建立在无穷概念上的微积分

刘美玲

（上海电机学院文理学院 上海 201306）

1 微积分课程

微积分课程充满了大量的定理，公式和计算。而这些几乎都建立在“无穷”这个概念上。微积分是一种简洁优美的学科和科学，题目的计算复杂和精妙，往往能使具体的问题快速有效而简洁的解决好。比如求最值问题，传染病模型，几个数学函数，几步计算就能得到很好的结果。微积分出色的模拟了大自然，用数字和符号定义了这个世界，认识了宇宙，阐述了逻辑之美。最终利用它的神奇力量预测未来，创造世界。无穷是微积分中一度难以逾越的难关，因为无穷带来了悖论，使得一向逻辑严谨的数学科学产生了哲学灾难。最初数学家们从曲线、运动及其变化中寻求规律和解决之道。天文学家从宇宙中找寻万物运转的规律和秘密，试图用严谨的数学推导使人信服，推动文明的进程[1]。天文学的研究客观上促进了数学和物理学的发展，对人们的生活产生了深远的影响。二维码结账，GPS导航，天文学和数学无处不在。

曲线和曲面形式丰富，随处可见。它们不像直线和平面容易计算和想象，面积和体积的计算变得难以下手，造成了概念上的困惑。古代数学家曾花了很大力气想要求解圆的面积，然而上千年无数数学家锲而不舍的研究却进展缓慢。

2 不规则量计算中的无穷应用

微积分的应用广泛，曲线、质量、引力，时间等都可以作为分析对象。最开始的微积分学科是作为数学分析课程产生的。初等数学是从几何发展来的，在规则图形的研究已比较完备后，不规则形状的圆形，球状，甚至完全不规则形的物体的面积、体积及相关的其他测量阻碍了数学的发展。微积分在数百年对带曲线形状体的研究中诞生了。先哲们以直代曲，以不变代变，以若干线段代替曲线，用已有的方法研究未知的曲线性质。问题很快出现了，近似代替的精度越高，线段越接近无穷小，线段数量越接近无穷多，通过无穷求和，积分学首先诞生了。无穷的思想历经多个世纪，历经众多最伟大的数学家的共同努力，终于于17-18世纪取得了进展。积分学诞生后，人们对以曲线为基本元的不规则体，以及以非均匀变量为基本特征的不规则量的研究达到了狂热的程度。这些研究使微积分理论迅速丰富起来，并产生了相关的很多分支学科，比如概率论与数理统计，运筹学，矩阵理论，微分方程等，已经被广泛应用到了工程领域各学科，使现代科学进入了微积分研究时代，现代科学得到了突飞猛进的发展。

在几何领域取得突破进展后，积分学自然地被用来进行运行之谜的探索。当然牛顿也是在运动规律的找寻中发现了微积分。这促成了微分学的诞生。它准确刻画了不规则运动时无穷小时间和距离变化之间的关系。

牛顿和莱布尼兹把代数的符号与无穷的力量结合起来，他们把积分学甚至公式化了，任何运动都变成了无穷求和。20世纪初爱因斯坦将微积分应用于一个原子跃迁模型，从而预测了一种受激发射的奇特现象，基于这样的基础理论，最终激光器被发明了。微积分甚至用到了医学领域，从病毒的传播机制与人体免疫的模型入手，分析预测病毒的传播机制，控制病毒，从而使一些绝症变为慢性疾病。

最早在公元前200多年，古希腊数学家们就执着于研究曲线之谜。他们希望将曲线形状和直线形状联系起来，然后实际计算中困难重重。如何定义“无穷”，它是数字，变量还只是一个概念？这个思想最开始被应用到了圆的面积求解中。数学家们把圆分割成曲边三角形，首先分成了四等分，但是曲边用直线近似显然很粗糙。继续分割成16等份，每一份更加接近三角形，显然分割的份数越多，曲边三角形的曲边就越扁平，越接近圆面积的真值。如果能够无穷分割，则所有曲边三角形面积之和就是圆的面积，这是一个极限的思想。但极限太抽象了，似乎是一个无法达到的目标。一千多年里数学家一直想解决极限的问题，用数学语言描述无限接近的意思，直到微积分产生后，才给极限有了一个严格的定义。这都是因为无穷难以定义。中文中有很多关于无穷的词汇，无穷无尽，后患无穷，回味无穷等，也许中文和数学上的无穷本来也是同一种意思，然后数学需要定量分析，无穷需要数学化，用变量描述，最好能赋值。我们小学阶段就学过除不尽的分数，比如三分之一，写成小数就是0.333……，后面有无限重复的3，这里就有了无穷，实际计算中或许我们取几个3就行了，所以没有启发我们进一步考虑如果精确取值怎么处理。然而类似圆的面积这样的用无穷近似求极限值计算的，我们还是希望能解决无穷之后的极限如何求解。把圆分割的越来越细，每一份的面积都越来越小，接近0了，分数来自分配或者分割，无穷分割似乎就是给0个做分割，大胆从除数为0引出了无穷的数学表达，除数不能为0，最开始，用了接近0的数字试探，比如0.01，0.001，0.000001，随着除数接近0，商变得越来越大，趋于无穷了。除数为0导致了经典数学的动荡，无法从实际意义上理解。亚里士多德曾警告说在无穷的问题上犯错会导致各种逻辑悖论。两千多年的初等数学都是研究有限的理论，无穷在哲学上遭到了抵制。

