以数解形，深度几何概念教学

胡海光

[摘  要] 以数解形是小学阶段认识图形的重要策略。因此在教学中，教师要根据学生、教材实际，在适当的时机，通过提供格子图等含有“数”的材料，引导学生深度学习，把握概念的本质。

[关键词] 以数解形;格子图;几何概念;深度学习

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。”他特别强调了数形结合的作用与重要性。在平常的数学教学中，我们更关注“以形助数”，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，用来理解或解决问题;而对于“以数解形”，借助数的精确性来阐明形的某些属性则重视不够。显然，在几何概念教学中，数量的介入对于学生获得清晰、精细、准确的认知显得尤为重要。能否从这一层面做一些尝试，借助数量，尤其是格子图，让学生获得对几何概念清晰、精细、准确的认知？结合人教版四上“平行四边形的认识”这一课，笔者作了一些思考与研究。

一、对前人实践的思考

（一）教学设计1

1. 认识平行四边形的特征

（1）从生活中抽象出图形。

（2）在方格纸上画出图形。

画一画：你还能想象出平行四边形的样子吗？在方格纸上画一个平行四边形。（教师收集学生作品，排序做好展示准备）

看一看：展示的作品是不是平行四边形？如果不是，请说出理由。

（3）通过对比找异同。

比一比：请观察画在方格纸上的平行四边形，它们长得一样吗？不同点在哪儿？相同点在哪儿？

预设：

不同点：大小、形状、方向等。（非图形特征）

相同点：对边平行、对边相等、对角相等。（图形特征）

（4）在操作中验证特征。

用画在方格纸上的平行四边形或平行四边形纸片，想办法验证刚才发现的一个或多个相同点。先独立操作，再组内交流，最后全班分享。

2. 概括平行四边形的定义

对于平行四边形，学生并不陌生，早在一年级下册，学生就已经初步认识了，在生活中与学习中，也多有接触。但对于平行四边形，学生还是停留在整体的感知上，对于“边”与“角”的特征虽有一些感觉，但并未有很深刻的感悟。显而易见，只通过观察，是很难让学生对平行四边形的特征有深刻感悟的。本设计让学生通过画，把心中的平行四边形展示出来;再通过比较、验证，使学生对平行四边形的特征有了较深刻的感悟，从而积累了经验。毋庸置疑，在本设计中，格子图作用居功至伟。有了格子图，才能让学生较顺利地画出他们心中的平行四边形;有了格子图，才有不同平行四边形之间的比较，学生能够聚焦到平行四边形的本质特征上。可以这样说，正是借助格子图，才成就了本节课;借助格子图中的“格子数”，才能让学生对形的本质的认识有了思维的抓手。但细究之，还有一些地方值得商榷：对于平行四邊形的认识，学生本来就有“整体性”，再让学生画一个完整的平行四边形是否有助于学生从“整体感知”走向“特征分析”？面面俱到式的观察、验证是否有利于学生对于特征的深度学习？

（二）教学设计2

1. 找图形：呈现课本情境图——电动移门、楼梯扶手、木栅栏

让学生找一找、指一指图片中的平行四边形，再说一说在生活中还有哪些地方能见到平行四边形，抽象出平行四边形。

2. 同桌合作，用小棒围平行四边形

提供5根不同长度的小棒，6厘米、6厘米、5厘米、4厘米、4厘米。

思考：（1）你准备选用哪几根小棒来围平行四边形？（2）想一想，可以围成几个平行四边形？

3. 汇报交流

（1）展示学生不同的作品（图1）。

（2）观察，你们都用了哪几根小棒来围平行四边形？在围的时候要注意些什么？（对边要选同样长的小棒，对边的小棒要摆平行）

（3）我们怎么来验证平行四边形对边平行呢？出示图2。

生验证反馈：左右对边之间的距离都是3格。而上下对边之间的距离都是两个小正方形的对角线的长度，说明两组对边分别平行（平行线之间的距离处处相等）。师借助课件动画演示（图3）。

