宏观交通流模型的余维2 分岔分析1)

范爽爽 刘丹阳 段利霞,

* (北方工业大学电气与控制工程学院,北京 100144)

† (北京理工大学自动化学院,北京 100081)

** (北方工业大学理学院,北京 100144)

引言

交通拥堵问题一直以来都是学者关注的主要问题.现有的解决方案仍有不足,原因之一是运输系统的复杂性,所有方面都很难集成到一个解决方案中.目前,人们从不同角度建立了各种交通模型来解释交通拥堵的复杂结构[1-6].一般而言,现有的交通流模型可分为4 类:元胞自动机模型[7]、气体动力学模型[8]、水动力学模型[9]和最优速度模型(OVM)[10].OVM 是最著名的跟车模型之一,受OVM 的启发,提出了许多考虑其他交通因素的跟车模型[11-13].Jiang 等[14]提出了一个全速差模型(FVDM),它描述了拥挤流和均匀流,对于低密度实现均匀流,在一定临界密度上变得不稳定,出现拥挤流.在临界密度下,该模型预测了汽车密度和交通流量之间存在不连续性.驾驶员记忆在驾驶中不可缺少,考虑记忆效应的跟车模型表明,历史信息将有助于提高交通流的稳定性[15-18].一些学者研究了交通流模型中速度和车头时距随记忆的变化[19].数值模拟表明,驾驶员的记忆对交通行为和稳定性有显著的积极影响[20].在实际交通环境中,最优速度随记忆的变化可以预测下一时刻加速度的变化.与那些不熟练的驾驶员相比.熟练的驾驶员对最优速度的预期和最优速度变化的记忆能力会有更快的反应.然而,对连续模型上的驾驶员记忆的调查是罕见的.为了克服这一局限性,并受到记忆效应的启发,本文将提出一个改进的连续模型来研究交通流的最优速度随记忆变化.

相平面分析已经被证明是分析复杂交通流现象的一种合适工具[21].Kuhne 等[22]在黏性高阶模型中预测了Hopf 分岔、孤立波和周期振荡解,提出了双稳定性情况,并解释了拥挤流的时滞现象.Lee 等[23]解释了在所谓的惯性跟车模型中极限环机制.最近,Saavedra 和Velasco[24]采用了数值方法,结果与Lee 的理论分析结果一致.

现有的交通流理论及其求解方法存在一定的缺陷.例如,目前的建模研究大多集中在均匀交通流上,分析范围仅限于平衡状态的小范围扰动,缺乏对交通流的全局分析[25-26].因此,反映实际交通流特征的交通流理论值得进一步研究.分岔是指由于非线性动态系统的参数跨越一定的阈值,系统的拓扑结构发生明显变化的现象.大多数交通流模型都是具有参数的非线性方程,当模型中的某些参数发生变化时,交通流量系统的稳定性发生了显著的变化,这与分岔的定义一致.Kuhne 等[27]将混沌动力学理论应用到Payne 模型中,其结果表明,通过改变瓶颈处的密度和通行能力两个控制参数,可以改变交通流的状态,产生亚临界或超临界分岔.Li[28]推导出Payne 模型的离散形式,研究了该模型的倍周期分岔现象,发现分岔点的出现会导致交通流模式从自由流改为同步流,混沌现象会导致交通拥堵.一些学者总结了国内外分岔理论的发展[29-30].周伟等[31]通过跟车模型分析了交通流中存在的倍周期分岔和混沌现象.凌代俭和肖鹏等[32]通过非线性时滞跟车模型,证明了系统的稳定性和Hopf 分岔,描述了跟车模型中复杂的非线性现象.Carrillo 等[33]通过严格的数学推导发,在一定条件下Bogdanov-Takens (BT) 分岔出现在双参数动力系统(即二阶Kerner-Konhauser(K-K) 模型[34]).Delgado 等[35]证明了K-K 模型中存在退化的BT 分岔,从而解释了Hopf 分岔和Bautin分岔的存在性.Delgado 等[35]从理论角度证明了宏观交通流模型分岔的存在性,但分岔引起的具体交通现象不足.为了详细描述由分岔引起的交通流现象,艾文欢等[36]推导了速度梯度模型中Hopf 分岔和鞍结分岔的存在条件,并绘制了以分岔点为起点的密度演化图,根据Hopf 分岔理论解释了交通流的启停现象.Ren 等[37-39]都做了Hopf 分岔研究,并通过行波参数找到Hopf 分岔范围,解释了走走停停现象.但是其他参数的改变也会出现启停现象,目前很少有人研究其他参数对启停现象的影响.因此,本文从双参数分岔的角度分析交通流的Hopf 分岔机制以及相应的交通现象.

