初中数学应用性问题解决能力培养的实践

■江苏省灌南县六塘中学 江宋标

应用性问题就是将数学知识与生活现象结合在一起的题型，学生在解题的过程中能够体会到数学与生活实际的联系，不仅考查学生对数学知识的掌握程度，还考查学生对数学知识的运用能力。因此教师在教学的过程中不应当局限于做题练习，更多的是需要讲解解题技巧、培养学生数学思维，只有学生能够充分理解题目表达的意思，并结合生活实际和所学知识分析解题思路，才能提高解题的正确率，提高学生解决问题的能力。

一、因材施教激发学生兴趣

因材施教是提升学习兴趣的有效方法，这需要教师准确了解各个学生的学习情况，针对不同能力程度的学生采取不同的措施来培养他们的兴趣。比如，基础能力较弱的学生，特别是对应用性问题中涉及的概念、公式等基础知识掌握不全面的，教师要对其进行针对性辅导，先从简单的应用性问题开始，注重培养学生的解题自信，使他们不畏惧解题，只有学生自愿解决并会解答应用性问题，才能乐意解题。例如，教师在讲解求解速度的应用性问题时，便可以先向能力较弱的学生提出基础性的应用题：汽车行驶至五百米的隧道时，需要30秒才能通过，那么这辆汽车速度是多少？当学生通过画图正确解答出来之后，便能产生自信心，然后教师就可以在这道题的基础上逐渐增加难度，针对学习能力强的学生提出问题“汽车完全行驶在隧道中需要4秒，长度是多少米”，不仅可以满足能力强的学生的学习需求，也能够使能力弱的学生产生钻研精神，继续不断地深入学习。另外，教师也可以通过竞赛的方式让学生一同比赛，营造良好的竞争氛围，并给予解答问题又快又准的学生相应的奖励，让学生在比赛的氛围中发现数学学习的乐趣。例如，教师在讲解完“因式分解”相关知识后可以列出算式，分组让学生进行分解因式计算：a2b+5ab+b、(a-b)2-(a-b)(a-c)+(a-b)(b+c)、xn+xn-1+xn-2等，难度可以由易到难，然后对快速计算完毕且全部正确的小组予以物质或语言的激励，以此激发其他小组学生的解题兴趣，提升解题能力。

二、深挖例题拓展学生思维

应用性问题解决能力的培养并不是一蹴而就的，这是一个循序渐进的过程，即便学生有浓厚的学习兴趣也做不到在短时间内养成学习能力，教师应当始终将牢固的基础知识作为培养解决问题能力的根基。在讲解新知识时，教师可以选择简单的问题进行引入，教材中的例题、习题是与教学内容紧密关联的，所以教师可以将这些题目进行适当的改变，使其变为更为开放且发散的应用问题，从而引导学生学会分析，拓展学生的思维。例如，教师讲解“点和圆、直线和圆的位置关系”这一节内容的知识点时，便可以利用课本中的例题：不过圆心的直线Z交圆O于C、D两点，AB是直径，AE⊥Z，垂足为E，BF⊥Z，垂足为F，求证：CD=DF。教师此时可以对题目稍做变动，去掉课本中的例图和求证问题，让学生根据已知的条件自己画图，然后再进行证明。这样不仅可以使学生的四维空间思维能力得到拓宽，也能使学生养成数学的创新能力和问题解决能力。

三、结合生活实际加深学生理解

应用性数学问题中，有一些名词或者涉及的知识点是学生在生活中能够接触或者遇见的，所以教师在讲解价格、速度、股票、话费清单等与生活相关的应用问题时，便需要向学生普及一些有关的常见名词的知识，如成本价、利润、毛利润、速度等，只有学生清楚理解这些名词背后的含义，才能够在后续解题的过程中准确掌握题目的信息。教师还可以通过微信群或者QQ群时常与学生讨论一些购物方面的数学知识，分享数学资料等，如可以与学生交流某些学生喜爱的产品的打折活动，让学生比较哪一家的打折力度大，探究原因，以此提升学生的数学素养。例如，教师在讲解一元二次方程的题型时，可以结合“坐飞机托运行李”这一生活中常见的现象：行李托运时每人可以免费托运20千克，若超出规定标准则需要收取托运费用，费用需要按照每千克票价的12%收取，小李乘坐飞机时携带的行李重40千克，机票与行李超额费用共1455元，那么小李的机票是多少钱？这一题干更方便学生理解一元二次方程的解法，能使学生切身感受到数学的魅力。教师也可以选择创设数学情境的方式培养学生解决问题的能力，这便要求教师创设的情境即要结合教学内容，符合教学目标，还要含有丰富且直观的数学信息，符合学生的认知水平，便于学生理解。例如，教师在讲解不等式的知识时，便可以创设生产活动的情境：有一项综合治理河流的市政工程，需要砖瓦厂生产甲、乙两种类型的砖共60万块，其中A类原料有150万千克，B类原料有170万千克，若是生产1万块甲砖，需要使用A类、B类原料1.5万千克和4万千克，造价1.2万元；若是生产1万块乙砖，则需要使用A类、B类原料5万千克和2.5万千克，造价1.8万元，那么可以设计几种生产方案？当教师将不等式的知识与生产情境结合在一起，便能够引导学生利用所学知识分析生产方案，不仅可以加深学生对知识的理解，也能养成解决实际问题的能力。