（4）思考：你认为平行四边形有什么特征？

4. 根据学生的回答，概括平行四边形的特征，并归纳平行四边形的概念

新课标指出：学生是数学学习的主人，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。通过学生自主地观察思考、动手操作等体验式学习，有助于解决数学概念的抽象性与儿童思维的形象性之间的矛盾，强化概念学习。本例中，用标有数量的小棒摆平行四边形，让学生充分利用原有经验，通过自主探索认识平行四边形边的特征。在这样的活动过程中，小棒中的“数量”以及原有表象综合在一起，共同促进学生对平行四边形的认识，使学生的活动真正起到了发现、探究、证明的作用。显然，摆的活动更倾向于“对边相等”这一特点的体验，对于“对边平行”支持力度明显不足。所以本例中，又提供格子图背景的标准平行四边形，让学生再次观察验证，用“数”来帮助学生体验平行四边形对边相等这一特征。不难发现，这样的设计，对于平行四边形的“对边平行”的体验是不够深刻的，而“对边平行”不仅是认识平行四边形的特征的需要，更是与后继课梯形的特征直接相关。

那么如何有效地利用格子图，以“数”解“形”，让学生自主地深度探究平行四边形的特征呢？

二、我们的实践与思考

（一）借“格”思“形”——从直觉认识走向具体分析

教学片段1：

1.由平行四边形的生活例子引入，抽象出平行四边形。

2. 出示格子图（图4）。

师：老师已在格子图中画了两条直线（图4），你能否再补画两条直线，创造出你心中的平行四边形？

生：能。

师：请你先想象一下，该补画怎样的两条直线呢？

师：大家已经有想法了，那么动手画一画吧。

范希尔认为，儿童一开始是通过整体轮廓辨认图形，能画图或模仿画出图形，初步描述图形，但无法通过图形的特征或要素名称来分析图形，也无法对图形做概括地论述。学生对平行四边形的原有认识也是这样，具有整体性，能从整体外观上判断一个图形“像”还是“不像”平行四边形。对平行四边形中关于边的特征“对边平行、对边相等”这些特征，学生虽已有很多经验，但并未自动地作为判断平行四边形的理由与思考的方向。教师出示格子图中的两条已有直线，让学生补画两条直线来创造平行四边形，迫使学生调动已有的对平行四边形的表象与经验，观察、思考格子图中的两条直线的特征，使平行四边形边的特征纳入学生主动探索的范围，使学生对平行四边形的认知，由模糊的直觉逐步走向对特征的分析。

（二）用“格”辨“形”——让认知从朦胧走向数学化

教学片段2：

1. （学生补画后）你都补画了几个平行四边形？你是怎么想的？

2. 汇报展示

①展示作品（图5），这是你们心中的平行四边形吗？请你给大家介绍一下，你补画了怎样的一组直线创造出了平行四边形？

展示作品（图6），这也是你们心中的平行四边形吗？

师：同学们，这两位同学的方法有什么相同的地方吗？（前面三个都补画了一组平行线，第4个补画了一组相交线）

师：你们怎么都想到前面3个补画一组平行线，第4个补画一组相交线来创造平行四边形呢？（前面三个已经有一组平行线，所以再补画一组平行线即可;第4个已经有一组相交线，所以再补画一组相交线就能创造出平行四边形了）

②展示作品（图7），这也是你们心目中的平行四边形吗？（第4个不是，前面三个是）

师：第4个也是补画了一组相交的直线，为什么你们认为它就不是平行四边形了呢？（有一組对边不平行）

师：你们怎么知道这两条线是不平行的呢？（这一头有5格，那一头有4格，延长后会相交）

师：通过观察，你们看出了这两条直线是不平行的，还有别的方法也能证明它们不平行吗？（量一量这两条直线之间的距离）（请学生上台验证）

师：大家用不同的方法说明了这两条直线不平行，那么这个就不是一个平行四边形了。

师：那这些线要怎样才能创造出平行四边形呢？（要平行）

师：你说的平行是指哪两条直线要平行？（左右平行）那上下呢？（也要平行）

③师：你自己画的图形符合你们对平行四边形的要求吗？请大家选择一个自己画的平行四边形验证。（学生验证）

师：看来，不管原来有一组平行线还是一组相交线，要创造平行四边形，都必须要有两组平行线，两组平行线相交就能创造出平行四边形。

弗赖登塔尔认为，数学作为人类的一种活动，它的主要特征就是数学化，数学学习的过程就是数学化的过程。简单地说，数学化就是学会用数学的观点考察现实，运用数学的方法解决实际问题。教学片段2中，学生对格子图中的两条直线的补画，实质上就是让学生从数量上来考察、认识平行四边形的过程。在补画过程中，学生既能直观地整体判断所创造的图形，又能从数量上做分析辨别，从而促使学生不断地反思、调整自己对平行四边形的认知。通过正例与错例的比较，引导学生再次对画法进行辨别、反思，将学生的思维引向精致化，帮助他们从整体感知逐步走向数量分析，进而超越经验，获得关于平行四边形基本特征的明确认识。这样的过程，由表及里，逐步深入，使学生对平行四边形的认识从朦胧的感觉走向明朗化、清晰化、数学化，从而一步一步地触及概念的内核，形成正确的概念认识。

