“数学建模思想”在高考数学中的应用

郑记科

(河南省驻马店高级中学 463000)

高考数学，题型较多，题目新颖，难度较大.为了让学生在有限的考试时间内做出更多的题，做对更多的题，从而取得更高的数学分数，在高考数学中引进“数学建模思想”是尤为重要的.“数学建模思想”的引用，对于学生来说，是帮助学生理解题很好的方式，简化题目，这样，能够让学生去很快地解决问题，从而有时间对求解的结果进行检查，以此提高做题正确率，从而在高考数学中取得好成绩.因此，下文将从“数学建模思想”的定义以及“数学建模思想”在高考数学中的基本形式介绍“数学建模思想”.

1 “数学建模思想”的定义

为了去探究“数学建模思想”在高考数学中的应用，应该先对“数学建模思想”有一个简单的了解.“数学建模思想”其实可以理解为学生通过对文字性题目的分析，通过列方程组、不等式、函数，画几何图形等，使复杂的题目简单化，将文字性题目转换为学生所熟悉的数学方程式、图形等，从而更有利于学生去求解问题，提高做题效率等.在这样的基础上，通过“数学建模”，能够让学生以一个轻松愉悦的方式去学习数学，并且能够在高考数学中，考出水平，考出优势，这对于那些希望通过数学拉开差距，从而取得一个好的高考成绩的学生是很重要的.

2 “数学建模”的基本高考题型

高考数学是一个考查学生综合思维的学科，一般来说，高考数学题型较多，题目新颖，对于学生来说难度较大，但大部分题目都是可以通过“数学建模”来实现题目的简单化的，从而有利于学生去求解，提高做题效率与正确性.根据数学知识点的不同，数学建模可以分成多种形式，高考数学的题型也可以分为多种模型，从而有利于学生去逐一地掌握知识点.

2.1 函数模型

例1在2016年的山东高考数学中有这样一道函数题：已知函数F(X)的定义域为R，当X<0时，F(X)=X2-1；当-1≤X≤1时，F(-X)=-F(X)；当X>0.5时，F(X+0.5)=F(X-0.5)，求F(6).

解决这一类问题，可以通过“数学建模思想”来完成.学生给通过读题目，分析出题目所给函数是一个组合函数，这一组合函数分为三段，在条件当X<0时，F(X)=X2-1中，可以画出X<0时的函数图像.而在条件当-1≤X≤1时，F(-X)=-F(X)中，可以发现该函数在-1≤X≤1区间内为奇函数，从而能够画出函数在-1≤X≤1上的图像，从而得出函数式；而观察条件当X>0.5时，F(X+0.5)=F(X-0.5)，可以发现函数在X>0.5上为周期函数，从而根据它们的周期规律，能够画出这一段的函数图像，并得到函数式.因为F(6)在X>0.5内，求出第三段的函数式将X=6代入式子，就能进行结果的求解.通过逐步分析，辅助画图这一种“数学建模”的方法，能够让学生的解题思路更加清晰，也有利于计算结果的检验.

2.2 线性规划模型

例2在2012年的广东高考中有这样一道线性规划题：已知变量X，y满足条件：X+y≤1；X-y≤1；X+1≥0.则Z=X+2y的最小值.

求解这一问题，学生可以通过“数学建模思想”，将题目所给信息，转变为图形，从而有利于学生更直观地看出三个函数所处的位置.再将三条函数的相交点求出来.将Z=X+2y进行转化，在图上画出y=0.5X这个函数.让y=0.5X在平面直角坐标系中进行上下平移，最终找到Z=X+2y的最小值.这一方法，应用了空间想象与图形辅助的“数学建模思想”.通过文字转变为图形这一方法，能够让学生更直观地去求解这一类问题，从而为高考数学解题节省时间.

2.3 排列组合模型

例3甲、乙、丙、丁四人两两进行握手，问他们一共要握多少次手.

对于这一问题，应用“数学建模思想”，学生可以联系实际，情节带入，再应用数学知识进行求解，这样往往能使问题简单化.学生可以先假设自己是甲，就需要和其他三位同学进行三次握手；再假设自己是乙同学，因为已经和甲同学握过手了，所以还需要和丙、丁两位同学进行两次握手；再假设自己是丙，因为已经和甲、乙两位同学握过手，所以只需和丁握一次手；当轮到丁时，他已经和全部四位同学握过手，所以不需要去再次握手.最终应用分类加法计数原理，计算出结果.对于像这样的一些简单的数学排列组合问题，可以这样情景带入，这样便于学生去展开思考，最终解决问题.还可以通过一些简单的文具，比如说笔，用四支笔，进行实际操作，两两配对，最终得到答案.通过情景带入这种“数学建模思想”，能够很好地解决排列组合这类问题.