四、巧设问题启发学生思维

提问是教师每节课必备的环节，不管教学内容是什么，学生的基础能力差异大或小，教师都必须通过深思熟虑，巧妙设计提问环节，即要避免问题过于简单，也要保证问题的趣味性，以保证学生有充足的探究欲望去解答问题。例如“三角形内角和定理”这节内容，教师在教学时可以根据学生的不同基础设计不同难度的问题，对于基础一般的学生，教师可以提问：△ABC是等腰三角形，若其中一角是30°，另外两个角是多少度。这类问题较为简单，能够满足基础能力不强学生的学习需求，但是面对基础较好的学生，教师便可以变更题目的难度：BC边上的高等于BC边长的一半，∠BAC是多少度。此时题目不仅需要将线段问题转化为角的问题，学生还需要根据已知信息画出相应图形，能有效达到推动学生探究的目的。

五、利用数学问题培养学生数感

初中数学教学引导学生学会用数学思维思考问题、用数学方法解决问题的前提，便是数感的培养。只有学生养成良好的数感，才能学习进步的同时懂得利用数学观念认识生活中的事物，懂得有意识地观察并处理存在的数学问题，因此教师在教学中应当利用数学问题培养学生数感，以提高提出问题和解决问题的能力。例如，学生学习正负数时，教师可以利用一张存折让学生去发现可以看到哪些数，它们表示什么含义；通过数学故事向学生介绍古代人们用“结绳记数”等方式表示数、用算筹进行计算；估算的范围等。只有这样才能促使学生将数学知识、解题技能与具体的事物联系起来。

六、利用数形结合思想转换学生解题思维

数学问题千变万化，类型多样，当遇到函数问题、几何问题、不等式问题时往往会有畏难心理，此时学生的数学思维被局限在固有的思维定式中，解题思路单一，不能将复杂的问题简单化，使学生在解答问题时受到阻碍。数形结合思想在初中数学的教学中能运用直观的图形使学生理解题目中存在的数量关系，以此提升解题效率。学生利用数形结合思想对应用性问题进行分析探究时，不仅需要分析数量关系，还要探究图形规律，在这样的过程中，学生的逻辑思维和空间转换思维也能得到一定程度的锻炼。学生具备良好的数形结合思想，便可以实现“以形助数，以数辅形”的教学效果。例如，数学函数问题，教师便可以利用数形结合的思想帮助学生寻找解决问题的突破口。教师可以出示题目：已知tanα=1/2，tanβ=1/3，求证α+β=45°。这道正切函数的问题需要学生利用题目中存在的数量关系构造角α、β以此求证α+β=45°，此时教师可以引导学生先根据已知条件画出角α、β，然后引导学生对图形进行构造，构造出角α+β，以便能够将抽象的数量关系转化为形象且直观的图形，借助图形的分析，学生便可以快速得到答案，不仅可以提升实际的解决问题能力，使解题效率得以提高，同时也可以使学生逐步养成数形结合思想，锻炼学生的数学学习思维。

