同构法在高中数学题解析中的应用策略

秦波华,王勇强,吴利敏

(1.湖州市滨湖高级中学，浙江 湖州 313000；2.湖州市教育科学研究中心，浙江 湖州 313000； 3.湖州师范学院 理学院，浙江 湖州 313000)

数学中的同构不仅体现了数学的对称美与和谐美，而且运用同构法解题能够培养学生的化归思维能力.同构法是一种重要的思想方法和思维方式，在数学教学中有着非常重要的地位.但在当前的高中数学教学中，同构法的应用仍处于困境，因此有必要对其进行研究.本文在阐述同构的概念和同构法解题优势的基础上，探讨同构法在求解方程、不等式、数列、解析几何等方面的应用策略.

1 同构的概念与同构法的解题优势

在高中数学中，同构可定义为相同的结构.就表达式来说，可以定义为同构式，即除变量不同外，其余均相同的表达式；就方程来说，可以定义为同构方程，即除变量不同外，其余均相同的方程；就图像来说，可以定义为同构图像，即两个或两个以上的图形组合在一起共同构成一个新图形，这个新图形不是原图形的简单相加，而是一种对原图形的超越和突变.在高中数学教学实践中，很多问题都可通过寻找相同结构的表达式、方程和图形等来解决.如在恒成立求参数取值范围、证明不等式的过程中，同构法的运用不仅能够使学生理解和处理对象结构变得容易，还能使学者们对该领域有更深刻的理解[1].

2 同构法在高中数学题解析中的应用策略

2.1 集合中的“同构”定集合关系策略

例集合M={u|u=12m+8n+4l,m,n,l∈Z}与N={u|u=12p+16q+12r,p,q,r∈Z}的关系为____________.

应用策略本题是一道结构构造问题，可采用同构法构造20()+16()+12()与12()+8()+4()，只要()内是整数即可.

解决方案

u=12m+8n+4l= 12m+20l+20n-16l-12n= 20(n+l)+16(-l)+12(m-n),

其中，p=n+l、q=-l、r=m-n都是整数.同理,N⊆M.所以,M=N.

2.2 方程中的“同构”定参数值策略

例已知实数α、β分别满足α3-2α2+5α-17=0,β3-3β2+5β+11=0,求α+β的值.

应用策略两个方程都是3次方程，因此可采用同构法构造出f(x)=x3+2x-14，再证明函数在R上单调，且必与X轴相交，从而说明方程有唯一根.

解决方案由题意得(α3-3α2+3α-1)+2α-16=0，即得(α-1)3+2(α-1)-14=0,同理(β-1)3+2(β-1)-14=0,所以α-1、β-1都满足方程x3+2x-14=0.由f′(x)=3x2+2>0知f(x)=x3+2x-14单调递增，又f(0)=-14<0,f(3)=19>0,所以f(x)=0在R上只有一个实根(实质在区间(0,3)内有根)，因此α-1=β-1，即α+β=2.

2.3 值域中的“同构”定参数范围策略

例若函数f(x)在定义域内存在区间[a,b]，满足f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则称函数f(x)为“优美函数”.若函数f(x)=x2+k在(0,+∞)上为“优美函数”，则实数k的取值范围是____________.

应用策略如果方程f(a)=0与f(b)=0呈现同构特征，则a、b可视为方程f(x)=0的两个根.

2.4 不等式中的“同构”定最值策略

应用策略本题是解函数不等式，若采用直接代解析式，难度较大.此时常用的策略为：构造一个具有某些函数性质(如单调性、奇偶性)的函数，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式.但此题还存在一个难点，即构造哪个函数.因此，应学会利用配凑或待定系数法去探求.

解决方案由已知得f(x+1-x2)-(x+1-x2)+f(x+2)-(x+2)<0，f(x+1-x2)-(x+1-x2)<-[f(x+2)-(x+2)].构造函数F(x)=f(x)-x,则F(x+1-x2)<-F(x+2).因此，可证明F(x)是奇函数.所以F(x+1-x2)-x-2,得解集为{x|-1

2.5 向量共线的“同构”两方面策略

解决方案延长OG，交边AB于M,则M为AB的中点.

(1)

(2)

2.6 数列中的“同构”递推依序策略

应用策略将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(an,n)与(an-1,n-1)的同构式，从而将同构式设为辅助数列，以便于求解.

解决方案[3]由原式变形得：

记

则

(3)

2.7 解析几何中的“同构”简化计算策略

例已知点P是y轴左侧(不含y轴)的一点，在抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A、B，且满足PA、PB的中点均在C上.设AB中点为M，证明PM垂直于y轴.

应用策略为满足方程f(x1,y1)=0与方程f(x2,y2)=0，可构造同构方程f(x,y)=0，从而得出A(x1,y1)和B(x2,y2)都在曲线Ω：f(x,y)=0上.当方程f(x,y)=0是关于x、y的二元一次方程时，曲线Ω就是直线AB.

2.8 导数中的指对跨阶“同构”策略

例已知函数f(x)=x2e3x.若x>0,恒有f(x)≥(k+3)x+2lnx+1,求实数k的取值范围.

3 结 语

同构是数学解题中的一项重要方法，它是数学本质最直接的体现.代数的根本在于运算和运算律，几何的根本在于空间的基本结构和基本性质.对核心问题的解析，唯有从构造入手，特别是从同构入手，才能真正揭示问题的核心[6].基础数学的本质是精简朴实的，其根源是自然直观的.在数学中，很多问题从表面看是纷繁芜杂的，但利用同构法可使它们变得简约明了.