立足全局 深挖教材

张敏

一、教材内容

本节课是冀教版教材七年级上册第三章“代数式”第3节的第2课时。前面学生已经学习了用字母表示数，进而用代数式表示现实问题中的数量和数量关系，为代数式的值的学习做好了铺垫。第3节“代数式的值”分两个课时，第1课时主要是抽象的代数式求值，认识代数式也是一个计算程序，按规定的程序进行计算，提高计算能力。本节课是第2课时，主要研究在实际问题中，通过求代数式的值解决更广泛的具体问题，按照由特殊到一般再到特殊的过程，设计渗透模型的思想，感受代数式的值随字母的变化而变化，为将来函数的学习做铺垫，同时让学生初步感受数量关系可以有文字、表格、图像、符号等不同呈现方式。

二、教学目标

第一，在解决实际问题的过程中，初步感受两个数量之间的对应关系，进一步发展符号意识，渗透函数的思想。

第二，初步感受数量关系有文字、表格、图像、符号多种呈现方式，体会它们是可以互相转化的。

第三，独立思考与交流展示相结合，让学生充分感受利用代数式可以解决更多的实际问题。

三、教学过程

带着下面的问题，独立完成课本113页“做一做”：

你认为问题中涉及哪些基本量？哪个量是保持不变的？量与量之间具有怎样的对应关系？

（该问题的设置是让学生继续养成在分析数量关系时，先找量，再找关系，最后列代数式的习惯，并提醒学生思考数量之间的对应关系。）

做一做 小亮家离学校1280m ，他每天步行上学，速度约是80m/min ，我们用t（min）分表示小亮从离开家开始的步行时间，s1（m）表示离开家的路程，s2（m）表示距学校的路程.

（1）写出用t分别表示s1和s2的代数式：

s1=______ s2=  ______ .

（2）对具体的t 值计算s1和s2的值，并填写下表：

（3）当t=7时，请你比较小亮离开家的路程与离学校的路程哪个远？

学生展示：

（1）学生分析文字信息中的关键词和语句，弄清楚字母的含义和涉及到的量，借助文字信息和画线型图找到涉及到的量及量之间的关系，列出代数式。

（教师提醒注意区分路程的不同，让学生体会数量关系的呈现可以是文字信息，也可以是图像。）

（2）让学生展示结果， 并让学生说出是怎么得到的结果。学生说：我把t=0代入80t，得到s1的值0，代入1280-80t得到s2的值1280；把t=4代入80t，得到s1的值320，代入1280-80t得到s2的值960；后面的都一样。

师：对于t的每一个取值，大家得到的s1和s2的值都一样吗？（学生回答都一样）由此可见，每取一个t的值，对应一个s1的值；也对应一个s2的值，而且随着t的变化，s1、s2的值也随着变化。

（3）学生讲解：当t=7时，s1=80×7=560，s2=1280-80×7=720.所以小亮离学校的路程远。

师：大家还能提出其他问题吗？

学生1：已知t=6时，哪个路程远？

师：只要知道t的值就可以代入代数式求得s1、s2的值。通过求代数式的值，可以解决更多的这类具体问题。

学生2：t等于多少时，路程一样远？

老师追问：如果给出s1的某個具体值，如何求t ？给出s2的一个具体值，怎么求t？让学生体会知道代数式的值求字母t可以转化为解t的方程。

下面老师引导学生进行深度的观察与思考。

问题1：观察（2）中表格的数值，你还有哪些发现？

生1：一个t值可以求一个s1的值和一个s2的值，t越大，s1越大， s2越小.

生2：表格中s1和s2的值相加都等于1280.

生3：表格里字母t的取值不能大于16，因为16分的时候小亮就到学校了.

师：大家的观察和思考都很深入，非常棒！

问题2：那t除了不能大于16还有别的限制吗？（学生发现不能小于0.）

问题3：t的取值在这个实际问题中是有限制条件的，那它对代数式的值有什么影响呢？（学生思考或观察发现s1和s2的值都介于0到1280之间。）

师总结：代数式的字母虽然可以取不同的值，但是这些数值必须保证代数式和实际问题有意义。字母的取值范围也就决定了代数式值的范围。

问题4：如果题目中t和s1、s2的意义不变，通过表格你能获取文字中提供的家离学校1280m，速度80m/min的信息吗？

（此问题的设置意图是让学生充分感受可以由表格获取信息，发现数量之间的关系，同时为下一道题利用表格获取信息做好铺垫。）

生1：由t=0，s1=0，s2=1280就可以知道家离学校1280m.

生2：由t=16，s1=1280，s2=0也可以知道家离学校1280m.并且可以知道速度是1280÷16=80m/min.

生3：由t=0时，s1=0；t=4时，s1=320，也可以知道速度是320÷4=80m/min.

师：看来我们也可以由表格中字母及代数式的几组具体值得到s与t数量之间的对应关系。

师总结：通过这道题，我们可以发现数量关系可以通过文字信息或者符号语言（也就是代数式）呈现，也可以通过表格或者图像呈现，表格能直观地展示字母与代数式的值，但数据有限；符号语言（也就是代数式）既简明又具有一般性，方便解决更多的问题，是解决数量关系问题的通法。下面我们来感受一下由图像获取信息，进而列代数式解决问题。

一起探究（课本113页）

某农场购买了一台新型拖拉机用来耕地.为了测试耕地时的耗油量，用它试耕了三块地，其面积分别为0.4公顷、0.6公顷和1公顷.油量表的指针变化情况如图（图略）所示（油表中的一个大格表示10升油）。

（1）根据油量表指针的变化，估算耕地0.4公顷、0.6公顷、1公顷的耗油量（升），与同学交流，并将结果填入表中。

（2）如果设耕地a公顷耗油量为b升， 列代数式表示a和b之间的关系.

