让“鸡兔同笼”改头换面

王化山

[摘 要]人教版小学数学教材将“鸡兔同笼”这一经典内容作了布局上的调整，除了位置上的移动，在课程内容上也做了进一步的补充和完善。而这一更改让教师措手不及，因为这个学段的学生还是以直观思维经验为主，如何让他们形成较为完善的抽象代数思维呢？

[关键词]鸡兔同笼;变式;建模

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）02-0027-03

解决“鸡兔同笼”这一经典问题的方法很多，除了可以用拼凑法、绘图法、列表法等传统方法，还可以用假设法、逻辑推理法等来解决。不过，对五年级学生来说，他们也有一点得天独厚的优势，那就是刚刚学会了简易方程。对此，笔者便让学生现学现卖，教授他们运用解方程来应战“鸡兔同笼”问题。

在新授课时，问题也随之而来。笔者发现学生掌握解决问题的技巧后，课堂作业上却无相关练习题可供训练。因为复习巩固必不可少，所以笔者通过互联网搜索相关例题和训练题，但这些现成的例题都过于陈旧。于是某位前辈的忠告浮现在笔者耳畔：“‘鸡兔同笼’无非就是一个两积之和的数学模型，只要摸清这个模型的原理，就可以变化无穷，题目编之不尽。”作为数学教师，要搞清楚“鸡兔同笼”问题的真面目，也就是其背后的数学本质是什么。我们要求学生能够融会贯通，对其背后的数学模型解构游刃有余，那么教师更应该做到挥洒自如。反过来想，依据“ax+b（c-x）=d”的初始模型，可以先给每个字母赋值，然后配备现实情境，最后编写出形态各异的习题，岂不是更有趣？于是，笔者立即着手编题。

一、压岁钱、书法、电子产品，与时俱进

“鸡兔同笼”问题其实是一个模式问题，可以衍生很多变式，而这些变式如果仍然停留在动物的头数和腿数，或者拘泥于一些日常生活中常见的物品，如桌椅数和桌椅腿数，那么势必会降低学生学习的兴趣。学生在单调乏味的情境中很难产生解题的动机和兴趣，也很难自发地寻找当前情境与鸡兔情境中头数和腿数的对应关系，即使自主地与“鸡兔同笼”问题产生类比，也会生搬硬套，形成思维定式。而如果换成与现代生活密切相关的素材，情况则大为改观。

习题1：2021年伊始，刘华一共收到了3500元压岁钱。这些压岁钱都装在红包里，其中100元的红包和200元的红包一共有10个，两种红包里的压岁钱共计1800元。那么，刘华收到100元的红包和200元的红包各几个？

【编写意图】从学生感兴趣的压岁钱说起，代入感强，学生易于接受。即使不能运用方程解决，学生也能凑出答案。该题有一个多余信息——3500元，需学生自行发现，并搜集有用信息代入模型，列式为100x+200（10-x）=1800。

习题2：王爷爷酷爱书法，在朋友的推荐下，王爷爷花392元买了两套书法字帖，一共21本。一套是《启功楷书字帖》，每本26元，另一套是《启功隶书字帖》，每本12元。请问王爷爷购买的这两套书法字帖各有几本？

【编写意图】教育部发布的《中小学书法教育指导纲要》要求，从2013年春季開学始，书法教育将纳入中小学教学体系。另外，练习书法贴近生活实际，能让学生产生共鸣。代入模型后，列式为26x+12（21-x）=392。

习题3：2021年春节，某福利院获得商家捐赠的点读机和儿童智能手表共100套，总价14000元。其中，点读机每套500元，儿童智能手表每套50元。点读机和儿童智能手表各有几套呢？

【编写意图】本来此题的原意也是想从购物着手，但为了避免和学习文具重复，于是换成了学生喜爱且熟悉的电子产品，类似的有关电子设备的题目也可以编成“鸡兔同笼”的习题。同样代入模型，得到500x+50（100-x）=14000。

习题4：超市搞新年促销活动，李阿姨抢购了很多食品，其中纯牛奶和豆奶一共买了5箱，共计84盒。已知纯牛奶每箱12盒，豆奶每箱24盒。请问李阿姨买的纯牛奶和豆奶各有几箱？

【编写意图】笔者编写此题的本意是想考查学生对“毫升”“升”等容积单位的理解和运用，但是考虑到第十册才学到，所以暂时作罢，换成盒数。代入模型后，列式为12x+24（5-x）=84。

压岁钱、书法字帖、电子产品、超市购物……这些都不再是新瓶装旧酒，而是彻底改头换面，学生可以摆脱鸡兔模式的束缚，通过对“鸡兔同笼”问题的公式解构来重新设计新的解题思路。不仅如此，不断更换新的情境，学生就要在不同的情境间穿梭切换，而且每次都需要重新思考，有效避免了思维的机械重复。同时，不同情境下的解法又有着异曲同工之妙，学生会在不知不觉中归纳出一套自己的解法，形成独特的经验。

二、直播、游乐园、装修，尽在其中

习题5：某网络主播在平台直播带货，卖的是某品牌燕窝。主播卖出一箱“白燕”平均要花20秒，卖出一箱“红燕”平均要花15秒。该主播连续2分钟不间断地直播后共售出7箱燕窝。请问他售出的“白燕”和“红燕”各几箱？

【编写意图】直播带货也可以入题，直播带货可谓“时间就是金钱”，利用好直播时间，时间单位也可以用来编成“鸡兔同笼”问题，再次让学生看到“鸡兔同笼”问题情境的时髦性和多样性。该题应先换算时间单位，2分=120秒，代入模型后，列式为20x+15（7-x）=120。

