以向量为“工具”，解答立体几何问题薄贺霞

立体几何问题对同学们的抽象思维和空间想象能力的要求较高，而很多同学这方面的能力又比较薄弱，此时可运用向量法，将立体几何问题巧妙地转化为向量问题，利用向量知识来解题.下面重点谈一谈如何运用向量法解答立体几何问题.

一、利用向量法证明线面平行与垂直

利用向量法证明直线与平面平行或垂直，需先根据几何图形的特点建立合适的空间直角坐标系，给各条线段赋予方向，并求得各个点、线段的坐标，然后根据直线与平面垂直的定义建立关系式，求得平面的法向量.若直线l、m 为平面α内的两条直线，且直线l 的方向向量为，直线m 的方向向量为，设为平面的可求得法向量.要证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;要证直线与平面垂直，只需证明直线与平面的法向量共线.

例1.如图1，在四棱锥 P -ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且AC⊥DC，AB⊥AD，∠ABC =60°，PA =AB =BC，点 E 为 PC 的中点，求证：PD⊥平面 ABE .

证明：∵PA⊥底面 ABCD，且 AB⊥AD，∴AB， AD， AP 两两垂直，以点 A 为原点，以 A B，A D，A P 的方向为x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设 PA =AB =BC =k，可得 B（k，0，0），A0，0，0，P0，0，k，

∵AB =BC，∠ABC =60°，∴AC =AB =k .   ∵∠DAC =30°，且 DC⊥AC，点 E 为 PC 的中点，

∴ C（， ，0），D（0， ，0），E（， k，）.    ∴A B =（k，0，0），A E =（， k，），P D =（0， ， -k），

设 m =（x， y， z）为平面 ABE 的法向量，可得 A B ⋅ m =0，A E ⋅ m =0，即 kx =0， x + ky + z =0，

设 y =2，∴x =0，z =- ，∴ m =（0，2，-），

而 P D = k m，∴P D// m，∴PD⊥平面ABE.

解答本题，首先需根据直线与平面垂直的性质定理证明 AB，AD，AP 两两垂直，这样便可建立空间直角坐标系，求得各个点、线段的坐标以及平面 ABE 的法向量，而 P D与共线，则可证明直线PD垂直于平面 ABE.

二、利用向量法求二面角

要求二面角的大小，需先求得二面角的两个半平面的法向量，再根据夹角公式求得两个法向量的夹角.若二面角α-l -β的两个半平面α、β的法向量分别为1、2，且<1，1>=θ，二面角的大小为φ，则φ為θ或π-θ，且 cos φ=| cos θ|=

例2.已知四棱锥 S -ABCD 的底面为直角梯形， SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∠ABC =90°，SA =AB =BC =1， AD = ，求平面 SCD 与平面 SAB 所成角的余弦值.

解：∵SA⊥平面 ABCD，AB⊥AD，∴AD，AB，AS 两两垂直.以点 A 为原点，以 A B，A D，A S 为坐标轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，可得 A0，0，0， Dè（æ），0，0ø（ö），B0，1，0，S（0，0， 1），C1，1，0，则 A D =（ ，0，0）， S C =（0， 1，-1），S D =（ ，0， -1），

又 AD⊥平面 SAB ，则平面 SAB 的法向量2为 A D =（10，0），

设平面 SCD 的法向量为2=（x，y，z），

则 S D ⋅2=0，S C∙2=0，即 x -z =0，y -z =0，令 z =1，可得 x =2，y =1，所以2=（2，1，1），

则 cos <1，2>= = ，即平面 SCD 与平

面 SAB 所成角的余弦值为 .

在求二面角时，要注意结合图形判断二面角的平面角是锐角还是钝角，以防得出结论的错误.

在采用常规方法求解立体几何问题遇到困难时，同学们可采用向量法，将立体几何问题巧妙地转化为向量问题，能有效地提升解题的效率.

（作者单位：新疆喀什第二中学）