（3）根据所列的关系式求解下列问题：

①耕地面积为0.5公顷、2公顷时耗油量分别是多少？

②如果两次耕地耗油量分别是12升和40升，那么所耕地的面积分别是多少公顷？

先独立完成后小组交流：

（1）如何根据油表变化确定每块地的耗油量？

（2）耕相同面积的地耗油量相同吗？

（3）确定耕地面积与耗油量之间关系的关键是什么？

小组代表展示：

（1）观察图像可以知道：

油表的指针变化从55到45，知道耕第一块地耗油55-45=10升；

油表的指针变化从45到30，知道耕第二块地耗油45-30=15升；

油表的指针变化从30到5，知道耕第三块地耗油30-5=25升。

师：图像信息经过加工，得到了数据，实际问题转化成了数学问题。

（2）生1：确定耕地面积与耗油量之间关系的关键是每公顷耕地的耗油量。我们发现表格第3列1公顷耕地耗油量是25升，因此b=25a.

师：看来只耕第3块地就可以知道每公顷的耗油量，为啥还要耕前两块呢？

生2：题目说为了测试耕地时的耗油量，只测试第三块地，得到的数据可能不准确。因此我们组验证了三块地，发现10÷0.4=25，15÷0.6=25，25÷1=25，因此确定耕每公顷地的耗油量是25升，b=25a.

生3：我是直接通过表格发现的规律===25，所以=25.

师：很好，这位同学把它看做一个纯数学问题，利用表格找规律，找到了b与a的关系。这也是我们经常用到的方法。我们还可以从数值变化的角度发现规律：当a由0.4增加到0.6时，b由10增加到了15，说明每增加1公顷地，耗油量增加=25升；当a由0.6增加到1时，b由15增加到了25，也说明每增加1公顷地，耗油量增加=25升。这种分析的方法在以后遇到表格问题时会经常用到。

（3）生：根据所列的关系式可以知道

当a=0.5时，b=25×0.5=12.5；

当a=2时，b=25×2=50；

当b=12时，25a=12，a=12/25；

当b=40时，25a=40，a=8/5.

师：这位同学有应用的意识，非常好！大家注意过程规范，应用题记着回答。

师总结：当我们用含有a的代数式表示b之后，就用符号语言表示了b与a之间的关系。这两个量中，知道a的值，可以代入求出b的值（即求代数式的值）；知道b的值（即代数式的值），代入关系式，可以转化为关于a的方程，进而求出a的值。关系式就相当于一个数学模型，利用它可以方便解决更多的问题。

师：你还能提出其他的问题并解决吗？（再次让学生感受关系式的方便，知道a可以求b，知道b可以求a.）

师：我提一个问题：可以耕3公顷的地吗？（此问题是为了再次提醒学生，在利用关系式解决问题时必须注意字母的取值范围。）

生1：不能。当a=3时，b=25×3=75，而油表显示，油箱只有55升油，因此不能耕3公顷的地。

生2：我有不同的方法。55升油最多耕地<3，所以不能耕3公顷地。

师：这个问题提醒我们用代数式解决问题时要注意什么问题？

生：注意字母的取值范围。

师总结：我们再来回顾这道题，由油表的图像获取了几组a、b的具体数据，进而得到了a与b的一般关系式，利用关系式，我们又解决了关于a、b的具体问题。这是我们研究数学问题常用的“由特殊到一般再到特殊”的方法，也是我们建立数学模型和求解的一般过程。

师：这节课接近尾声，通过本节课你有哪些收获呢？（让学生从知识、过程、方法等方面进行总结反思）

师总结并给出知识框图，让本节课的知识系统化。

实际问题中数量关系的呈现方式一般有：文字、表格、图像三种，通过分析数量关系，用符号表示即列出代数式，进而可以通过求代数式的值或者解方程解决实际问题。

四、教学反思

（一）从整个初中教学的角度出发理解和实施教学

代数式是学习方程、不等式、函数的基础，它对整个第三学段代数知识的学习具有重要的奠基作用。

本节课通过求代数式的值，让学生初步感受变量之间的对应关系，为将来函数的学习做铺垫。同时，本节课的教材背景中有文字信息，有表格，有图像，也为后期学习函数表示形式形成了铺垫。在教学中，意图让学生通过本节课的学习，感受代数式可以既简明又具有一般性地表示现实中的数量关系，方便解决更多的实际问题，而数量关系的获取有文字、图像和表格等多种途径。“做一做”中“文字信息→符号表示→代数式求值得到表格→代數式求值解决问题”，“一起探究”中“图像→表格→列出代数式→解决问题”，让学生感受到不同的表示形式是可以互相转化的。

（二）深度挖掘教材，培养学生深度学习

在“做一做”的表格中，老师不仅让学生感受到字母和函数值的对应关系，而且鼓励引导学生对表格进行深入观察和思考，让学生感受到表格中蕴含的信息，既激发了学生钻研的欲望，又让学生在探究中体验了成功。

“一起探究”中，教师采用了“由特殊到一般再到特殊”的方法，让学生感受了建立数学模型求解的一般过程，为学生后期研究数学问题积累了重要的经验。“一起探究”中表格的研究让学生进一步体验了分析表格的方法。在根据所列关系式解决问题时，又抛出了需要深入思考的问题：能耕3公顷地吗？再次引发了学生对代数式中字母和代数式值范围的思考，巩固强化了对字母取值范围的理解。