空间分数阶Ginzburg-Landau方程的一种块分裂迭代法 *

宋 岩，凌永辉

（闽南师范大学 数学与统计学院，福建 漳州 363000）

0 引言

分数阶Ginzburg-Landau方程（FGLE）是从分形介质的变分Euler-Lagrange方程中提出，［1-2］已被用来描述各种物理现象，如具有分形色散的连续体的动力学过程和具有分形质量维数的介质［2］。由于分数阶算子的非局部性质常常导致分数阶微分方程的精确解无法得到。因此，数值方法成为求解分数阶微分方程的重要工具，关于FGLE的数值方法研究很多，如He等人［3］提出了FGLE的无条件稳定线性差分格式，Zhang等人［4］提出了二维FGLE的三层线性差分格式。由于有限差分方程的解析解很少，所以数值解成为求解有限差分方程的主要方法， 但大多数分数阶微分方程的数值解法倾向于生成全系数矩阵，如何有效地求解分数阶微分方程引起了大家的关注。

1 空间FGLE的离散

考虑如下空间分数阶Ginzburg-Landau方程（FGLE）［1］

取时间步长τ=TN，空间步长h=(b-a)(M+1)，其中N，M是正整数，记tn=nτ(n=0，1，…，N)，xj=a+jh(j=0，1，…，M+1)，令unj≈u(xj，tn)。通过分数阶中心差分，［5］在有界区域中将分数阶Laplace算子离散为

对式（1）~（3）的空间FGLE采用三层线性差分格式进行如下离散

则差分格式（4）可改写为以下矩阵向量形式

其中系数矩阵

则式（7）的系数矩阵可改写为

I表示单位矩阵。根据系数ck的性质，可知Toeplitz矩阵T是严格对角占优矩阵，又Dn+1是非负对角矩阵，所以W和S是对称矩阵，故系数矩阵A是对称矩阵。令H=(1-γτ)I+W，则有许多迭代方法可求解形为(H+iS)u=b的复线性方程组，如MHSS法［6］、PMHSS法［7］、GSOR法［8］、PGSOR法［9］等。然而，这些方法都需要求解系数矩阵为H，S或H+S的线性方程组，不能保留Toeplitz结构，从而导致分数阶Ginzburg-Landau方程的求解效率不高。

在下一节中，我们利用系数矩阵A的结构，对离散线性方程组（7）提出了一种新的分裂方法，并分析了其收敛性。

2 块分裂迭代法

考虑如下复线性方程组

其中A=(1-γτ)I+W+iS是对称矩阵，是虚数单位。通过将复线性方程组转化为2×2块线性方程组，并利用块LU迭代法构造一种新的求解复杂线性方程组（10）的快速迭代方法。

令u=y+iz，b=p+iq，其中y，z，p，q∈RM，则复线性方程组（10）可以等价写成2×2块线性方程组

将系数矩阵A分裂为

则块分裂迭代法的构造如下

块分裂迭代法 给定一个初始向量(y(0)T，z(0)T)∈R2M，对于k=0，1，2，…，计算

直到迭代序列{(y(k)T，z(k)T)}∞k=0∈R2M收敛。

由式（13）可以看出，系数矩阵(1-γτ)I是单位矩阵， 因此在迭代过程中不需要求解矩阵的逆，大大减少了计算量和内存需求。并且块分裂迭代法是采用矩阵向量乘法求解线性方程组（10）。同时，观察到S是由对角矩阵和Toeplitz矩阵组成的，所以可以使用快速傅里叶法计算矩阵向量乘法，也可减少计算量。

引理1［3］对于差分格式（4），u(x，t)存在唯一有界解。

定理1根据式（8）定义的矩阵A，对任意初始向量(y(0)T，z(0)T)∈R2M，当时间步长τ和空间步长h满足

块分裂迭代法收敛，其中1<α<2，v>0，κ>0，η>0，ζ>0，γ，C是实常数。

证明：根据迭代矩阵

其中W=τvT+τκDn+1，S=τηT+τζDn+1，可得

因此，迭代矩阵L的谱半径的上界为

根据圆盘定理［10］和系数ck的性质有

其中ω是矩阵W的特征值，λ是矩阵S的特征值，化简可得

再根据引理1，对于离散格式（4），u(x，t)存在唯一有界解，因此

其中C是常数，故

由以上可得

因此，当时间步长τ和空间步长h满足

有ρ(L)<1，即块分裂迭代法收敛。

3 数值算例

本节将通过空间分数阶Ginzburg-Landau方程的算例来比较块分裂迭代法（记为BS）和MHSS法、PMHSS法、PGSOR法的计算效能。选取初始条件u0=0∈RM，并在每个测试中给出迭代次数（记为IT）和迭代时间（记为CPU），算法终止的条件是

所有实验均在CPU 3.60 GHz（Intel（R）Core（TM）i7-4790），RAM 4 GB环境下进行，MATLAB版本为2013a。

算 例［3］考 虑 定 义 域 为[-10，10]×[0，1]，v=1， η=1， κ=2，ζ=2， γ=1， 1<α<2，且 初 始 条 件 为u(x，0)=exp(-2x2)的分数阶Ginzburg-Landau方程。

从表1和表2的数值结果可以看出，块分裂迭代法不仅迭代步骤比MHSS、PMHSS、PGSOR方法少，且CPU时间也是最短的。还发现块分裂迭代法可以达到与PGSOR法相同的计算效果，并且块分裂迭代法的计算效果往往优于PGSOR法。如表1中M=4096时，PGSOR法的CPU时间是块分裂迭代法的4倍多，迭代步骤也是块分裂迭代法的5倍。因此，可以认为在求解式（1）~（3）的问题上块分裂迭代法更优。

表1 α=1.2的数值结果

表2 α=1.8的数值结果