细说基本不等式在求最值时的“变形”

丁伟伟（江苏省六合高级中学）

数学学习的关键是概念。基本不等式知识点蕴含了换元思想，命题者正是运用这种思想，通过先换元再变形，加强知识应用的难度。因此，从解题者的角度来看要学会逆向思考，如何变形成为解题的关键。

一、基本不等式求最值的原理

基本不等式求最值的原理是：积定和最小，和定积最大，用符号语言表述为：已知a＞0，b＞0，P为常数。

（1）若a+b=P，则当且仅当时，等号成立，此时

（2）若ab=P，则当且仅当时，等号成立，此时

二、从基本不等式求最值的原理谈变形

G.波利亚在《怎样解题：数学思维的新方法》一书中强调，理解题目，包括未知量是什么，已知数据是什么，条件是什么。基本不等式求最值的原理本身也是一个命题，它呈现的题设和结论涉及两种运算（和与积）、一个不等号、一个定值、两个正对象，而变形的设置往往也从这几个方面谈起。

1.从两种运算和不等号方向谈变形

下面是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学5 必修》“13.4 基本不等式”的课后习题及其变形，变形正是从两种运算和不等号的方向入手。

（1）若x＞0，y＞0，且2x+5y=20，求lgx+lgy的最大值。

（2）若x＞0，y＞0，且log3x+log3y=2，求的最小值。

第（1）小题求和的最大值，与原理中不等号的方向相反，可以尝试变形目标为积运算；第（2）小题求和的最小值，与不等号方向一致，利用积定和最小，变形条件为积是定值。

因此，当条件和目标中只涉及一种运算时，可以结合原理中不等号的方向变形。

2.从定值条件谈变形

我们先来看这组例题。

（1）已知x＞0，求的最小值。

（2）已知x，y同号，求的最小值。

解析：本组例题隐藏了定值，结合两种运算和不等号方向，尝试寻找积为定值。

上述例题虽然简单，但是立意却很深远。以第（2）小题为例，首先，令第（2）小题转化为第（1）小题，体现了换元思想；其次，它提供了一类隐藏定值条件的模型——倒数型，这种模型不仅常见，而且具有一般性。看下面笔者编排的题组。

题组1：

（1）已知x∈( -2，+∞)，求的最小值。

（2）已知x∈( -2，+∞)，求的最大值。

题组2：

（1）已知x，y同号，求的最小值。

（2）已知x，y同号，求的最小值。

（3）已知正数x，y满足x+y= 1，求的最小值。

题组1和题组2表明：对于分式函数和二元齐次分式，若能运用基本不等式求最值，最终都能化为形如或的倒数型求最值问题。

3.从两个正对象谈变形

基本不等式求最值的原理中只涉及两个正对象，为了考查学生的目标意识，往往会隐藏研究对象，如下面的题目。

（1）若a＞0，b＞0，且，求ab的最小值。

（2）已知x，y，z均为正实数，2x+3y+z=1，求的最大值。

（3）已知x，y，z均为正实数，x-2y+3z=0，求的最小值。

第（1）小题中已有定值条件，已知和求解中涉及两种运算，但是研究的两个正对象不一致，由条件和为定值我们可以直接求出的最大值，从而间接求出ab的最小值。

第（2）小题中涉及三个字母，显然不能孤立地作为研究对象。目标求的是积运算的最大值，条件中是和为定值，从运算和不等号方向来看均无矛盾，但是两个对象前后不统一，结合目标分析，可以通过换元最终统一研究对象。

第（3）小题可以从以下两个角度实现研究对象的一致。一是从定值条件入手，此题定值条件不明显，可以变形为，这样研究对象即为和目标可以变形为。二是从不等号方向出发，目标是积运算的最小值，可以尝试变为和运算，结合条件中等式消去y，可以将目标变为转化为倒数型。

由此，当未知量较多时，往往通过减元或换元，结合其他变形角度，确定研究的两个正对象。

综上可知，运用基本不等式求最值，变形不外乎从两种运算和不等号方向、定值条件、两个正对象入手，变形的目的最终是为了换元，从而明确研究的两个正对象。