具斥力函数的奇异Cucker-Smale模型的渐近免碰撞集群

徐兴海，刘宏亮，欧阳自根，肖其珍

(南华大学 数理学院,湖南 衡阳 421001)

0 引 言

在自然界中，大量的生物体在成群结队运动时往往会形成稳定且规律的运动状态，如成群结队南飞的雁群、结伴捕猎的狼群以及草原迁移的野牛。这些群体现象表现出来的自发、稳定、协助一致的特征引起了生物、数学、控制等方面学者的广泛关注。如1986年，C.W.Reynolds[1]给出集群的三个核心要点:体积排斥、速度对齐和聚集倾向。1995年，T.Vicsek[2]从统计学的角度建立了后被称为Vicsek来刻画粒子集群行为。2007年，F.Cucker与S.Smale利用通信函数描绘个体间的相互作用，建立Cucker-Samle[3](以下简称C-S)模型，从数学方面阐述集群问题，其模型如下：

(1)

其中xi∈Rd，vi∈Rd，(i=1，2，3，…，N)分别表示第i个智能体在t时刻的位置和速度，φ(r)=1/(1+r2)β为通信权函数，K1是耦合强度。此后，该模型引起了许多学者广泛的关注，如R.Mauro[4]考虑了智能体间信息交互的延时性，并得到系统能够形成集群的充分条件。Y.Z.Sun[5]等人考虑了随机噪声干扰的情况，得出当通信函数存在正下界且噪声在某个可控范围时，集群仍然会发生的结论。J.H.Shen[6]提出具有等级制度下的集群模型后，并证明了在连续的情况下只要β≤1/2，系统就会发生无条件渐进集群。后来C.H.Li[7]离散系统的角度，照样获取了同样的结论。H.L.Liu[8-10]探究了有限时间集群，通过引用符号函数破坏系统的Lipschitz连续性来保证系统的有限时间集群性。S.Y.Ha[11-12]引入粒子间排斥力，证明了当系统的初始值限定在一定范围内，系统中的粒子就不会发生碰撞。F.Cucker与J.G.Dong[13-15]等引入合力函数和利用能量函数方法证明了当β<1时，系统达到无条件且免碰撞的渐进集群。β>1时，系统的初始值要满足一定的条件时才能到达免碰撞集群。特别地，J.A.Carrillo[16-17]使用奇异的通信函数φ(r)=1/rα来避免碰撞，得到当α≤2时会形成无条件免碰撞集群。

本文受参考文献[8，16]的启发，建立以下模型：

(2)

其中

且初值记为

(xi(0)，vi(0))=(xi0，vi0)，

(3)

‖·‖是欧式范数，R是智能体控制预设距离，K1，K2是耦合强度皆为正常数。

为了叙述上的方便，首先给出必要的假设以及集群的定义。

(4)

则称系统(2)～系统(3)形成免碰撞的渐进集群。

1 解的全局存在唯一性

为了说明系统(2)～系统(3)全局解的存在性，先给出位移差与速度的一致有界性引理。

和

证明：设能量函数

(5)

沿着系统(2)对E(x，v)求关于t的全导数得

〈vi(t)-vj(t)，(xi-xj)=

(6)

记

又因为E(x，v)在t∈[0，T)上非增非负，有E(x，v)≤E(0)。显然

证明：设T>0。需要证明系统(2)在[0，T]上存在唯一解。然而，由于在t=0时粒子有不同的位置，且权函数仅在r=0处奇异，因此局部唯一光滑解是存在的。那么就有两种可能性：在区间[0，T]粒子不发生碰撞，解可以延拓到[0，T]。或者存在t0∈(0，T]第一次发生碰撞，那么解唯一存在且光滑的区间为[0，t0)，假设这样的t0存在，然后根据它的定义，存在一个粒子S=1，2，3，…，N使得第S个粒子与其他一些粒子发生碰撞，用集合S表示这些碰撞粒子的集合，即有

其中，集合S中的元素个数|S|>1。同时设

2‖X(t)‖S‖V(t)‖S。

从而

(7)

另外

(8)

首先，对J1做估计。由于对称性，交换累加顺序易得

(9)

同理

(10)

根据式(9)和式(10)，计算得

(11)

此外，注意到对任意i，j∈S，有

‖xi(t)-xj(t)‖≤‖X(t)‖S，

且φ(·)非增，于是

(12)

紧接着对J2进行分析。由φ(·)满足假设和L(δ)是Lipschitz常数，有

vi(t))-φ(rkj)(vk(t)-vj(t))〉+

vj(t)，(φ(rki)-φ(rkj)(vk(t)-vj(t)))〉-

φ(rkj)(vk(t)-vj(t)))〉。

(13)