七、讲解解题技巧提高学生解题能力

教师在教学时除了要让学生有扎实的数学基础，还需要为学生讲解解题技巧、解题方法或归类指导，培养学生的数学思维，以此提高学生的解题能力，加强学生的理解能力。应用性问题的解题思路整体上可以概括为读题、理解材料、进行问题转化、利用知识解决并应用，不过面对不同类型的应用问题，又有不同的解题技巧，所以教师要加以指导。应用性问题大都是固定的几种类型，即方程类、函数类、不等式类、几何类、证明类，在考试中出现的数学题也多是“换汤不换药”，教师指导学生掌握应用性问题各种类型的解题技巧，能够让学生减少考试失误，取得良好的数学成绩。比如，在讲解有关解答方程类的应用性问题时，教师便可以从认真读题，归纳题型、审视问题，寻找条件、筛选条件，分析有效变量、设置正确未知数，建立方程这几个步骤来让学生学习解题技巧，将重点放在对题目的阅读和分析上。另外，由于应用性问题彼此之间的关系不够明显，一些学生也没有灵活的解题思路，所以教师还需要引导学生找出应用性问题之间存在的关系，以保证学生能够养成良好的数量关系思维。例如，某工厂对明年的产品制订了生产计划，该计划中具有以下信息：1.参与产品生产项目的人员不超过150人；2.每一位员工一年的工时大约为2350个小时；3.该产品预计明年的销售量至少在6万件以上；4.该产品每一件生产需要3个小时；5.每一件产品生产需要的材料为15公斤；6.目前该厂库存的生产材料为700吨，但是实现今年产品生产还需要220吨，在明年可以补充960吨，要求：根据上述的资料，决定明年的产量（x）的范围。由于这类题目中存在较多的信息，学生在理解时容易混淆，因此教师便可以指导对题干信息进行分类整理，如工时为一类、生产时间与材料为一类、产量与销量为一类等，这样便可以使学生逻辑清晰，根据所学的生产相关的数学知识列出明年产量的关系式，从而能得到最终的答案。

八、加强练习，建立错题本

应用性问题的解题方式与分析思路各式各样，而且运算时的步骤也多，学生在解题时容易因为疏忽而出现错误，但是不论是何种应用性问题，只要学生练习得多，对其背后考查的知识点与题目类型便能够准确掌握，减少出错率。当学生出现错误时便可以建立错题本，将自己解决问题时出现的错误和正确的方法都列在错题本中，定期进行巩固练习，总结自己的错误，加深对正确解法的理解与记忆。只有学生在不断总结归纳中认识自我、复习知识，才能有效提高自学能力，加深学生对知识的记忆程度。学习能力比较强的学生都善于做总结和归纳，这类学生的思路往往比其他同学清晰，所以学习能力比较突出和显著，很多数学题目就是形式变了一下，其实考查的都是同一个考点，学生将相同考点的题目在错题本中进行归纳，总结这类题目的解决办法，从而可以提高他们的解题能力。

九、培养学生的建模意识

数学教学中的建模思想是核心素养理念中的一个重要内涵，培养学生的建模意识和建模能力能使学生更加灵活地运用数学知识，使他们产生多种解题思路去解决应用性问题。但是目前初中学生在数学学习中普遍存在的问题便是没有较强的建模意识，学生难以理解数学在生活中存在的意义，不懂得如何利用数学知识解决问题，因此教师必须重视培养学生的建模意识，提高学生解决数学应用性问题的能力。在平时的教学中，教师要注重对各种不同的数学模型进行详细的讲解，包括直角坐标系、不等式、几何、函数等，使学生在面对应用性题目的时候能够有效进行建模。只有通过建模的模式去做数学的推演，通过数学的建模来直观、精确地找到解决问题的答案，才能够使学生在运算时产生正确的结果。比如，在教学到裁剪布料这一数学问题时，教师就可以通过建模思想引导学生分析这个问题，学生可以将纸作为布料，用纽扣或者硬币代替圆桌台布，用橡皮代替矩形桌台布，然后在一张纸上进行排列演示，看能产生多少种组合排列的方式，而这就是一个建模的过程。

十、学会沟通交流把握数学语言

沟通、交流不论在生活中还是在学习中都是不可或缺的一项基本能力，加强沟通交流才可以增进学生之间的感情。在数学教学中进行沟通和交流，主要是需要学生学会运用数学语言，以此养成对数学工具的运用能力和对数学信息的把握能力。例如，教师在讲解等边三角形的相关知识时，需要学生正确了解等边三角形的性质，此时教师可以用小组合作的方式让学生集中讨论，并用自己的话将这一知识点论述出来：三角形的三条边若是都相等，就是等边三角形。这样不仅可以实现师生、生生的良好互动，使用通俗易懂且不失数学含义的语言进行交流，便可以让学生形成良好的数学语言。

综上所述，初中数学应用性问题的形式多样，解题方法也各有不同，教师在教学时应着重培养学生对问题的解决能力，这不仅能使学生掌握的数学知识更加扎实，还能提高学生的逻辑思维能力，对学生综合素养的提升也十分有利。