再论“反求”“易率”“还原”“回求”之异同 *

王鑫义，郭世荣

（内蒙古师范大学 科学技术史研究院，内蒙古 呼和浩特 010022）

“反求”“易率法”“还原术”和“级数回求”是清代“杜氏三术”传入后中算家进行级数互求的重要方法，很好地解决了弦矢弧之间的互求问题，并为直观经验所不能解决的问题创造了极为便利的条件。明安图（1692？-1765？）、董祐诚（1791-1823）、项名达（1789-1850）、戴煦（1805-1860）、徐有壬（1800-1860）、李善兰（1811-1882）等中算家在各自的著作中对这些方法均有介绍。1873年，左潜（？-1874）的《缀术释明》和徐有壬的《割圆八线缀术》对这些方法的定义及其之间的关系有所介绍。可以说，左潜是研究割圆级数的中算家中较早对此问题进行详细介绍的关键人物。

此 外，李 俨（1892-1963）［1］、何 绍 庚（1939-2021）［2］、罗 见 今［3］、特 古 斯［4-5］、郭 世荣［6］、王荣彬［7］、甘向阳［8-9］、孙力［10］等对四种方法之关系亦有论述，其中，尤以特古斯的研究用力颇深，见解独到。他们大多把运算步骤诠释成代数公式，使之与“级数反演”的联系清晰显见，这无疑是很实用的手段，但忽略了诸多细微之处。以下先就前人观点撮述如下。

1 论点摘编

左潜在《割圆八线缀术》序中说：“所谓‘还原术’，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所谓‘商除法’，又即‘还原术’之变法。”［11］学界对左潜的这一解释持有不同观点。李俨认为：“已知弧背求通弦率数法，再由通弦求弧背率数法，李善兰称为‘级数回求’，徐有壬称为‘还原术’。”［1］331这表明“级数回求”即为“还原术”。何绍庚认为：“‘反求’即‘级数回求’，只是后者的表述方式不同，‘反求’问题与反函数问题是完全一致的。”［2］同样的，罗见今认为：“明安图‘反求’的思路属于无穷级数求反函数，使用了‘级数回求法’。”［3］232韩琦也提到：“‘级数回求’是级数‘反演’的一项方法，明安图最先探讨了‘级数回求’。”［12］32事实上，在《割圆密率捷法》中尚无明确的“级数”概念，“级数”这一术语由李善兰首创，“级数”的使用，体现了李善兰对无穷和变量的认识。

进一步，郭世荣得出：“‘还原术’即‘级数反演’，或称‘易率术’或‘级数回求’。”［6］666甘向阳也认为：“董祐诚的‘反求’与明安图的‘级数回求法’基本相同，‘还原术’即明安图的‘回求法’，戴煦亦采用过明安图的‘级数回求法’。”［9］2他们将四种方法视为同类，但未结合原文中的具体问题展开分析和说明。

王荣彬就前人的相关研究予以评述。［7］王渝生认为李善兰是以有限步骤经归纳方法反求幂级数。［13］孙力则指出：“‘还原术’类似‘消元法’，左潜认为‘比例商除法’为‘还原术之变法’似应有误。”［10］72特古斯则把“还原术”和“易率法”视为“明安图变换”的不同表现形式，［4］36认为“易率法”是“级数回求法”的推广，［4］32“级数回求法”即“还原术”，［4］36而“还原术”是“易率法”的一个特例［5］。特古斯的研究对于理解中算家的各种方法的本质来说无疑是重要的，但就其中的细节论述不多。

另外，台湾地区的学者对这一问题也有探索。何嘉祥认为：“‘易率法’和‘级数回求’有很多相似之处，但又有较大差别。”［14］131同时，他指出项名达使用“易率法”时用到了“长除法”，还用现在的数学知识揭示了几种方法的本质区别。阮锡琦的观点［15］与孙力的观点一致。

上述各家观点大体可概括为相同与相异，前者注重寻求古今方法的相通之处，忽略了方法的实施和细节的处理；后者以特古斯的观点为代表，把对数列、多项式的研究转化为对函数的研究，引用函数论的有关知识，从而获得几种方法之关系。