注意到在引理1中‖vk(t)-vj(t)‖≤2C，所以由Cachy-Schwarz不等式可得

4CJ2‖X(t)‖S‖V(t)‖S，

(14)

类似J1的方法，下面对J3进行估计

‖f(rki)(xk(t)-xi(t))‖≤

xi(t)‖m-R|×‖xk(t)-xi(t)‖m-1‖vk(t)-

vi(t)‖≤2CJ3‖V(t)‖S，

(15)

为了更好的对J4进行估计，先对f(rij(t))进行讨论，当i，j∈S，k∉S时，有‖xi(t)-xk(t)‖∈[δ，xc]，此时f(rij(t))是闭区间上的连续函数，那么一定存在常数C1，C2有

‖f(rki)-f(rkj)‖≤C1‖rki-rkj‖，

‖f(rij(t))‖≤C2。

于是可得

vj(t)，f(rkj)(xj(t)-xi(t))〉≤

‖(f(rki)-f(rkj))(xk(t)-xj(t))‖≤

‖xi(t)-xj(t)‖≤2CJ4‖X(t)‖S‖V(t)‖S，

(16)

联立式(12)～式(16)，则有

4CJ2‖X(t)‖S‖V(t)‖S+2CJ3‖V(t)‖S+

2CJ4‖X(t)‖S‖V(t)‖S。

(17)

因‖V(0)‖S≠0，故‖V(t)‖S≢0，将式(17)左右两边同时约去2‖V(t)‖S，可得

2CJ2‖X(t)‖S+CJ3+CJ4‖X(t)‖S。

(18)

根据式(7)，式(18)可化为

2CJ2‖X(t)‖S+CJ3+CJ4‖X(t)‖S。

(19)

将式(19)左右两边从0到t(t∈[0，t0))积分，

即

(20)

显然，式(20)的右边有界，而左边

这显然矛盾。因此解在[0，T]上存在且唯一。又由T是任意性，解最终可以延拓到无穷。也即t0→+∞，都有‖xi(t)-xj(t)‖≠0，i，j∈1，2，3，…，N，i≠j。证毕。

2 集群的充分条件

定理2 设定理2成立，那么系统(2)～系统(3)会形成免碰撞渐近集群。

(21)

注意到在假设中，φ非增非负。又由式(21)可推出

E(0)-E(t)≤E(0)

(22)

从而，进一步得到

对‖V(t)‖2求关于t的导数得到

vj(t))，f(rki)(xk(t)-xj(t)))〉‖≤

2Nφ(xc)‖V(t)‖2+

2C2N‖V(t)‖‖X(t)‖。

(23)

3 仿真实验结果与分析

例1 设m=1.2，初始位移v0位于区间[-5，5]且不相同的随机数，初始速度v0位于区间[-5，5]的随机数。通过使用Python数值模拟，得到图1～图4。由图1，图2可得，粒子相对位移不变，粒子的速度趋于一致，即粒子形成了渐进集群。在图3，图4中可以看出粒子最大位移差一致有界，期间最小位移差恒大于0。那么无碰撞渐进集群是可达的，从而展现了第三节结果是合理的。

图1 粒子的位移Fig.1 Displacement of particles

图2 粒子的速度Fig.2 Speed of the particles

图3 粒子的最小位移差Fig.3 Minimum displacement difference of particles

例2 设m=1.8，初始位移v0位于区间[-5，5]且不相同的随机数，初始速度v0位于区间[-5，5]的随机数。如图5～图8所示，粒子经过一段时间后速度趋于一致，相对位移不变，粒子间最大位移差一致有界，全局过程中粒子间最小位移差恒大于0。那么无碰撞的渐进集群是可实现的。

图4 粒子的最大位移差Fig.4 Maximum displacement difference of particles

图5 粒子的位移Fig.5 Displacement of particles

图6 粒子的速度Fig.6 Speed of the particles

图7 粒子的最小位移差Fig.7 Minimum displacement difference of particles

图8 粒子的最大位移差Fig.8 Maximum displacement difference of particles

4 结 论

本文对多智能体系统免碰撞集群做出了研究，通过排斥力与奇异值函数结合的方法来避免智能体集群的碰撞，将可能发生的碰撞问题转化为微分方程解的存在性问题，利用能量函数证明位移差的一致有界性与速度的一致有界性，在初值不发生碰撞的情况下，多智能体系统会形成渐进免碰撞集群。解决了多智能体系统的防碰撞问题，在无人机飞行应用中有重要实际意义。