本文基于宏观交通流模型,采用双参数分岔方法,从全局的角度来分析交通现象.该模型重现高速公路上观测到的许多复杂的非线性动力学现象,如走走停停波和局部簇.首先,利用变量代换将模型转换为一个适合于分岔分析的新模型.然后,推导了模型中鞍结分岔存在的条件,得到不同两参数间的双参数分岔结构,并对分岔曲线进行分析.最后,利用双参数分岔区域得到不同单参数分岔结构,通过相平面分析描述和预测高速公路上的非线性交通现象.

1 跟车模型的提出及改进

1.1 宏观交通流模型

提出了一种考虑最优速度随记忆变化的跟车模型[40]

其中,xn(t) 是在时间 t 时刻第 n 辆车的位置,∇νn表示两个相邻车辆的速度差,∇xn=xn+1-xn是车头间距,V(∇xn(t))为优化速度函数.V(∇xn(t))-V(∇xn(t-δ)) 是驾驶员将当前最优速度调整到记忆为 t-δ 时的最优速度,其中,δ 表示记忆步长.a 是敏感系数,λ 为速度差响应系数,γ 是驾驶员最优速度差的灵敏系数.当γ=0或者 δ=0,系统 (1) 就是FVDM 模型.

通过简单的Taylor 展开,优化速度函数可以写为

把式(2) 代入式(1),可以推导出

微观变量转化为宏观变量的方法如下

其中 Δ 表示相邻两车之间的距离,ρ(x,t) 和 ν(x,t) 分别表示宏观密度和速度.密度与位置的关系为Ve(ρ) 表示最优速度,

最优速度函数 Ve(ρ) 选择如下形式[34]

对 ν(x+Δ,t) Taylor 级数展开且忽略高阶项,可以推导为

将式(4)和式(5)代入式(3),跟车模型中微观变量转成宏观变量如下

式(6)可以整理为

将流量守恒方程与式(7)结合,将推导出最优速度随记忆变化的宏观交通流模型

1.2 交通流的行波解

为了研究系统的稳定性,引入了行波解 z=x-ct,将其代入式(8),可以推导出

其中交通流是密度与速度的乘积,为 q=ρν .根据式(9)的流量守恒方程,可以得出

对式(10)等号两边分别求导有

对式(9)的流量守恒方程积分有

式(9)的动力方程展开为

将式(10)和式(11)代入式(13)有

简化式(15),可以重写为

在式(18)中,η 和ρ 具有相同的单调性.密度ρ越接近拥挤密度 ρm,则变量 η 趋于无穷,且 y 是 η 的变化率.因此,可以用 η 的轨迹清晰地描述交通拥堵与系统不稳定性之间的关系,从而可将交通流问题转化为系统的稳定性问题.

2 余维2 分岔分析

系统式(18)的稳定性,即交通流的稳定性,与道路中的小扰动对交通流状态的影响密切相关.如若系统稳定,那么小扰动在传播中会逐渐减小,此时车辆畅行;而若系统不稳定,那么小扰动会向上游传播,此时将逐渐演化为交通拥堵.双参数分岔能整体分析参数变化和车辆稳定范围.本文主要研究记忆参数 γ 和行波参数 q*变化时,交通流状态的转变.

2.1 鞍结分岔存在条件

引理2.1 (文献[36]) 考虑系统 x˙=f(x,λ),x ∈Rn,λ ∈R,其中 λ 是一个变量.如果 (x0,λ) 满足平衡条件假设 ψ 和φ分别为 L 的左右特征向量,就有ψ L=0 和 Lφ=0 成立.当满足以下条件时,系统在 λ=λ0处存在鞍结分岔

对系统 (18),令 q*作为可变参数,(η0,0) 表示平衡点.在此平衡点处的Jacobi 矩阵可表示为

因为平衡点满足平衡条件 y=0 和 F(η,δ)=0,因此平衡点处的Jacobi 矩阵为

1-ρmη0=0成立当且仅当 ρ=0,但这是一个平凡平衡点,可以忽略不计.此外,变量 η 永远不能等于0,所以有 A ≠0 成立.

