浅谈初中数学总复习策略

赵佳棋

新授和复习虽然都是信息加工和认知形成的过程,但是两者间有着本质的不同。新授是知识的首次接触和初加工,但复习则是认知重构和知识脉络的形成性活动。初中数学总复习具有重复性、综合性和思想性三个特点。重复性是指所接触的信息是重复的,没有新知识的呈现,但是其中不乏新认识和新结构的生成。古语讲:“温故而知新。”复习是通过旧知识再现,完善已有的个人认知,克服细节遗忘,发现知识脉络,发现新的解题方法,形成新的数学思想。综合性是指复习中的思维过程非单一的知识复现,还包含新结构的生成和完善、旧能力的提升和促进等更为复杂的过程。思想性则是指通过复习可以形成更为成熟的数学思想方法,培养良好的数学思维习惯,形成以理性思维、批判质疑和勇于探索为基本内容的科学精神。

在初中数学总复习中普遍采用的策略有三种,他们分别是以知识系统的整理、迁移应用、结构抽象为中心的基础复习;以数学方法的抽象、迁移应用为核心的专题复习;以数学思想抽象、目标导向、数学研究和问题解决教学为核心的问题解决复习。以下我们分别予以探讨。

一、基础复习法

基础复习法,也可以称为教材复习法,是教师普遍应用的复习方式。它主要以教材知识点回顾和各种题型操练为主要形式。这种复习虽然以教材为基础,但是并非原来教学内容的重复,而是以篇章或单元为复习模块。虽然对于细节知识依然十分重视,譬如概念的内容及形成过程、基本公式及变形、基本思维方法的运用与变通,但是以章、单元为基础的复习,必然十分注重知识系统的抽象和完善,从而促进学生对于篇章、板块的知识结构的总结和概括,形成整体思维,站在全局的角度去思考局部的细节问题,思路更广,方法更多,这也有助于学生数学思想方法的形成和解放。

在整体结构构建任务完成后,还要谋求基本能力的提高和思想方法的运用,这需要大量的练习作为支撑。所以基础复习也是大量操作性训练和简单的迁移性练习的过程。例如,在复习实数与运算这一章节时,在知识架构的呈现后,教师则要补充大量的相关练习,如选择题、填空题、解答题等来巩固和训练学生对于此内容的理解。比如在一次函数与反比例函数的复习中,就可以给出一道选择题。这道题帮助学生巩固反比例函数的重要特征,是比较基础的。

A.经过点(1,-1)

B. 在第二象限内,y随x的增大而增大

C. 是轴对称图形,且对称轴是y轴

D. 是中心对称图形,且对称中心是坐标原点

以练为学是这个阶段复习的一大特征。但练习的增加,也会加重学生的学习负担。譬如简单题目的大量操练,虽然会形成思维定势,形成自动化能力,但是也容易让学生对学习感到枯燥乏味,讨厌学习。科学研究表明,重复的练习增加了大脑的血流量,也弱化了神经回路的连接,所以随着练习次数的增加,后期效果却往往是递减的。面对陌生的题目,学生往往不知道从何处迁移应用,会增加思考的价值性;挑战性的问题会激发学生的斗志,激发他们的创造性思维。在简单操练的基础上,也要增加一些新颖的、具有挑战性的题目,因为应对新挑战有助于大脑神经连接的形成,可以促进学生知识迁移和认知水平的提升。在复习中完善学生的认知重构,首先要在整体建构的基础上,形成对知识、思想方法和活动经验的全新理解,再通过适时的适当的练习实现巩固和迁移,提升学生的问题分析和解决能力[1]。

依然是一次函数与反比例函数的复习,我们可以设计这样的一道拔高题,以此来提升学生的数学思维高度和深度。

在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-的图像分别交x轴、y轴与C、A两点,将射线AM绕着点A顺时针旋转45°,得到射线AN。点D为AM上的动点,点B为AN上的动点,点C在∠MAN的内部。

(1)求线段AC的长:

(2)当AMx∥轴,且四边形ABCD为梯形时,求△BCD的面积:

(3)求△BCD周长的最小值:

(4)当△BCD周长取得最小值,且BD=时,△BCD的面积为______。

二、专题复习法

数学专题复习法是指教师根据教学实际在单位时间内集中对于某个专题进行讲解和训练的方法。常见的有以下两种方式:

第一种是总复习过程以教学内容砍块而确立的专题。初中阶段,根据数学教学内容,可以分为四大专题,分别为代数、几何、统计学初步、函数。其中代数又可以分为整式、分解因式、不等式、方程四个专题。几何可以分为三角形、四边形两大专题。统计学初步可以分为数据的收集和整理、公差和方差三个专题。函数又可以分为一次函数、二次函数、反比例函数和锐角三角函数。如果师生认为这些专题还是较大,还可以再细化为一些小专题,深入学习。比如方程专题还可以继续分为一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组三个专题。三角形专题可以划分为全等三角形和相似三角形两个专题。四边形专题还可以细化为平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等专题。上述结构如果能通过思维导图的形式呈现给学生,会给学生留下更加深刻的印象。这种知识专题结构因为和教材的编纂结构类似,所以在基础复习中教师可以有意识调整教材安排,把教材复习和专题复习结合在一起。

第二种初中数学复习专题则是以学生能力项目分类来划分的,如运算能力专题、抽象思维专题、创新意识培养专题、学习能力提升专题、数学思维训练专题、逻辑推理能力培养专题、数据分析专题等。但上述专题并不一定都要开展,用时也不一定要平均分配,完全由学生的能力基础来决定。比如根据学生数学计算能力弱而开设数字运算专题复习;根据学生应用题分析能力不强的实际情况,确立应用题解决复习专题;根据动点问题相对于学生较难的特点,开设动点专题复习;针对学生阅读理解能力弱而开设阅读理解能力专题;针对学生对图形观察能力弱而开设的图标观察专题等。

数学专题复习的设计可多可少,完全是根据学生的能力缺憾和知识疏漏而确立的。有人会说这是“头痛医头脚疼医脚”,不成系统,会造成学生思维混乱。但是这种复习方法适合于不同的学情,能较好地解决学生的缺憾,很好地解决因为一块木板短小而不能让水桶装满水的问题。

专题复习不仅要注意知识结构的构建,也要注重数学方法的抽象,数学思维的迁移应用。科学操作,可以很好地补充基础复习,提升学生的数学素养。

三、问题解决复习法

数学问题解决复习是指针对学生数学学习中所遇到的典型问题而采取的有针对性的专项复习方式,即通俗意义上讲的做题法。其重点是帮助学生积累数学做题经验,培养学生的数学思维,形成学生的数学思想。学生的数学解题能力是在具体数学问题的解决中形成的,也只有在数学问题的实际解决中才能够提升学生的分析问题能力、解决问题能力,学会灵活运用一般经验解决相似问题。

当然教师所提供的或学生所选择的数学问题往往都是一些难度较大、比较典型的问题。解决这些综合性和复杂性的问题,能够帮助学生形成严密的数学思想,培养良好的思维习惯,灵活应用这些思想方法和思维习惯到类似的问题解决中去。实践表明,导致学生不能很好地解决数学问题的深层原因在于学生的数学思想没能形成、数学思维不够严密、数学问题解决习惯不够良好,数学问题解决方法不足。要想解决上述问题,教师在教学中就要注意让学生体会到问题解决的三个思维阶段:

(一)定义阶段。即通过数学问题的感知,定义该问题属于哪个模块的问题、哪种能力范畴的问题。要认真阅读题目,确定题目的问题要求,明确自己要解决的问题。从目标问题出发,去感知问题中的目标和条件,并根据自己的理解画出适当的图示,用自己可理解的语言对问题中的逻辑关系做出清楚的表征。当然这些也可以不用展示在草稿纸上,而是缓存在自己的临时记忆中,并在自己头脑中已构建的知识系统中寻找与之对应的项目。