（三）用“数”验“形”——让认识从粗浅走向深入

教学片段3：

1. 师：通过刚才的学习，我们发现平行四边形两组对边分别平行的特征，请你们仔细观察，发现平行四边形还有什么特征吗？（学生思考）

师：把你们的发现写在2号学习单上。你们可以在老师提供的平行四边形上量一量，来证明你们的发现。

2. 反馈交流

生1：我量出这个平行四边形的每条边分别是……所以平行四边形的对边是相等的。

生2：量出每个角的度数，所以对角也是相等的。

师：哪些同学也有这样的发现？

3. 师：刚才我们发现了平行四边形的对边相等、对角相等的特征，是不是所有的平行四边形都有这样的特征呢？

老师在几何画板上画出了一个平行四边形（图8）。请大家观察：对边相等吗？分别是多少厘米？对角相等吗？分别是多少度？

变化平行四边形的形状后，对边、对角还会相等吗？（拖动变化如图9）

你有什么发现？（不论怎么变，对边相等、对角相等。一个角的度数变了，对角的度数也跟着变……）

4. 师：看来所有的平行四边形从“边”来看，我们发现了对边平行也相等的特征，从“角”来看，发现了对角相等的特征（板书）。

人类认识活动，总是先接触个别事物，而后推及一般，又从一般推及个别，如此循环往复，使认识不断深化。著名的化学家门捷列夫曾说：只有通过从规律中推出结果（没有规律就不可能也不能期待结果），并且在经验检验中证实这些结果，才能得出这些规律。显然，在平行四边形特征的认识中，让学生对平行四边形进行观察、发现、操作、验证，在此基础上得出“对边相等”“对角相等”等结论仅仅是一个粗浅的认识。要进一步深化认识，还需要提供更丰富的材料，让学生建立突出事物共性的、清晰的典型表象。几何画板中提供的可任意拖动变化的平行四边形以及随之变化的边与角度的数据，极大地丰富了学生学习的材料，让学生在观察边、角数据的变化中，进一步感悟到平行四边形无论怎么变，对边始终相等、对角始终相等的特征，甚至更进一步地认识到平行四边形相邻两个内角和是180度、四个内角和是360度等知识。巧妙地提供平行四边形的边与角的数据，不仅使教学更加流畅，还让学生对形的认识从粗浅走向深入。

三、反思及联想

用数解形，显然有利于对形的深度学习。但怎样利用数、什么时候利用数来深挖概念本质是一个值得研究的问题。

（一）在感知模糊处结合“数”，凸显“形”之本质

形比较直观，但正因为直观，使学生对事物的认识多了几分感性，少了几分理性。然而对数学概念的理解，不仅要从直观上知其然，还要从数理的本质上知其所以然。这就离不开“数”的参与。“平行四边形的认识”一例中，充分利用格子图，让学生对“对边平行且相等”与“对角相等”的特征既能从直观上得到感知，又能从数理上解释所感知的内容，让学生对平行四边形概念本质的理解更加清晰、深刻。

小学教材中对平面图形的认识，尤其是低段内容，根据学生的年龄特点，教材在编排时多直观、少数理。人教版二年级下册的“平移与旋转”，教材是这样编排的：从生活中的平移和旋转现象引入，让学生直观感知什么是平移，什么是旋转。教师在讲平移时，只能说是向上、向下、向各个方向直直地移动。至于什么是直直地移动，只能意会不能言传了。这样的编排与教学，在有助于低年级学生直观学习的同时，似乎也少了些数学的味道，学生对概念的感知比较模糊。

