数学模型思想与小学数学教学的思考

■山东省东营市实验小学 盖维丹

数学模型思想在人们生产、生活、学习、科研等解决实际问题中多有应用，信息化时代，用构建数学模型的方法优化各种工作方案更是广泛普及。因此小学数学教学中，引导学生形成数学建模思想，参与建模实践和探究活动，对强化小学生的数学核心素养培养具有积极作用。所谓的数学建模思想就是利用数学知识、数学能力解决生活、工作、学习中实际问题的一种方法理念，数学建模的方法在生物、医学、地质、气象、经济、社会、物理、化学、天文、工程、管理等领域都有应用。小学生是祖国的未来，是将来社会的建设者和事业接班人，从小养成数学模型思想和思考习惯，有助于在后续的学习和工作进一步更好地应用。

一、小学数学模型思想的认识和重要性

（一）小学数学模型思想的认识

小学数学模型思想就是用数字符号、运算符号组成的关系式，概括、抽象事物发生、发展规律的思维方法和学习理念，通过一种数学结构，更直观地理解掌握数量关系、空间形式及现实世界事物特征的表达，小学阶段数字符号、运算关系式、整数、分数的图像表示、面积公式、应用题类型、代数符号、代数式等，都是数学模型具体的表达；数学模型思想的实质就是数形合一思想的表现，属于最基本的数学思想，不断地渗透数学模型思想，才能提高小学生的抽象思维能力，培养小学生透过现象分析探究问题规律的习惯，学会用科学的方法思考、解决问题。人们在解决日常生活、工作、学习中的问题的过程中，都喜欢利用经验和事物发展变化的规律，探讨寻找解决问题的办法，这个利用规律模式的过程就是数学模型思想的具体运用，数学模型思想在生活实践中的应用，提高了解决问题的效率，找到了解决问题的捷径，是数学能力在改造自然过程中生产生活能力的转化提高，促进了社会的发展。如购物，一件日用品按正常的价格出售，获利10元，如果采取打折的方法进行促销，购买此日用品每超过100件，则打5折，这样每天出售的日用品的数量，就会大大增加，那么，促销活动能不能为商家提高预期的收益呢？借助数学模型，能从理论上推算出销量达到多少时，出售日用品获利最高。因此，正确认识数学模型思想，关键在于对数学模型的应用有足够的了解，懂得数学模型的应用方法，让小学生从小养成学用数学模型的习惯，不断创新解决问题的思路、途径和方法，发展小学生的数学思维能力。

（二）小学数学模型思想的重要性

模型方法是数学方法中的骨干架构和关键内容，广泛应用于信息化社会和市场经济的各个领域，数学模型思想的形成就是通过数学符号表达和抽象，把具体事物或者现实情境进行数学结构化，发现事物变化或者实际问题存在的规律性，将数学知识、数学能力进行科学应用，实现相关知识能力的转化，使数学核心素养潜移默化地渗透于逻辑思维能力、智力能力的发展的提高过程，不断把形象思维能力优势转化为抽象思维能力，善于从纷繁复杂的现象中，归纳、概括事物变化规律和本质的要素，利于在解决问题中，抓住核心关键的优势条件。小学数学模型思想是小学生数学应用能力创新发展的具体体现，在新课标的10大核心概念中，是“独一无二”的唯一的“思想”概念。并对这一思想概念的教学，提出了具体要求，就是把小学数学模型思想的建立作为一种基本途径，帮助、引导小学生体会、理解和探究数学与社会大千世界外界的内在联系。使小学生养成科学的思维习惯，能在客观事物变化的现象中，发现信息，归纳、抽象、概括成数学问题，利用数学知识、能力，解决问题，提高数形合一思想、等量交换思想、数量关系思想等解决实际问题的能力。比如，用数字符号、代数符号、计算公式等明确数学问题、实践问题中的变化规律和数量关系，运用计算的方法，获得“问题”的处理“结果”，并对结果的意义，组织探究讨论，加深对发现规律、利用规律，解决问题的方法的认识，逐渐形成数学模型思想。

