创设探索活动 搭建思维阶梯

潘霞

一、缘起

2021年10月13日至15日，江苏省中小学教学研究室在镇江市丹徒区茅以升实验学校举办了“2021年江苏省初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动”，笔者参加了“苏科版数学教材七年级（上）‘角（2）’”这节课的评比，荣获佳绩。在这节课的设计过程中，用尺规作一个角等于已知角是本节课的教学重点，也是教学难点。如何创设探索活动，帮助学生搭建思维阶梯，在用量角器画一个角等于已知角的基础上思考并迁移作图方法呢？下面呈现此片段的教学实录与评析。

二、教学片段实录与评析

活动（一）用量角器画一个角等于已知角。

师：同学们，你会画一个40°的角吗？怎么画？

生：用量角器画40°的角。

师：量角器可以画一个大于0°小于180°的角。请大家动手画一下，并回顾一下用量角器画一个角等于已知角的作图步骤。

生：量角（对心、对线、读数）——画一边（画射线）——定关键点（对心、对线、描点）——画另一边（画射线）。

设计意图：通过回忆已有经验，让学生理解用量角器画等角的关键步骤是要找到关键点，而关键点的位置是根据度量已知角时的读数来确定的，从而启发学生思考如何用特殊的量角器画等角。

活动（二）用特殊的量角器画一个角等于已知角。

层次1：用没有刻度的量角器画一个角等于已知角。

师：（拿出一个半圆形纸片。）老师也带来一个量角器，同学们观察一下，老师的量角器跟你们的有什么区别？

生：没有刻度线。

师：没有刻度线的量角器，用它怎么画一个角等于已知角？

生：可以先标记号，再复制记号。

师：怎么标记号？

生：用半圆形纸片对心对线，找到已知角的另一边与量角器边缘弧的交点，做标记。

师：怎么复制记号？

生：作一条射线为角的一边，将半圆形纸片与这条边对心对线，描出记号，确定关键点，画出角的另一边。

层次2：用没有零刻度线且没有刻度的量角器画一个角等于已知角。

师：（拿出一个两边都破损的半圆形纸片。）老师这里还有一个量角器，这跟刚才相比又有什么不一样的地方？

生：没有零刻度线。

师：用它怎么画一个角等于已知角？怎么标记号？

生：两边破损，没有零刻度线，先任意折出一条零刻度线，接下来和刚才的方法一样。

师：折零刻度线，相当于找到了零刻度线与量角器边缘弧的交点，也就是零刻度点。实际上作了几个记号？

生：两个，一个零刻度点，一个读数的点。

师：零刻度线的位置固定吗？

生：不固定。

师：那说明这两个标记号的位置不唯一。

（也有同学直接找两个标记点，再复制标记点，视课堂生成灵活处理。）

层次3：用几何画板观察两个标记点之间的距离随着角的大小的变化而变化。

师：（打开几何画板。）同学们，这两个标记点都标在哪里？

生：量角器的边缘弧上。

师：标记点的位置不唯一（拖动其中一个标记点，引导观察。），其中一个点的位置发生变化，另一个点也跟着发生变化，但不变的是什么？

生：两个点之间的距离。

师：（几何画板显示两点之间的距离，验证学生的猜想。）如果角度改变，两点之间的距离会发生变化吗？（用几何画板演示，学生观察。）

生：会，这两个点之间的距离随着角的大小的确定而确定，随着角的大小的变化而变化。

师：依据上面问题的解决，用特殊量角器画等角的步骤有哪些？

生：画一边——标记号——复制记号——画另一边。

设计意图：从用量角器到用没有刻度的量角器，再到用破损的量角器画一个角等于已知角，经历从有刻度的量角器（读数），到没有刻度的特殊量角器（标记）的过程，借助几何画板的演示让学生感受到两个标记点的位置与角的大小的关系，从而归纳出用特殊量角器画等角步骤：画一边——标记号——复制记号——画另一边，而这个步骤与用尺规作等角的步骤是一脉相承的。

活动（三）学生尝试用尺规画一个角等于已知角。

师：如果将作图工具换成没有刻度的直尺和圆规，如何标记号并复制记号，从而作出一个角等于已知角？请小组合作思考并尝试解决问题。

（小组合作：先独立思考，再小组交流，最后派代表展示交流。）

（如果学生没有思路，可以适当引导。）

师：记号标在量角器的边缘弧上，量角器的边缘弧是什么形状？

生：半圆。

师：记号是角的两边与半圆的交点，半圆怎么画？用什么工具？

生：用圆规画半圆。

师：半圆的半径是否有要求？

生：没有，任意半径的半圆。

师：记号找到了，接下来如何复制记号？先复制哪个记号？

生：先复制角的一边与半圆的交点，再复制角的另一边与半圆的交点，复制后的两点与之前的两点在相同半径的半圆上。

设计意图：类比用特殊量角器画等角的步骤，用复制的观点思考如何借助尺规标记号、复制记号来画一个角等于已知角。让学生经历从数（刻度）到形（标记），从有形（量角器）到（用圓规）造“形”，从特殊到一般，从简单到复杂，从具象到抽象，架设通往用尺规画一个角等于已知角的梯子，逐步引导学生突破学习的重难点。

活动（四）归纳用尺规作等角的步骤。

（教师总结步骤：画一边——作弧——定点——作另一边。随后引导学生用三角形的稳定性检验两角是否相等，并美化过程。学生独立完善作图过程。）

设计意图：让学生在观察、探索、交流的基础上，尝试归纳出“作一个角等于已知角”的方法，给出规范的作图步骤，完善作图过程，并美化作图过程。

活动（五）感受用尺规作图的必要性。

（教师介绍用尺规作图的数学史，播放生活中用尺规作图应用的小视频。）

设计意图：适时引入数学史，让学生了解用尺规作图的由来并感受学习用尺规作图的必要性，感受学习数学知识是为了更好地服务生活。

三、教学思考

学生在小学已经初步地认识了角，会用量角器画一个角等于已知角，但学生对如何用尺规作一个角等于已知角既缺乏知识基础也缺乏经验基础。本节课的难点是如何在已有的知识经验基础上想到用尺规作一个角等于已知角。

为了化解学生的学习难点，需要给学生搭建合适的梯子让学生逐级攀爬，达到会用尺规作一个角等于已知角的目的。笔者通过四个思维递进的活动，创设画一个角等于已知角的操作流程：（1）如何用一副三角尺画出一个特殊角;（2）如何用量角器画出一个角等于已知角;（3）如何用特殊的量角器画出一个角等于已知角;（4）如何用尺规画等角。这四个活动让学生经历了从特殊到一般，从简单到复杂，从具象到抽象的思维过程，让学生在做的过程中通过前后活动操作的关系分析，体验和感悟画一个角等于已知角的实质，从而内化知识，提高数学思维品质。

笔者在用量角器画等角的基础上，启发学生思考用尺规画等角。从读“数”到标“形”，从“有形”到“造形”，摒弃了传统的按部就班根据步骤画图的教学模式，一步一步引导、启发学生。

数学学习的过程是一个知识生长和思维发展的过程，在学生已有的知识经验基础上，通过从特殊到一般的研究思路，类比量角器画一个角等于已知角，思考如何用尺规作一个角等于已知角。通过动手实践操作，帮助学生积累数学活动经验，提高他们解决问题的能力， 让他们充分感受“做”数学的魅力。

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