在“分数的意义”复习课中积累数学活动经验

许明坚

[摘 要]在教学“分数的意义”的复习课时，教师应指引学生通过实践操作、反思、研究讨论等环节，不断汲取必需的数学知识和技能，积累必备的数学思想方法和活动经验。

[关键词]分数;平均分;单位“1”

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）02-0075-03

课程标准中关于积累数学活动经验的要求，不仅对新授课管用，对复习课也同样有用。即便是在复习课中，教师也要将此要求坚决贯彻到底，不能打折扣。笔者仔细揣摩和研究了这个教学要求，结合复习课“梳理全局”“综合应用”“延展提高”三部曲，以“分数的意义”复习课为例，论述数学复习课的三大策略。

一、连：梳理全局，前后贯通，夯实基本面

【片段一】

师：本学期我们进一步认识了分数，现在再度与分数相逢，你有哪些新的收获？

（学生讨论分数的意义、分数的分类、分数单位的区别、分数与小数的关系）

师：咱们先从分数的意义切入，请讲一讲分数的基本意义。

（教师板书：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数）

师（出示课后练习第1题，见图1）：分数不但可以用图形的涂色部分来表示，还可以用数轴上的点来表示。你能将这些分数进行分类吗？

生1：我将这些分数分别与单位“1”比较，将分数划分为真分数和假分数两大类。真分数就是分子小于分母的分数，其分数值小于1，反映到数轴上就排布在0和1之间，即真分数都比1小;假分数的分子大于或等于分母，假分数大于或等于1。

（教师板书：真分数<1≤假分数）

师（出示课本例题与课后练习第2题与数轴）：[15]处于数轴的什么位置呢？[23] 、[112] 、[54]呢？

生2：像[54]这样的假分数，可以按照一定的方法将它化成整数或者带分数，然后在数轴上找出它的位置。

师：这些分数的数值各不相同，那它们的分数单位是一致的吗？请说一说它们的分数单位分别是什么。为何有的分数单位相同，有的不同？到底是什么决定了分数的分数单位？如果把单位“1”平均分成n份，那么无论取多少份，所得到的分数的分数单位都是[1n]。分数[52]还能用其他得到的数来表示吗？

生3：可以，[52]=2.5。用分数的分子除以分母，计算出结果，就能得到相应的小数。

师：刚才你们运用除法将分数转化成小数，那分数与除法之间有什么关系？[板书：[ab]=a[÷]b（b≠0）]现在，数轴上既有分数也有整数和小数，这些数都有自己的计数单位，请你们说一说1.25、2.5、3的计数单位分别是什么，并在数轴上标出它们的位置。（学生给出的答案见图2）

师：数轴上的一个点，倘若用分数[15]刻画，这个数的计数单位是什么？倘若用小数0.2刻画，这个数的计数单位是什么？这个点用分数[66]刻画时，这个数的计数单位是什么？用整数1刻画时，这个数的计数单位又是什么？

生4：数轴上的同一个点，如果用不同形式的数表示，那么这个数的计数单位也不同。

【反思】

苏教版数学教材的分数内容分为三大块：第一块是从认识物品开始，给出一个物品或图形，通过切分一个物品或图形，分出几分之一和几分之几;第二块是认识一些物品的集合体，也就是从一些物品中分出几分之一和几分之几;第三块是认识分数的算术意义，识别分数单位，区别真分数和假分数，以及理解和掌握分数和除法的运算关系，在此基础上学会转化分数和小数。笔者的教学设计遵循了这一编排逻辑，先引导学生独立重构知识体系，再结合教材上的配套练习题，帮助学生巩固有关分数的基础知识。

分数具有多重意义，在不同的学习阶段，学生需要掌握的分数意义是不同的。分数最原始的定义是对单位“1”的平均分，即便在这种定义下，学生对分数的书写、表达还是有一些困惑，突出表现在对假分数的理解上。学生要想突破假分数这个难点，必须借助分数的第二重意义，即分数可以用来表示除法算式的商。在被除数大于除数的一般情况下，如果得不出整数商，就可以用一个假分数来表示：被除数作为分子，除数作为分母。从这个角度理解，假分数的存在是合情合理的。同时，对分数单位的梳理可以让假分数获得合理解释。

二、练：综合应用，查漏补缺，形成基本技能

【片段二】

师：前面我们从分数的意义、分数的计数单位、分数的分类、分数与除法的关系四个方面系统梳理了分数的有关知识，下面我们就学以致用。

练习1.物流显示快件已经流转了路线的[45]。[45]这个分数在这里作何解释？

把（  ）看作单位“1”，将其平均分成（   ）份，（ ）占了（  ）份。[45]这个分数本身就暗含了一个除法运算的结果在里面，[45]=4÷5，如果将（  ）看作4份，那么（  ）就有5份。

練习2.大伯开车带着陈鹏回家过年，在高速路上因超速受到处罚，大伯的平均车速是最高时速的[54]。这里的[54]有什么含义？

把（   ）看作单位“1”，将其平均分成（  ）份，（  ）占了（   ）份。改写成除法算式就是5÷4=[54]，其中（  ）是5份，（  ）是4份。如果该路段限速80千米/时，那么大伯的驾车速度是多少呢？