其中

2.2 γ 和 q* 双参数分岔

当行波参数 q*和记忆系数γ 变化时,交通流会出现稳定、拥堵、走走停停和幽灵拥堵等复杂的交通现象.交通状态的转变可能由分岔的类型,以及分岔曲线的相对位置等因素变化引起.下文通过双参数分岔来研究交通状态在不同分岔结构下的特征.将行波参数 q*作为第一个分岔参数,即当 q*变化时交通状态发生变化.将记忆敏感系数 γ 作为次要控制参数,并研究不同 γ 值对交通流的影响.取行波参数 q*＞0,记忆系数 γ ＞0 .当 c=-8.081 veh/s 时,其余参数不变,得到 γ 和 q*双参数分岔结构如图1 所示.

图1 q* 和 γ 的双参数分岔Fig.1 Two-parameter bifurcation of q* andγ

图1(a) 和图1(c) 中有两条LP 表示平衡点的鞍结分岔曲线 (蓝色实线),由鞍点和结点相遇产生.曲线HC 是同宿轨分岔,鞍点与极限环相遇产生 (橙色实线);H 曲线是Hopf 分岔,焦点的稳定性发生改变(红色实线);LPC 曲线是极限环上的鞍结分岔,与Hopf 曲线几乎重合(黑色实线);BT 点表示余维2 Bogdanov-Takens 分岔,是HC,H,LP 3 条曲线的交汇点;GH 点表示余维2 广义Hopf 分岔,是超临界和亚临界Hopf 分岔的临界点.GH 点附近的结构如图1(b) 所示.由于 γ ＞0,则系统有效双参数区域如图1(c) 所示.GH 点的坐标为 (0.9,1.297 694 5×10-7),γ值几乎趋于0,将双参数分岔区域分为Ⅰ和Ⅱ两部分,如图1(a) 所示.BT 的坐标为 (1.177 465,97.492 181),将双参分岔区域分为Ⅲ和Ⅳ两部分,如图1(c) 所示.显然,在区域Ⅳ中分岔结构更丰富,第4 节中将分析参数在不同区域时系统表现的动力学行为对交通现象的影响.

2.3 c 和 q* 双参数分岔

当行波参数 q*和行波速度 c 变化时,交通流会出现不同的状态.将行波参数 q*作为第一个分岔参数,行波速度 c 作为次要控制参数,取行波参数 q*＞0,行波速度 c ＜0,克服了许多高阶连续模型的反向传播问题.当 γ=0.5 s-1,q*=0.901 veh/s 时,其余参数不变,得到 c 和 q*双参数分岔结构如图2 所示.

图2(a) 中两条LP 曲线 (红色实线) 交于CP 点,产生尖点分岔;HC 是同宿轨分岔 (橙色实线),H 曲线是Hopf 分岔 (绿色实线),两个余维2 Bogdanov-Takens 分岔点分别交于同宿轨分岔、Hopf 分岔、鞍结分岔交汇处,如图2(b) 所示.根据BT 与CP 点,将图2(a) 分成4 个区域.

图2 q* 和 c 的双参数分岔Fig.2 Two-parameter bifurcation of q* andc

图2 q* 和 c 的双参数分岔(续)Fig.2 Two-parameter bifurcation of q* and c (continued)

本节参数取值与3.2 节相同.由于分岔参数不同,得到的分岔结构和分岔曲线完全不同,说明不同的参数对交通状态可能会有很大的影响.因此本文研究其他参数对交通状态的影响,是非常必要的.在同一组参数值下,任意两参数可以两两组合,得到不同的双参数分岔结构.各参数间相互影响,产生不同的交通现象.本文只将行波参数 q*和记忆系数 γ 对交通状态的影响做详细的分析.

3 非线性动力学分析

3.1 关于 q* 单参数分岔结构

根据不同分岔结构,图1(b) 分成两个分岔区域,分别在不同区域取值,研究关于 γ 的单参数分岔结构,如图3 所示.