(二)编码阶段。即为问题的解决确定方式方法。根据上一步阅读题干所获取的目标问题信息,搜索相关的已提供信息,并搜索与此有关的知识系统或操作程序;重新编辑所需要的信息,利用自己记忆中形成的数学思想或数学思维模式,确立问题解决的工作流程。但是有些复杂问题很难简单地确定采取哪些途径解决,就需要解题者采用相应的转换手段,把它转换为多个简单问题。比如转换目标问题,把分式问题转换为整式问题;把应用题转换为几何问题;把函数问题转换为计算问题等。也可以转换已知信息,把提供的半径信息转换为面积信息;把提供的长宽高信息转换为体积信息;将提供的长度和时间信息转换可以利用的速度信息。通过已知信息挖掘出隐含的信息,再根据这些信息确定将要使用的定理、公式或可能用到的方法,从而最终制订问题的解决计划。

(三)解决阶段。也可以称之为计算阶段,根据编码阶段确定的解决思路,运用提供的各种信息,执行所需要的算术运算或推导。通过推理和计算,执行已确定的解题程序,由已知数据推导出未知的目标数据。在问题答案得出后,能够把方法升华为自己解决问题的一种成熟策略,尝试在以后的解题过程中迁移应用。答案放回到原题中去检验其正确性和合理性。能够对问题解决过程做科学评估和总结。

数学问题的解决需要做题者要有充分的智慧积累。这些智慧积累通常表现在三方面,分别是知识体系、思维方法和做题经验。做题者头脑中要有简约有序的知识体系。这个体系能够很快地帮助做题者从中提取信息,或者把遇到的问题快速地放到相应的体系中去思考,减少做题的盲目性。知识体系的形成不仅要求老师要对知识进行系统归纳,也要求学生要有自我整理能力,随时随地把自己新接触的知识放到自己原有的知识结构中,或者在原知识结构基础上生成新的知识框架。思维导图的制作是完善知识体系的一个重要方法,教师要教会学生运用并积极推广这种学习方法。思维方法看似很抽象,但是却真实存在于学生的思维深处。头脑中有丰富数学思维方法的同学会很快地把复杂的问题简单化,把模糊的问题清晰化,把未知的问题已知化,从而快速地确定问题解决方案并成功加以解决。优秀思维方法的形成需要学生认真听课,学会教师所提供的科学思维方法;需要自己积极总结,形成自己良好的思维习惯;需要经常性地补充和完善自己的数学思想,使之能够适应更大范围的问题解决。

做题经验是更为具体的思维方法,它需要学生在大量的做题、多角度的思考题目中逐渐形成。但是做题经验又不是千篇一律的,有些做法对这个人适用,对另一个人却不适用。做题也是有一般套路的,在没有自己成型经验可用的时候,学生可以借鉴老师、其他同学的经验尝试应用。适合则继续尝试并完善,不适合则放弃并尝试新的经验。从这个角度看,他人的经验还是很重要的。在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题等方面,教师总会提供一些一般性思考经验。比如从已知到未知的解题思路、从未知到已知的解题思路、从已知和位置出发,谋求二者相逢的双向解题思路,这些方法学生都应该尝试,养成验证的好习惯,证实所得结论的合理性[2]。学生的做题过程就是尝试一般套路,寻求适合自己独特套路的过程。在不断地尝试和归纳中,逐渐形成思维自动化、目标指向化、问题模块化,最终提升思维的迁移能力。

上述三种数学复习方法并不是完全割裂的,也不是完全分步进行的。基础复习中就有专题复习的影子,基础复习和专题复习也同样要去做题巩固。教师结合具体学情,灵活运用三种方法。根据学生的问题点,把这三个方法有机结合在一起,既注重基础知识的夯实,又注重专题项目的系统化,同时利用数学问题解决的契机,培养学生科学的思维习惯、形成科学的数学思想、提升学生的数学素养[3]。