2 原文中的表述与操作

以下，笔者考察中算家的具体操作与思路，并对相关问题进行分析，从而说明各方法之间的异同之处。

明安图在《割圆密率捷法》中首创独特的割圆级数来表示法的来源与基础，可概括为割圆术几何方法的拓展、连比例关系的构造和《数理精蕴》相关内容的吸收。［16］如在卷三的“反求”问题中，由弧长求通弦公式“反求”得到通弦求弧长公式，而通弦的率数由弧长得来，弧长的率数又是根据通弦的率数确定的。已得到的各率系数分母都具有相同的形式，有一定的规律可循，而在已知通弦求弧长的问题中，所得的各率系数分子中有奇零、不尽的，出现这样的情形就用分数来表示①①这是由于明安图“规定分母，调整分子”所引起的，左潜则在《缀术释明》中以徐氏“缀术”改进了此问题，从而避免了奇零得数的出现。。原文中的操作为：将又二率各数重复列为上下两行，各率数横列七项，上下对齐，用下行各数自右向左依次遍乘上行，乘得的率数依次降位，十六率后省去不用，再将乘得的各率系数分别相加，可依次得到又六、八……十六率各率数的表达式。［17］914-915这一过程可简述为：先通过已求得的又二率自乘，将自乘后的结果作为以后求各率数的基础，进而去求后面的各率数。同时，规定分母，调整分子，绝大部分需要重新调整系数分母，即明氏所说的“通之，使其同母”，调整后不仅同率项相消方便了运算，而且使得用带分数表示的系数分子化为了整数。

董祐诚在《割圆连比例术图解》中称：“弦矢求弧即弧求弦矢之还原”，他首先使用了“还原”一词。以连比例四率法，在“垛积还原”这一方法的启发下，董氏独立地给出“级数回求”的方法，从而成功地解决了弦矢求弧问题。［18］他的“还原”与明安图的“反求”，在运算方法上大体相同，在具体运算时，寻求不变量或规律来求其他各项，不同的是董氏建基于垛积术，以递加数来解释各率系数。

由于“零分起度弦矢率”中的第一、第二形腰部分在圆外，与“整分起度弦矢率”有所不同，项名达引入了“借率法”和“易率法”，两种方法经常配合使用。虽然可以透过“借率法”把所要求的用率表示出来，但在求弦矢率时，二率皆是由本弧通弦表示，需通过转换，即“易率法”。“易率法”可以分成两个步骤，先是“用率”，后是“定率”。所谓“易率法”是将“本率”（所求率）转化为与其相等（相当率）的“借率”（已知率）来求解，简单来说，是将所求诸率用“借率法”所得诸率来代换成新的级数展开式的方法。“本率”即“所求率”，“借率”即“已知率”，本率各率数为奇数时，与之对应的借率各率数均为奇数。固定了本率、借率各率数的位置后，只记系数，寄其分母，仅调整它们的分子。为能消去同率项，各率系数的分子、分母均做了调整，在运算时更利于相消。“易率法”沟通了“借率”与“本率”，要得到第一形腰的“易率式”，需用各“本率”代换各率，即用已知率代替所求率。由于各率系数不同，需要调整所求率和已知率的各率系数，项名达将调整系数后的各率称为“定率”。戴煦给“定率”所作的注解为“易借率为本率”。这里包含了多项式的自乘、除法（分母为单项式，即一率），级数的自乘、除法（一率除之，即降一率），但原图中都省去了相关的计算过程，直接给出了最后的计算结果。

《外切密率》中，戴煦先用一推演总图，再用细分的图表，附以文字叙述各率分的“分子乘法”以及“分母除法”的递推规则，从“余弧求切线”开始，还涉及“改率”和“添分母”的问题。因为“实”与“法”中均为齐次多项式，无法进行商除运算，本质是多项式的恒等变换。在“割线求半弧”中，“添分母”相当于“扩分”，［19］本意为“不可失本数”，不改变原分数的值。“添分母”的意义在于，不仅便于递求分母与分子，而且可使各率分子的变化规律明显可见。在“割线求本弧”等问题中，本可利用“还原法”，只需要取“本弧求割线半径差，率分倍之，命为连比例三率，以半径为一率，依法求得五、七、九等率”［20］。但“分子之 所 由 来 究 不 可 见”，［20］通 过“变易之”（相当于“代换法”）所求的各率分数的分子变化规律显然可见。对于各率分数的分子为单一的情形，分别相乘后，新的各率分数的分子就不会繁杂。戴煦采用“还原法”，若不用“还原法”，则至少要分为三个步骤①①其中包含商除运算和整体代入，代入的对象至少为多项式，运算量较大。；按“还原法”来计算，减少了运算量，计算更简捷。显然，戴煦在这里只是为了考虑各率系数分子的变化规律而不用“还原法”，并未考虑计算的复杂度问题。同时，也说明戴煦在寻求“立法之原”时，更多的是着力于对各率系数的分子、分母变化规律的归纳与总结。

在《割圆八线缀术》中，徐有壬所称的“首层率数”指第一项，先将第一项的系数化为整数，以“算式”表示级数展开式各项，所得的结果为第一率式，列出比例式，用“比例法”求解其他各率式，对于分母不统一的先通分，最后通过加减相消得到所求率式。李善兰在《级数回求》中利用“新”的表示方法，举出具体的算例，目的是通过对具体算例的推演，使之成为“一切级数互求之准绳”。用“⊥”和“ㄒ”分别表示“+（加）”和“-（减）”，分式的分子、分母和现今的分子、分母在形式上正好相反。其“回求”的方法与明安图的“反求”、徐有壬的“还原术”等大体一致：先将原率式自乘，再用“比例法”求得其他各率式，最后通过加减相消，使所求率式仅留第一项。