练习3.如果把武汉到中转站杭州的一条线路平均分成4份，把始发站武汉到终点站合肥的一段路平均分成5份，你能用[45]、[54]来编一道题吗？

【反思】

综合练习板块，笔者设计了一个题组，密切结合生活情境，始终围绕[45]和[54]这两个互为倒数的分数。先引导学生理解真分数[45]，再引导学生理解和吃透假分数[54]的含义，最后通过对比，交叉渗透理解两个分数，达到辩证统一的目标，使学生更加深刻、全面地掌握分数的意义，以及真分数和假分数在分数意义下的统一性，修补学生对分数与除法关系的认识漏洞。这样的教学设计不但达到了检修知识体系的目的，而且还让学生学会了应用，帮助学生真正掌握有关分数的知识。

分数的意义的多重性常常会让学生混淆，但是如果对分数的意义运用得当，也能起到互相促进、互利互惠的教学作用。让学生在不同的含义之间来回穿梭，取长补短、扬长避短，如对[45]和[54]的理解，既可以根据现实情境，从分数的意义来理解（将一个整体平均分成5份，取其中4份），也可以从除法的角度理解（将4平均分成5份，每份是多少），还可以将两个互为倒数的分数编进一个情境里，利用分数的第三重意义，即一个量占另一个量的几分之几，让学生进一步感受分数的意义。谁占谁的几分之几，其实就是一个除法运算的比例问题，可以从基本意义的角度理解，一般将后者看成单位“1”，分成与实际数量相等的份数，1份1个，前者与之进行一一对应，对上了几个，就是几分之几，只要将两个数颠倒，就可以生成互为倒数的两个分数，这样不但让学生加深了对分数内涵的认识，而且织牢、织密了分数各意义之间的交互关系。

三、炼：延展提高，锤炼思维，积累活动经验

【片段三】

师（同时出示三组☆图案）：画一画，使○的个数分别是每组☆的[23]。

（学生展示画法）

师：为何大家画的○的个数不一？

生1：因为每组☆的个数不一，也就意味着单位“1”的量各不相同，所以在平均分的份数相等的情况下，每一份的量也不一样，因此对应的○的个数也不一样。

师（出示面积为1平方米的长方形）：请在图中表示出[34]平方米。

（学生在长方形上涂色，表示出[34]平方米，并展示交流：把面积为1平方米的长方形平均分成4个小长方形，其中3份就是[34]平方米，实际上就是选取1平方米的[34]）

师（出示一个面积为3平方米的正方形）：请在图中表示出[34]平方米。

（学生自由发挥）

师（展示学生的两种方法：第一种是把正方形平均分成4份，给其中1份涂色，第二种是把正方形平均分成4份，给其中3份涂色）：哪种方法是对的呢？

生2：第二种。可以借助分数和除法的关系来理解，[34]写成除法算式是3÷4，根据除法运算的意义，就是把3平方米平均分成4份，进行等分除，除法运算的结果就表示每份数，也就是其中1份的量，这种方法得到的[34]平方米就表示3平方米的[14]。

师：通过以上作图，我们认识到，[34]平方米可以是1平方米的[34]，也可以是3平方米的[14]，两种理解方法都行得通。通过这次对比，你获得了什么启发？另外，对于[74]这个假分数，你有什么全新的理解？将你的想法写下来，与大家交流。

【反思】

延展提高部分分为两大环节，画圆练习可以进一步渗透分数的原始意义，通过不同的画法得出同一个分数，彰显“殊途同归”，使学生认识到同一个分数，如果参照的单位“1”的量不同，那么即便选取相同份数，每份数的量也不同。画面积，重在贯通不同分数的意义与理解方式，构筑较为完备的分数认知体系，为写分数打下基础。写分数的练习重在检测学生对分数的理解情况。

分数如果仅仅作为一种新的数出场，其实不管其意义多么丰富、用途多么广泛、内涵多么深刻、灵活性多么强，学生都可以通过教师的讲解和自主练习熟练掌握，但是分数一旦与生活中的事物挂钩，学生就会面临理解上的一道鸿沟。学生平常理解整数的单位量就因为缺乏量感而倍感吃力，现在冒出一个分数，更是难以理解，因为分数的意义的特殊性、相对性和机变性在很多场合和情境下会产生歧义，给学生带来理解障碍。如题：（1）一根绳子长5米，用去[13]米，还剩多少米？（2）一根绳子长5米，用去[13]，还剩几米？“用去[13]米”和“用去[13]”一字之差，分数的意义就发生翻天覆地的变化，前者表示一个数值，后者表示一个比值。再如，1米的[34]和3米的[14]，意义不同，说法不同，但是最终的结果却一致，恰是因为数据的巧合，这个用切分分析法理解很困难，而用分数的乘法运算机制则可以解释清楚：1×[34]=3×[14]。

综上所述，分数的意义和分数计算虽然丰富多彩、复杂多变，但是其基本意义不变，分数计算的算理是建立在两个对比量（部分和整体或者具有对应关系的同类量）的比率和倍率运算上的，万变不离其宗，只要在復杂多变的形式中坚持用单位“1”来连接、贯通分数的多重意义，就能灵活处理分数问题。

（责编 黄 露）