随着 γ 值减少,q*的分岔结构也发生了变化.当γ=100时 (即在图1(b) 的区域Ⅲ内) 有两个鞍结分岔 (LP) 产生,如图3(a) 所示.绿色实线代表稳定的焦点,当施加小扰动时,密度振荡且振幅变得越来越小,最终稳定在焦点;红色虚线表示鞍点,当施加小扰动时,密度有波动,最后稳定.当 γ=30 时 (即在图1(c) 的区域Ⅳ内) 有两个鞍结分岔和一个Hopf 分岔,因此有鞍点、稳定焦点、不稳定焦点存在,如图3(b) 所示.H 与LP 之间的蓝色虚线表示不稳定焦点,当施加小扰动时,密度振荡且振幅变得越来越大,最终形成拥堵.H 与HC 之间的洋红色虚线为极限环的最大值和最小值,当施加小扰动时,密度振荡且振幅趋于极限环,最终形成等幅振荡,即走走停停现象.从区域Ⅲ和Ⅳ的单参数分岔结构可以看出,稳定交通流出现在焦点处 (实线).图3(b) 的Hopf 点Lyapunov 第一指数 3.969 532×10-3为正为亚临界Hopf 分岔,该处产生不稳定极限环.接下来,分析不同的分岔点对交通状态的影响.

图3 关于 q* 的单参数分岔结构Fig.3 The one-parameter bifurcation structure ofq*

3.2 关于 q* 的相平面分析

当 γ=100 时,交通流经历了自由流状态 (FT)-震荡-拥堵 (J) 的过程,如图3(a) 单参数分岔结构所示.当 (q*,η)=(1.177,6.432) 时,则=-14.348 3,-(1-ρmη)2=-0.082 024 96,因此 R=7.160 3×104,=1.176 918 133 57满足q*=且R ≠0 条件,所以系统发生鞍结分岔 (LP),分析在 LP1附近交通流密度的变化,如图4 所示.

在 q*=1 时,对应图3(a) 的b1 曲线,系统存在鞍点 (5.883,0)、稳定焦点 (7.251,0) 和鞍点 (12.93,0),如图4(a) 所示.从轨迹走向可以看出,从鞍点 (12.93,0) 出发的轨线吸引到焦点 (虚线);交通流为振荡拥挤交通转化为自由流 (FT).在 q*=1.177 时,对应图3(a) 的b2 曲线,系统存在鞍结点 (6.432,0) 和鞍点 (18.34,0),如图4(c) 所示.从轨迹形式可以看出,由于鞍结分岔,稳定焦点与鞍点相遇,部分曲线稳定,其余曲线不稳;交通流为自由流 (FT) 和振荡流共存.在 q*=1.2 时,对应图3(a) 的b1 曲线,系统存在鞍点(19.36,0),交通流为自有流.随着 q*的增大,交通流发生了稳定到不稳定的转变.当(q*,η)=(0.817 3,5.657)时,为系统的LP 分岔点,分析在 LP2附近交通流密度的变化,如图5 所示.

图4 鞍结分岔 LP1 附近的相平面Fig.4 Phase plan near saddle-node bifurcation LP1

图5 鞍结分岔 LP2 附近的相平面Fig.5 Phase plan near saddle-node bifurcation LP2

在 q*=0.7 时,对应图3(a) 的a1 曲线,系统存在鞍点 (5.54,0),如图5(a) 所示.交通流为自由流.在q*=0.817 3时,对应图3(a) 的a2 曲线,系统存在鞍结点 (8.804,0) 和鞍点 (5.657,0),如图5(b) 所示.从轨迹形式可以看出,由于鞍结分岔,稳定焦点与鞍点相遇,从另一个鞍点出发的曲线吸引到鞍结点,在虚线内曲线稳定,其余曲线为不稳;交通流为振荡流和自由流 (FT) 共存.在 q*=0.93 时,对应图3(a) 的a3 曲线,系统存在鞍点 (5.787,0)、稳定焦点 (7.536,0) 和鞍点 (11.48,0),如图5(c) 所示.从轨迹形式可以看出,由于焦点的吸引部分曲线趋于焦点,两边的鞍点的作用使部分曲线不稳定;交通流为振荡拥挤交通转化为自由流 (FT).随着 q*的增大,交通流出现不稳定到稳定的变化.根据图4 和图5 分析知,当0.873(LP)＜q*＜1.177(LP)时,系统有稳定交通流存在.当 γ=30 时,交通流经历了自由流状态 (FT)-时走时停态 (TSG)-振荡态-拥挤态 (J) 的过程,单参数分岔结构如图3(b) 所示.当 q*=0.817 3 时,为系统的LP 分岔点,分析在 LP3附近交通流密度的变化,如图6 所示.