3 异同分析

从表达方式来看：明安图进行“反求”时以借根方入算，保留了具体过程。董祐诚运用“垛积还原”时引入的递加数是用贾宪三角的各行数字来解释与弦矢各率系数的对应关系。而项名达在递加数的基础上引入了递加图，相当于给出了二项式定理的系数表。徐有壬研读了《四元玉鉴》后，透过四元术创造了“缀术”。戴煦为《四元玉鉴》补细草，用天元术表达各率分数。李善兰早期研究四元术，在《弧矢启秘》中虽然使用“尖锥术”，但是用天元术表达相关算式；在《级数回求》中，他已摆脱前人窠臼，改变了原来的表示法，不再依赖于中算传统下的“位置模式”。天元术中的筹式是一种取决于位置的有关多项式的表征方法，在列式时不需要额外的加号、减号。［21］做除法运算时，天元术和借根方在位置方面对运算的影响最明显，如徐有壬利用加减差的形式来寻求各项之间的递推规律，出现“不受除”的情形，就以“寄分”方式来处理。戴煦、徐有壬等还用多样的方式来表达，如戴煦把复杂的推演步骤细分为算表。徐有壬则将竖列改为横列，原竖列的各算式中率数为单层，即单项式；当率数变为多层，即多项式的时候，竖列的方式不便于表达。左潜则说：“借根方之不能立式，究不如天元一之巧变莫测也。”［11］他选择天元术作为改造《割圆密率捷法》的工具，认识到徐氏“缀术”的使用可以避免明氏创造的公比不同的连比例和“反求”时带分数的出现。［22］

从具体操作来看：徐有壬的“还原术”、戴煦的“还原法”和李善兰的“级数回求法”，均与明安图的“反求法”大体无异，但对细节的处理方式不同。明安图以又三率为保持不变的乘数，增加了运算的次数，若以每次得到的新率数为乘数，会减少运算的次数。从整体结构上来考虑，他是为了便于处理各算式中的分子与分母。而徐有壬的做法与之不同，是为了便于快捷计算，能够随乘随除。这是因为同一新率数可由不同的率数相乘得到，如：

徐有壬的“术”作为一个公式而单独存在，通过“术”达到统一和规范的目的，其重点仅非系数的推导，而在于各项之间的递推关系。“缀术”的本质是以算式和率式为基础的连缀而成的运算方法。戴煦则注重各术互求的实现过程，对内在算理鲜有说明，似乎把内在算理都归结为各率分数的分子变化规律上：对于各率分数的分子均为单一或简单的情形，采用“还原法”；而对于各率分数的分子量大繁杂的情形，分为几个步骤进行，再用“变易之”。戴煦所称的“改率、换率和变易”与项名达“易率法”中的“用率”大体一致，而“易率法”中的“定率”则为规定新化解后的率数的系数，从而得到该率式的线性组合式。

从计算思路来看：“级数反演”是根据两个序列所满足的特殊关系，给出它们的相互表示方法。［23］根据幂级数的唯一性定理，则先由一幂级数反转求得另一幂级数，再用比较系数法逐步确定反转后幂级数各项的系数。［24］实际上，这里的比较系数法即为待定系数法的一种，与中算家所采用的方法有差别。反函数法不同于中算家的方法，前者是分析的，后者是归纳的；并且四种方法的使用都是在未完全引入变量以前，前者规定级数必须收敛，后者则刚好处理的是收敛级数；前者严格使用无穷小，后者则只是直观感觉上的无穷小；前者关注各项系数的关系之本质，后者关注各率分数的分子、分母变化规律。总体而言，中算家主要利用不完全归纳方式，着眼于无穷级数的系数，以直观与经验寻找规律性，归纳为一般形式，都以初等运算处理，［25］往往通过系数的排列和递推等方式实现，仅给出推演方法，很少含有算理分析与证明。因而，将四种方法等同于“级数反演”并非完全可行的。

4 结语

对各方法的异同分析，不可忽略借根方和天元术的影响，也不能忽视对计算方法的选择。中算家借助于借根方或天元术来表达级数，所关注的焦点已不再是二者之争，而是提升为问题的分析、规律的探索和各率系数分子变化规律的归纳。这一时期中算家对于级数的“反求”，从级数的自乘与加减相消开始，又与“易率法”等地结合，再由各率分数分子的繁杂情况来选择方法，并配合“比例法”等求解，最后给出所谓“级数回求”的“准绳”。囿于“位置模式”下没有变量这一概念，中算家在表达与解决问题时受到极大的限制。由此可见，中算家对于同类问题的认识是不断改变的，他们所用的四种方法也并非完全一致，且在实施算法前对方法的采用是有选择性的。在级数互求进路上，中算家的核心意图是不断向算法的内在算理接近，把探寻内在原理、简化演算形式与计算方法等作为不变的诉求。