2.4 立体几何模型

例4在一个圆柱体的物体上，一小虫子在圆柱体的侧面上进行爬行，从底上爬到与之相对的顶上，已知圆柱体的高为10cm，圆柱体的圆的半径是4cm，问小虫爬过的距离.

解决这一类问题，需要用到图形结合的“建模思想”，学生需要在草稿纸上画出一个圆柱体，在圆柱体上根据题目信息标注出小虫的起始点.联系实际生活，学生应该知道圆柱体应该是立体的；再结合课本知识，知道圆柱体的侧面展开是一个长方形，长方形的长就是底面或顶面圆的周长.而小虫爬行的距离为长方形的一顶点到另一边中点的距离，为一直角三角形的斜边.通过圆的周长公式算出圆的周长，取一半就是长方形同一侧顶点到中点的距离，就是直角三角形的一直角边，而圆柱体的高就是直角三角形的另一条直角边.通过直角三角形的边与边关系的公式，就能够求解出斜边，就是题目所要求的结果.这一“数学建模”的过程，应用了图形结合，实际联系等方式.

2.5 概率统计模型

例5简单的概率模型如：甲在一次比赛中获胜的概率为0.6，乙在一次比赛中获胜的概率为0.4，问甲乙两位同学进行三次比赛，采用三局两胜制，那么甲乙两同学获胜的概率分别为多少.

解决这一类问题，学生同样可以应用“数学建模思想”，将这一问题与现实生活联系起来，进行“数学建模”.同学假设自己是甲，那么甲同学获胜分三种情况，一种是甲同学连续获胜两次，从而直接结束比赛，这种情况甲同学获胜的概率则为0.6*0.6；另一种情况是甲第一次获胜，第二次失败，第三次再获胜，从而赢下比赛，这种情况，通过计算，获胜的概率为0.6*0.4*0.6.第三种情况，则是甲同学第一次失败，后两次获胜，而这种结果出现的概率为0.4*0.6*0.6；最后通过分类加法计数原理，将三次概率相加就是甲同学获胜的概率.计算乙同学获胜的概率也是一样的.通过“数学建模”，往往能够让学生在解决概率统计这类问题时，思路更加地清晰，从而解题的效率也就更高.

在高考数学中，题型大概就是这些，对于不同种类的题型，应用相似的数学建模思想，往往也能够给数学题目建立起模型，从而方便学生去观察，去找出解决问题的最优方法，以此来提高学生的做题速度与正确性，从而取得一个好的数学成绩.这是教会学生去应对高考数学的一种很重要的方法.

3 数学建模思想在课堂中应用的措施

3.1 设立问题情境，激发学生兴趣

一些学生在高中学习生涯中，总是感觉数学比较难学，成绩较难提高.其实学习数学知识并没有想象中的那么困难，只是学生在思想中对数学的恐惧，才造成学习数学困难的假象.建模思想是高中数学学习当中非常重要的一项内容，主要体现为主体性原则，从根本上来说，就是通过设置问题情境，使学生拥有对数学探究的热情，让学生对建模产生兴趣.

3.2 在高中数学课堂讲解的过程中，要渗透数学建模思想

教师在数学课程中深入讲解数学概念，可以有力地渗透建模思想：第一，要通过分析数学理论本身所具有的一些特殊性，对数学当中的其他内容进行渗透，如在《三角函数》教学过程中，可利用三角函数的特性展开积极引导.第二，要注意数学教材当中一些规律性知识内容的总结延伸，使学生能够深入理解数学概念具有的普遍性.第三，通过对数学理论和模型间的相互联系，促使学生对概念产生更深的认识，进而全面理解数学建模同有关理论间的转换作用.

3.3 在应用题教学当中，数学建模思想的应用

知识与实际问题结合的题目在逐年增多，利用数学运算来体现出数学事物的变换规律，建模方法更科学，数学结论更加可靠.因此，在实际应用题讲解过程中，需要进行一些基础知识的扩展，利用数学模型来实际解决问题.第一，在分析应用题的过程中，不仅要对题目更深层次的含义进行研究，而且还要将其进行变式.第二，依据一些原有的条件对数学模型进行有效求解.第三，依据数学模型体现出来的一些规律，展开科学预估.

“数学建模思想”能够帮助学生去应对高考数学中不同种类的题型，“数学建模”的过程，往往是根据数学题目中的一些条件，将复杂的文字表述转变为学生容易理解的解方程组、观察图形，联系实际等形式，从而让学生能够有条理地去分析问题，从而快速地求解出答案.“数学建模”的过程，不仅有利于学生去快速解决问题，也有利于学生去检验结果，从而提高学生做题的正确性.因此，“数学建模思想”在高考数学中的应用，对于学生来说发挥着巨大的作用.