习题6：寒假里，韦丹家一行5人去游乐园游玩，成人门票每人260元，儿童门票每人200元，买门票一共花了1180元。请问韦丹家有几个成人和几个儿童一起去了游乐园？

【编写意图】游乐园是学生感兴趣的话题，可紧紧抓住学生的好奇心。本题列式为260x+200（5-x）=1180。

到此为止，绝大多数学生都能顺利解决以上六道习题。

习题7：李叔叔家正在装修，客厅地面用两种规格的方形地砖铺成。一种地砖边长是0.4米，另一种地砖边长是0.8米。已知客厅面积为24平方米，共用去地砖60块。请问两种规格的地砖各用了多少块？

【编写意图】本题又换单位了，这次换成面积单位，许多学生解题时会忽略要先计算地砖的面积，再代入“鸡兔同笼”模型，导致正确率直线下降。边长0.4米的地砖面积为0.4×0.4=0.16（平方米），边长0.8米的地砖面积为0.8×0.8=0.64（平方米），代入模型后，则有0.16x+0.64（60-x）=24。

如果说创新情境、紧跟时代是为了激发学生的探究兴趣，让“鸡兔同笼”这一古老问题焕发出新的生机，那么习题7中的“铺地砖”情境就是为了将代数问题与几何问题挂钩，实现学科内不同分支的融合。“鸡兔同笼”问题本是代数问题，但是通过一定的转化，可换装成几何问题。学生通过计算地砖的面积来推算需要的块数，这样一来，学生所掌握的几何知识就可以遷移到代数问题中，凭借几何知识来加深对算术问题的理解，可谓“他山之石，可以攻玉”。买门票是生活中常见的情境，但过去这类情境多用于方案设计，通过规划和计算比较哪种购票方案最省钱，而习题6则是让学生通过总票价和单价推算出儿童票和成人票各有几张，这种用熟悉情境编写新问题的做法，可以让学生较快进入状态，并摸清解题线索，且不受原有题型的负迁移影响。

三、健身、环保、自驾，包罗万象

习题8：寒假里，李强坚持健身。从2月12日到2月18日，他每天不是做一次俯卧撑就是做一次仰卧起坐。已知李强平均每次做俯卧撑145个，平均每次做仰卧起坐20个，这几天他一共做仰卧起坐和做俯卧撑640个。请问这几天他做俯卧撑几次？做仰卧起坐几次？

【编写意图】这题意在提醒学生寒假不忘健身，因为题目没有明示“鸡兔”总“头”数——做运动的天数，所以很多学生错算成18-12=6（天），导致这道题正确率不高。正确的天数应为18-12+1=7（天），列式为145x+20（7-x）=640。

习题9：蚂蚁森林热度不减。快递员小明和同事们组成的“绿化队”打算在蚂蚁森林“植树”。计划男员工每组植树6棵，女员工每组植树5棵。他们5个组计划一共植树28棵。请问男员工分为几组？女员工分为几组？

【编写意图】这道题意在告诉学生，涉及植树情境的并非就是“植树问题”，也可以是“鸡兔同笼”问题。本题列式为6x+5（5-x）=28。

习题10：寒假里，李华和张阳相约去九寨沟游玩。李华开车20分钟到达目的地，张阳开车30分钟到达目的地。已知李华从家驱车抵达目的地再到张阳家一共是39千米。如果李华和张阳各开一辆车，1分钟一共行驶了1550米，请问他们的车每分钟各行多少米？

【编写意图】这道题的正确率最低，学生可能是被“行程”绕晕了。另外，笔者刻意用分钟做单位，一是因为学生尚未学会将分钟数化为用分数表示的小时数，如30分钟换算成[12]小时，20分钟换算成[13]小时;二是想避开直接出示速度单位。本题的“鸡兔”总“头”数——李华和张阳分别开车到达目的地的路程之和，这个条件比较隐蔽，其实题目中已经给出，即39千米=39000米。将条件代入模型，列式为20x+30（1550-x）=39000。

任何学科的教学都讲究三维目标，其中最难实现的就是“第三维”——情感态度价值观，尤其是数学学科，很难渗透情感教育和道德教育。过去的“鸡兔同笼”模型就遭到一些学者的质疑，说将鸡和兔子放在一个笼子里饲养，这不符合养殖科学，也无法培养学生关爱动物和敬畏生命的悲悯情怀。而且，有的解法中甚至提到“假设每只兔子砍掉两条腿，每只鸡‘移植’两条腿”，这种假设本身就违背珍爱生命的德育宗旨。现在，将题目换成书法、环保、健身等情境，就可以有效渗透德育教育，培养学生热爱生命、珍视健康、保护环境、人与自然和谐共处的正确价值观和世界观，学生在学到数学知识的同时，也提高了道德水准，陶冶了情操。

以上十道例题，采用的情境形形色色，运用的数学知识点也很多，但是都有一个结构相同的内核。诚然，研究“鸡兔同笼”问题的价值不能拘泥于鸡兔本身，而在于这个模式下的数学推理规则，让学生在建模的过程中体会问题条件与问题逻辑之间的关联以及各个数量的结构框架，这才是设计“鸡兔同笼”问题的目的——训练学生的思维能力，塑造学生的数学思想方法，用数学来开启学生智慧的大门。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 徐晓良.“笨”方法也是“好”方法：《鸡兔同笼》单元重组引发的思考[J].小学教学设计，2020（32）.

[2] 罗增儒.基于综合实践活动的教学探究：“鸡兔同笼”听课札记[J].中小学课堂教学研究，2020（09）.

[3] 曹一鸣.坚守与创新：数学课堂教学中的中国传统文化[J].教育视界，2020（23）.

[4] 余金龙.“假”戏真做  弄“假”成真：《鸡兔同笼》教学设计（一）[J].小学教学设计，2020（17）.

（责编 李琪琦）