怎样破解？有教师这样教学平移。

教学片段4：

1. 师：这（图10）是格子板上的一个箭头，你能平移一下这个箭头吗？

2. 学生尝试后展示学生作品（图11）。

师：这些（图11）都是你们心中的平移吗？（学生认为前3个作品是平移，第4个不是平移）

师质疑：为什么说第4个不是平移？

生1：箭头有点斜了。

生2：头移动了2格，尾巴只移动了一格多，头和尾移动的格数要一样多。

师：同意他们的观点吗？前面3个头和尾移动得一样多吗？

小结：看来，平移就是头移动几格，尾移动同样的格子。平移时，可以向上平移，也可以向下平移。

3. 展示左右平移的作品，引导学生思考这是不是平移。（略）

4. 微视频：斜着平移箭头。让学生区别是不是平移？为什么？（略）

這样的教学，让学生对平移的认知从模糊走向清晰，让学生对概念的认知从感性走向理性。显然，适当加入“数”，更有助于学生对概念本质的理解。

（二）在表达不清处利用“数”，说清概念本质

形的直观使学生的思维变得更为感性，然而数学概念本质相对抽象，学生虽通过观察、操作等活动，对隐藏在直观的形背后的数学本质有感悟，但若缺失从直观过渡到抽象的那一把梯子，就不能很好地把观察所得理性地表达清楚。如在“平行四边形的认识”一例中，教师提供了格子背景，使学生能很快借助格子从数据上得出结论与理由：上下边长各是4格，左右边长各是3斜边，所以对边相等。又因为上下边距离都是3格，左右边距离都是2对角线，所以对边平行。让直观与理性分析得到完美地整合。又如在“平行与垂直”这一课中，对看似平行实则不平行的两条线的判断，学生是很难讲清楚的。因为借助“两条直线延长后不相交”，有时并非行得通，而且这种外延描述式的概念界定，使学生很难把握概念的本质。有教师据此，对“平行与垂直”做如下教学。

教学片段5：

在学生初步认识相交与不相交后，出示课件（图12）。

师：老师画了两幅图（图12），你们能帮助判断一下，它们属于什么情况？

生1：第①组的两条直线延长之后不会相交，第②组的两条好像不会相交。

生2：第②组的两条也不一定呀。

师：老师这里有工具，借用一下，再来观察，它们到底会不会相交，为什么？（课件呈现图13）

生：第②组两条直线很明显，原来空的是两格，后来距离变得越来越近，最后一定会相交了。

师：如果老师把它们延长，想象一下会怎么样？（学生思考后，课件演示延长，图14）

师：再看第①组，你们凭什么说它们不会相交？

生：因为两条直线之间的距离一直都是两格，再怎么延长也不会相交。

小结：看来，在同一张纸上的两条直线，只要宽度不变，它们就不会相交，如果宽度有变化，延长后肯定相交。

通过格子图中的数，让学生清楚地表达出平行线的一个重要特征：平行线的距离处处相等。通过数让学生清楚地表达出形的特征，而语言的清晰表达，则又锻炼了学生的思维，促进学生对概念本质的深度理解。

（三）在不甚理解时利用“数”，感悟概念本质

数量的特点是精确，与形相比，剔除了外在的干扰，易于聚集于问题的本质。如“角的初步认识”这一课中，教师通过做活动角、比较活动角等活动，花大量的时间，力图让学生感悟“角的大小与所画边的长短无关，与边叉开的大小有关” 。实际的结果却是，教师教得辛苦，学生学得牵强，仍无法从根本上让学生信服此结论。究其原因是学生看到的角是两边的长短，至于两边的关系（叉开的大小）只是一个模糊的感觉，所以当边的长度明显变化时，更加刺激了学生关注边的长度，而非思考边与边的关系。针对这一问题，有教师采用了这样的设计。

教学片段6：

1. 师：老师在钟面里画了三个角（图15），观察这三个角，你想说些什么？

生1：第一个角的开口对着一格，第二个角的开口对着两格，第三个角的开口对着三格，角的开口越来越大了。

生2：第一个角里面有一个小角，第二个角里面有两个小角，第三个角里面有三个小角。所以第三个角最大。

师：大家同意吗？看来角的两边张开得越大角就越大。

2. 师：比较这两个角（图16），谁大？你是怎么看出来的？

生：一样大，因为它们都有一个小角，角的两边张开得一样大。

师：哦，角的两边张开得一样大，说明角的大小一样。

3. 师：这两个角呢（图17）？

生1：第二个大，因为这个角的边更长。

生2：不对。两个一样大。因为这两个角都有一个小角，张开的大小是一样的。

师：大家同意吗？比较两个角的大小，我们要看什么？

小结：角的大小与角两边叉开的大小有关，与边的长度无关。

通过提供可视、可数的钟面小角图，实质上为学生提供了可以比较、可以测量的工具，角的“大小”不再是语言中、手势中的“大小”，而是可用“数”来描述的“大小”，让概念的本质属性得以强化，让学生的思维有了依靠。“数”的加入，真正使学生感悟到了角的“大小”的本质。