二、小学数学教学中模型思想的培养过程

（一）设计课堂流程

小学数学新课标及课程改革要求，小学阶段的数学教学是小学生学习数与代数的抽象过程，运算与建模的过程。培养数学模型思想的过程中，提高小学生的发现问题能力、概括分析问题能力和科学地解决问题能力，能使学生理解、掌握基本的数学模型，能够在面对纷繁杂乱的数学现象时，运用自己的模型进行梳理、求解，把握和认识数学现象反映的本质规律，排除杂乱数学信息的迷惑，把数学知识转化为数学能力。鉴于此，小学数学课堂教学过程中，培养数学模型思想的环节、顺序、内容等，要构建一种体系，形成完善的结构，有利于教学效果和作用的充分发挥。整个教学活动分三步走：第一步，问题情境；第二步，建立模型；第三步，求解验证；这三步是一个连续的教学环节，表现为一个整体的课堂教学活动，小学生经历这个学习历程，有利于掌握数学知识、数学技能，循序渐进地积累数学活动经验，体会数学模型思想的本质，完成新课程标准中数学模型思想教学的目标。

（二）数学模型思想建构的过程

数学模型思想是科学的意识，成熟的经验和有效的方法，与数学知识中的概念、性质、公式、法则、定律等存在着密不可分的内在联系，小学生在经历、体验和探索的过程中，才能逐步形成数学模型思想。如1、2、3、4、5，这几个数字符号，小学生从幼儿园、一年级就开始认识、书写，并利用数字符号表示事物的多少，2可以看作2个苹果，也可以看作2支笔、2本书、2场电影、2件事；等等。从小的事物个体，到大的事物个体，从有形的事物个体到无形的事物个体，在长时间的练习、运用中，学生认识了数字符号这个模型，这个模型能在生活、学习中为统计、计数所利用，并且方便、快捷。因此，小学数学模型思想的建立，不是一蹴而就的结果，而是从一年级到五年级的数学教学中，学生认识、理解、运用数学概念、性质、公式、法则、定律的过程中，慢慢积累的“产物”。以除法教学为例，学生对除法的接触、认识、理解逐步抽象概括的过程，是在减法基础上的进步和创新，知识和能力的继续和发展。如6÷2=3，第一步，教师要让学生充分认识6÷2=3，6÷2的“商”是表示6平均分成2份的结果，一个盘子中，平均放2个苹果；6个苹果，需要多少个盘子？一个铅笔盒中平均放2支铅笔，6个铅笔需要多少铅笔盒？一天平均练习写2个大字，6个大字该练习几天？在生活中，平均分配苹果、铅笔、大字等事物的问题，可能遇到很多，比起一个一个地循环分发得到结果的方法，利用这个6÷2=3模型来计算，可以说，准确、快捷，发生错误的概率比数数要低且更直接简单。第二步，对6÷2=3模型认识的延伸，如果6÷2=3反过来，变成6÷3=2的意义，就是6平均分成2份，每份3个，变成6平均分成3份，每份2个。就是6个苹果平均分到2个盘子，每个盘子分到3个苹果；6支铅笔平均分到2个铅笔盒，每个铅笔盒分到3支铅笔；6个大字平均练习写两天，2天每天写3个大字；6÷2=3和6÷3=2这两个数学模型，数字符号相同，运算符号相同，商和除数互不相同，表示的意义却有很大的区别，教师要让学生深刻地认识到两者之间的区别，并通过列式、运算的过程，让学生体验数学模型在应用中的变化规律，这就是数学模型思想的转化规律。第三步，对6÷2=3模型认识的递进。让小学生在学习6÷2÷3=1的过程中，回顾6÷2=3模型认识，进行合作探究，增进对数学模型思想的了解、理解，具备一定的数学模型的应用能力。在教学中，注重打破“固化式”的死记硬背传统，不能让小学生先背除法口诀再进行口算、笔算，而是在6÷2=？从6÷1=？6÷2=？6÷3=？的计算中，悟出“口诀”内容，发现计算规律，挖掘数学模型思想的真谛，强化小学生的数学核心素养，提高小学生的数学能力。如此在学习中不断提升学习兴趣，把数学模型思想自然而然地融入数学知识、技能的应用过程中，让学生更好地体会数学的应用性功能、特点，学习兴趣不断地提升，能够辨析、梳理不同类数学模型间的相互关系、内在联系，概括其中的规律性，能灵活运用所学知识。