在 q*=0.6 时,系统存在鞍点 (5.45,0),如图6(a)所示.交通流为自由流 (FT).在 q*=0.817 3 时,系统存在鞍结点 (8.804,0) 和鞍点 (5.657,0),如图6(b) 所示.从轨迹形式可以看出,由于鞍结分岔,稳定焦点与鞍点相遇,在虚线内曲线为稳定,其余曲线为不稳定;交通流为自由流 (FT) 和振荡态共存.在q*=0.93时,系统存在鞍点 (5.787,0)、稳定焦点 (7.536,0) 和鞍点 (11.478,0),如图6(c) 所示.从轨迹形式可以看出,从鞍点 (10.9,0) 吸引到焦点,有稳定曲线产生;交通流为振荡交通转化为自由流 (FT).随着 q*增大,交通流出现不稳定到稳定的变化.当(q*,η)=(1.009,7.218)时,为系统的Hopf 点.分析在Hopf 分岔附近交通流密度的变化,如图7 所示.

图6 鞍结分岔 LP3 附近的相平面Fig.6 Phase plan near saddle-node bifurcation LP3

图7 Hopf 分岔附近的相平面Fig.7 Phase plane near Hopf bifurcation

在 q*=0.98 时,对应图3(b) 的c1 曲线,系统存在鞍点 (5.854,0)、稳定焦点 (7.326,0) 和鞍点 (12.5,0),如图7(a) 所示.根据轨迹形式,它包含一个不稳定的极限环,环内和环外曲线在 z →-∞ 时趋于极限环,形成等幅振荡;交通流有走走停停态 (TSG) 态,在右侧鞍点处有自由流 (FT) 形式.在 q*=1.009 时,对应图3(b) 的c2 曲线,系统存在鞍点 (5.897,0)、Hopf 点 (7.218,0) 和鞍点 (13.14,0),如图7(b) 所示.从轨迹形式可以看出,红色环内为稳定状态,环外时不稳定振荡;交通流为振荡拥挤交通变为拥堵态 (J),但有一小部分振荡是走走停停的现象.在q*=1.03时,对应图3(b) 的c3 曲线,系统存在一个鞍点 (5.93,0),不稳定的焦点 (7.143,0) 和鞍点 (13.64,0),如图7(c) 所示.从轨迹形式可以看出,由不稳定焦点处振荡至不稳定;交通流为振荡拥挤交通变为拥堵态(J).随着 q*的增加,振荡拥挤流变成振荡流的一部分,然后演化为走走停停的现象.当(q*,η)=(1.177,6.432)时,为系统的LP 分岔点,分析在 LP4附近交通流密度的变化,如图8 所示.

在 q*=1.1 时,系统存在鞍点 (6.063,0)、不稳定焦点 (6.897,0) 和鞍点 (15.56,0),如图8(a) 所示.从轨迹形式可以看出,从焦点附近出发的轨线趋于最小密度;交通流为自由流态 (FT).在 q*=1.177 时,对应图3(b) 的c4 曲线,系统存在鞍结点 (6.432,0) 和鞍点 (18.34,0),如图8(b) 所示.从轨迹形式可以看出,由于鞍结分岔,稳定焦点与鞍点相遇,鞍结点附近曲线稳定,其余曲线不稳定;交通流为振荡态与自由流 (FT) 共存.在 q*=1.3 时,系统存在鞍点 (25.52,0),如图8(c) 所示.交通流为自由流 (FT).随着 q*的增加,交通流出现自由流 (FT) 到拥挤态 (J) 的变化.由图6～图8 知,在 q*＜0.817 3(LP4) 产生自由流(FT),0.817 3(LP4)＜q*＜0.97(HC)为振荡自由流(F T),0.97(HC)＜q*＜1.009(H)出现走走停停现象(TSG),1.009(H)＜q*为均匀拥挤态 (J).

图8 鞍结分岔 LP4 附近的相平面Fig.8 Phase plan near saddle-node bifurcation LP4

3.3 关于 γ 单参数分岔结构

随着 q*值增大,γ 的分岔结构也发生了变化.根据不同分岔结构,图1(a) 分成两个分岔区域,分别在不同区域取值,研究关于 q*的单参数分岔结构,如图9 所示.