芝诺悖论，阿喀琉斯的乌龟悖论都蕴含了无穷的思想。无穷思想之所以难以理解，是因为数学来自实际生活，都是有限的测量需求，无穷难以和实物联系起来，有虚无缥缈的感觉，使得一千多年以来的哲学家数学家们难以接受，甚至拒绝接受，觉得有悖于现实，没有任何价值。无穷只能存在于理想化的假想世界中，假装一切事物可无线分割，微积分就是建立在这样的假设基础上，如果没有它，无法定义极限，经典数学、天文学、物理学都停滞不前。圆的面积的计算，无法除尽的分数的存在，无理数的客观存在，使我们不得不面对无穷。不能只研究有限，即使包含有理数，也难以使数轴上连续充满数，必须有无理数，用实数才能定义连续。无穷使得很多研究得以继续，也简单明了了。

阿基米德也曾研究过圆的面积，他将几何学与力学结合在一起，先用六边形代替圆，六边形包含6个等边三角形，每条边长都等于圆的半径r，圆的周长大于6r,圆周率被认为是圆的周长和直径之比。继而用24边形，48边形，96边形近似圆，最终得到了圆周率大约在3.1408和3.1428之间，这种方法后来被称作穷竭法。在我国的九章算术注当中亦有记录“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。随着边数增加，圆周率可以更加精确下去，直到小数点后面无穷位，既没有可见的终点也没有可知的极限，但它的定义和描述已经很清晰了，它是秩序和混沌之间的平衡，为后面微积分的产生奠定了非常好的理论基础[2]。阿基米德的穷竭法说明了任何想要测量曲线长度，曲面面积，不规则形体体积的方法，都必须面对无穷小部分的无穷级数和的极限问题。穷竭法和无穷在现代应用中无处不在，甚至被用到了动画中，动画师用几千万个多边形创造出了怪物史莱克，阿凡达等，视频用静止的上千万帧组成。德国应用数学家们通过CT扫描的人面部颅骨三维结构，把微积分和计算机建模结合，预测复杂的面部模型。用几十万个四面体形成了皮肤、肌肉等软组织，在医学上都很有价值。

3 微积分中的无穷应用

除了早期的数学家哲学家外，天文学家和物理学家们对数学的力量更为推崇。伽利略认为只有用数学才能认识世界。开普勒用圆锥曲线描述太阳系，哈利奥特将数学应用于光学、航海技术，笛卡尔将代数和几何联系起来，用于研究光，彗星等[3]。经典物理学研究了物体运动的规律，用数学方程来描述。天体运动的规律经过对空间和时间的无穷分割似乎也可以用普通物理学的知识研究。中世纪的学者们一直研究和探讨这些问题。艾萨克牛顿无疑是其中最优秀之一。他用“流数”定义了流体的变化率，莱布尼兹用微分表达了无穷小时间内的变化量。这就是最早的导数概念。牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》一书中用最初的微积分思想解释了运动定律和太阳系运转的秘密。伯努利兄弟也开始学习和研究微积分，许多学者以极大的热忱参与了微积分的完善和传播。一生勤奋的欧拉是其中最伟大的数学家之一，欧拉对数学有很高的造诣，并将之熟练应用到了天文学、工程领域甚至哲学里。他撰写了《微积分预修》教科书，发表的论文和著作不计其数，其中《无穷小分析引论》是最著名最有影响力的数学经典著作。这本书具有里程碑的意义，它把函数作为主要研究对象，从纯代数的角度研究微积分，使无穷小分析不再依赖几何性质。自此代数学脱离了几何学，从初等数学跃升到了高等数学。这本书是现代很多微积分教科书的范本。欧拉提出了无穷级数的概念，用无穷多项式逼近无穷阶可导的任意函数。他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，使得很多函数值可以精确计算。

然而虽然很多学者用到了无穷的思想，在计算中严谨或者不严谨的使用了无穷小量，牛顿和莱布尼兹也都提到了无穷小量，但他们都认为它是虚无的存在，只有极限状态时用来辅助描述一下。物理学家认为无穷小不对应实物，在数轴上不存在，所以涉及的计算没有数值解，它应该被看作是一种思维方式。在函数关系中自变量的微小变化被认为是无穷小，这个变化量一般会引起函数值的一个较小的变化量，它们都趋近于零。但是把自变量的微小变化量和函数值的微小变化量作比较，却能得到一个相对巨大的数值。也就是说变化率并不微小。这让数学家们理解了曲线上一点的斜率，瞬时速度，曲线长度和曲面面积等。现代教科书把无穷小定义为极限为零的变量。它是微分的本质，它使得计算变得简单了，甚至程序化了。比如计算一个曲边三角形的面积，初等数学需要分割，近似，逐个部分计算，烦琐而复杂，而使用微积分的话，只是一个公式，两三个步骤即可。

现在微积分被广泛应用于工程学，天文学，医学，管理学，农业科学等各领域，是大学阶段必修课程，已被普遍理解和接受，关于它的理论还应用还在持续被挖掘中，它的未来还会更加大放光彩。