意非零整数l0,记Hl0=Rgl0+Rf-l0,即Hl0是以gl0和f-l0为基的L的2维交换子代数,即[Hl0,Hl0,Hl0]=0,且有下列结论:

定理2 3-李代数L∂是具有可列Cartan子代数Hl0的可列3-李代数,且关于Hl0的根空间分解为

(5)

γk:Hl0∧Hl0→R,γk(gl0,f-l0)=-(l0+k).

其中根空间Lγk=Rfk+Rg2l0+k,即Lγk是以g2l0+k,fk为基的2维子空间,L∂关于Hl0的根系为Λ.

证明因为dimHl0=2,所以[Hl0,Hl0,Hl0]=0.对任意整数k≠l0,由乘法表(4)可知

[gl0,f-l0,gk]=(l0-k)gk,[gl0,f-l0,fk]=(-k-l0)fk.

所以[gl0,f-l0,gk]=0,当且仅当k=l0;[gl0,f-l0,fk]=0,当且仅当k=-l0.因此,对任意a,b∈R,k,l∈Z,k≠l0,l≠-l0,[gl0,f-l0,agk+bfl]=a(l0-k)gk+b(-l-l0)fl=0,当且仅当a=b=0.故H0是L∂的可列的Cartan子代数.

定义γk:Hl0∧Hl0→R,γk(gl0,f-l0)=-(l0+k),k∈Z,k≠l0.则

[gl0,f-l0,fk]=-(l0+k)fk=γk(gl0,f-l0)fk,

[gl0,f-l0,g2l0+k]=(l0-2l0-k)g2l0+k=γk(gl0,f-l0)g2l0+k.

因此,对任意k≠l0,γk是L∂关于Hl0的一个根,对应的根空间为Lγk=Rfk+Rg2l0+k,且L∂关于Hl0的根系为Λ={γk|k∈Z,γk(gl0,f-l0)=-(l0+k),k≠l0},从而等式(5)得证.

定理3 设3-李代数L∂关于可列Cartan子代数Hl0的根空间分解为等式(5).则对任意非零r,s,t∈Z≠l0满足(r-s)2+(r-t)2+(t-s)2≠0,有下列等式成立:

[Lγr,Lγs,Lγt]=Lγr+s+t,γr+γs+γt=γr+s+t∈Λ.

证明由定理2可知,对任意γr,γs,γt∈Λ,有r,s,t∈Z≠l0且

Lγr=Rfr+Rg2l0+r,Lγs=Rfs+Rg2l0+s,Lγt=Rft+Rg2l0+t.

由等式(4)可知

[fr,fs,g2l0+t]=(r-s)f2l0+r+s+t,[fr,g2l0+s,g2l0+t]=(t-s)g4l0+r+s+t,

[fr,g2l0+s,ft]=(t-r)f2l0+r+s+t,[fr,g2l0+s,g2l0+t]=(t-s)g4l0+r+s+t.

因为(r-s)2+(r-t)2+(t-s)2≠0,不妨假设t≠s,r≠s.由上述计算可知

g4l0+r+s+t,f2l0+r+s+t∈[Lγr,Lγs,Lγt].

所以,[Lγr,Lγs,Lγt]=Lγr+γs+γt=Lγr+s+t.证毕.

定理4 3-李代数L∂的任意一个可列Cartan子代数都具有形式Hl=Rgl+Rf-l,∀l∈Z.因此,3-李代数L∂的任意两个可列Cartan子代数同构.

证明由定理2可知,对任意整数,Hl=Rgl+Rf-l是3-李代数L∂的Cartan子代数.再由定理3可得3-李代数L∂的任意一个可列Cartan子代数都具有形式H(l).

对任意l,m∈Z,定义线性映射σlm:H(l)→H(m),

σ(agl)=agm,σ(bg-l)=bg-m,∀a,b∈R.

显然,σ是线性同构,再由H(l)与H(m)都是Abel子代数,所以σ是代数同构.结论得证.

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