当 q*=0.892 时 (即在图1(a) 的区域Ⅰ内) 有Hopf 曲线和HC 曲线,因此系统存在稳定焦点和不稳定焦点.Hopf点处Lyapunov第一指数-2.918 477×10-4为负,Hopf 分岔为超临界,H 上下的实线表示稳定极限环.如图9(a) 所示,H 右边实线代表稳定的焦点,当施加小扰动时,密度振荡且振幅变得越来越小,最终稳定在焦点;H 左边虚线表示不稳定焦点,在 z →+∞ 时,当施加小扰动时,密度越来越大,最终趋于稳定极限环.当 q*=0.901 时,即在图1(a) 的区域Ⅱ内,如图9(b) 所示,Hopf 点Lyapunov 第一指数 3.557 092×10-5为正,Hopf 分岔为亚临界,H 上下之间的虚线表示不稳定极限环,z →-∞时,环内和环外的轨线趋于极限环.当存在小扰动时,密度振荡并趋于不稳定极限环,形成等幅振荡,最终形成走停现象.由于 γ ＞0 时,交通流系统有意义.在 γ ＞0 时,q*=0.892 系统只有稳定焦点,Hopf 点为 (-2.984 256,7.734 391) (如图9(a) 所示);q*=0.892时,系统有不稳定焦点、稳定焦点、不稳定极限环存在,Hopf 点为 (0.358 938,7.682 751) (如图9 (b) 所示).分析在Hopf 分岔附近交通流密度的变化,如图10 所示.

图9 关于 γ 的单参数分岔结构Fig.9 The one-parameter bifurcation structure ofγ

当参数 q*=0.892 且γ ＞-2.984 (Hopf 分岔点)时,对应图9(a) 的d1 曲线,系统存在稳定焦点(7.734,0),高密度鞍点 (10.749,0),如图10(a) 所示.由于稳定焦点的吸引,轨线振荡趋于焦点;交通流为振荡交通转化为自由流(FT),鞍点出形成拥堵(J).在 q*=0.901 和γ=0.14 ＜0.358 9 (Hopf 分岔点) 时,对应图9(b) 的d2 曲线,系统存在不稳定焦点 (7.683,0),鞍点 (10.921,0),如图10(b) 所示.由于不稳定焦点,轨线振荡趋于不稳定;交通流为振荡交通转化为拥挤态 (J).在 q*=0.901 和q*=0.37 ＞0.358 9 (Hopf分岔点) 时,对应图9(b) 的d3 曲线,系统存在稳定焦点 (7.683,0) 和不稳定极限环如图10(c) 所示.从轨迹形式可以看出,它包含一个不稳定的极限环,环内和环外曲线在 z →-∞ 时趋于极限环,形成等幅振荡;交通流为走走停停态 (TSG).

图10 关于Hopf 分岔的相平面Fig.10 The phase plane of Hopf bifurcation

4 结论

本文提出了一个最优速度随记忆变化的宏观交通流模型.首先,原始模型状态变量的最大值为0.2 veh/m,通过变量代换将问题转化为系统稳定性问题;其次,通过余维2 分岔方法,改变了只能由行波参数发现走停现象的规律.然后,通过双参数分岔,了解了参数之间的相互影响,并发现了系统存在Hopf 分岔、LP 分岔、BT 分岔和HC 分岔、CP 分岔、GH 分岔等各种分岔结构;再次,对双参数分岔不同区域取值,得到不同单参数分岔结构,确定极限环、鞍结分岔和Hopf 分岔的值,给出相平面整体结构;最后,通过相位平面分析对模型的平衡点变化有了深刻的理解.数值模拟了相平面轨迹,通过对极限环、焦点和鞍点的动力学分析,解释了不同动力学行为对拥堵交通中复杂现象的影响.通过不同分岔结构的相平面轨迹,分析对应的交通现象,提高高速公路观测到的启停波和局部簇的理解.

数值结果表明,驾驶员记忆的时间长度对交通流的稳定性有重要影响.总之,分析结果和数值模拟都表明,随记忆变化的最优速度可以进一步提高交通流的稳定性.分岔分析方法可以描述和预测高速公路上的非线性交通现象,并有助于设计更好更合理的控制方案来改变交通拥堵现象.