（三）坚持数学模型思想的长期连续培养

小学数学中的数字符号模型的应用，公式、性质数学模型的应用，从低年级一直到高年级，循序渐进，小学生在各种数学模型的认识、应用，再认识、再应用的过程中，才能形成数学模型思想意识。以分步应用题教学为例，第一步，必须建立在小学生熟悉运算模型的基础上。如300÷（30+20）=6这个四则运算模型，就是按照“先算乘除，后算加减，有括号的先算括号”的法则顺序进行计算，在此基础上，让学生巩固练习200÷（30+10）=？500÷（80+20）=？800÷（30+50）=？等。第二步，提出问题：要挖一条长300千米的水渠，两个工程队分别从水渠工程的两端开始施工，问几天后两个工程队挖通相遇？这是个典型的相遇问题模型，学生要掌握的数学核心知识要素有两个：第一个是两个工程队每天挖多少千米；用数字符号模型表示，即30km、20km；然后，利用加法计算模型进行计算，30+20=50；第二个是水渠总长多少千米，即300km；了解掌握这两大知识点，运用除法计算模型，就能得出相应的结果，即300÷50=6。第三步：数学模型思想培养的拓展延伸。在原来的问题中，增加知识元素和数学模型内容，即2020年，刘家湾要在山南修建一条长300km的东西向水渠，王四工程队和刘二工程队承揽施工，王四工程队人多机械设备条件好，每天能挖30km；刘二工程队机械设备差，人少，每天只挖20km，从2月25日开始，两个工程队，分别从东西两端施工，问，几月几日才能挖通？在这个实际问题的解决过程中，除了利用300÷（30+20）=6数学模型外，还要引入日历模型，即一年12个月，1、3、5、7、8、10、12为大月，每月31天。4、6、9、11为小月份，每月30天；2月份闰年为29天，平年为28天；在解决问题的过程中，必须明白2020年是平年还是闰年，然后，从计算结果的6天中，从2月25日开始计算，结合平年、闰年的日历模型，对工程竣工时间进行评估。这样，从低年级的数字符号模型，中年级的四则运算模型，到高年级的应用题模型+日历等生活经验数学知识能力模型的运用，小学生数学模型思想逐渐形成，不但能解析应用题，还能对生产、生活中工程施工、经营利润等通过构建模型进行计算预判，强化数学知识能力在社会发展中服务功能和作用的发挥。

三、小学数学教学中数学模型思想培养层次把握

（一）让学生探究摸索数学模型的构建过程

数学模型的构建及解决问题的过程，能激发小学生的兴趣，获得克服困难、取得成功的成就感。比如，让低年级的学生学会用数字符号模型，进行物体多少的计数；“8”表示8只杯子；8本书；8双袜子；8个人……小学生理解、掌握了数字符号模型，树立了数学模型思想，在对无序的事物或问题进行统计清理时，能做到思路清晰，先分类，再计数，不至于在计数过程中分不清类别、顺序和计算方法。在教学中，教材中很多现成的数学模型都是前人长期辛勤探究的结果，像数字符号、代数式、计算法则、公式、定律等，不能让小学生死记硬背公式、法则，要引导、指导、启发小学生探究构建数学模型。又如，“圆的面积”的教学，在小学生了解了面积的概念后，基于长方形面积求解的模型，教师指导小学生把圆形以圆心为起点，圆周上的任一点为终点，进行连线，把圆形平均分成若干等分，在此过程中，可以比赛，看看谁分的份数更多，激发学生探究的兴趣，然后，进行归类整合，让学生去发现，圆形变成了长方形的过程，运用长方形的面积公式模型，求解圆形的面积，理解圆的“半径”与长方形的“宽”的关系，长方形的“长”与圆形的周长的关系。通过数学模型的构建过程，树立数学模型思想。

（二）化解小学生数学模型探究的难度

小学生年龄小，生活阅历不够，知识面窄，在探究数学模型的构建运用过程中存在不同的难度，教师要给予启发、将其化难为易，激励学生不断进步。如速度模型、反比例模型等抽象程度较高的数学模型。

（三）运用熟悉的数学模型解决实际问题，举一反三，巩固练习

教师要根据各个年级学生的年龄特点和教学大纲的要求，让学生结合生活中的购物、工程、分配、统计等现象、经验，运用熟悉的数学模型解决问题，促进数学模型思想的进步。

四、结语

综上所述，小学数学模型思想与小学数学教学是个融合的教学活动过程，数学模型思想与数学模型运用是数学教学本质的两个方面，必须结合学生的生活经验，提高学生构建模型的能力，把实际问题简化、具体化，概括规律，以利于解决问题。