由一道题谈一类圆锥曲线最值问题的解法

张东元

圆锥曲线最值问题通常具有较强的抽象性，一般 难度较大，且解题过程中的运算量也较大.其中，求圆 锥曲线上一点到直线的最短距离问题比较常见.由于 圆锥曲线的方程较为复杂，且很难确定圆锥曲线上的 点到直线的最短距离，所以很多同学在解题时不知该 如何下手，找不到解题的思路.下面结合一道例题探讨 一下如何求圆锥曲线上一点到直线的最短距离.

题目：已知椭圆 C： x 2 16 + y2 9 = 1上存在一点 P ，求 P 点到直线 l：2x - y + 8 = 0 的最短距离.

本题主要考查了椭圆的方程、几何性质、点到直 线的距离公式的应用.要求动点 P 到直线的最短距 离，需先根据题意和图形明确动点 P 的可能位置；然 后设出动点的坐标，建立关于动点坐标的关系式.可采 用下列两种方法求解.

一、构造函数法

构造函数法是求解最值问题的常用方法.运用构 造函数法求解圆锥曲线上一点到直线的最短距离问 题，需先根据题意设出圆锥曲线上一点的坐标；然后 根据点到直线的距离公式求得该点到直线的距离的 表达式；再将其看作关于动点的横坐标或纵坐标的函 数式；接着根据导函数与函数单调性之间的关系，或 者函數单调性的定义，判断出函数的单调性，这样就 能快速求得函数的最值，进而求得圆锥曲线上一点到 直线的最短距离.

解答本题，需先求得目标式；然后将其看作关于 y0 的函数式，通过讨论导函数与0之间的关系来判断 出函数的单调性，进而求得函数的最值，求得最小距 离.运用此方法解题的思路比较简单，但解题的过程比 较繁琐.

二、参数法

参数法是指通过引入参数，求得问题的答案.我们 知道每一条直线、曲线都有其对应的参数方程，在求 解圆锥曲线上一点到直线的最短距离问题时，可根据 题意引入合适的参数，如角α、圆锥曲线方程中的参数 a、b，设出圆锥曲线的参数方程，并将圆锥曲线上一点 的坐标用参数表示出来；再利用点到直线的距离公式 求出圆锥曲线上一点到直线的距离，便将问题转化为 三角函数最值问题，根据三角函数的性质即可求得最 小距离.

我们根据椭圆 x 2 a2 + y2 b 2 = 1（a > b > 0） 的参数方程为 ì í ? x = a cos φ， y = b sin φ， φ 为参数，设出点 P 的坐标，并将其代入 点到直线的距离公式中，得到关于参数的三角函数 式，便将问题转化为三角函数最值问题.

由此可见，数学中的各个模块并不是孤立的，很多 知识点之间存在一定的联系.在解圆锥曲线最值问题 时，同学们要学会联想，将问题与函数、参数方程关联 起来，灵活运用函数模块、参数方程模块的相关知识.

（作者单位：甘肃省武山县第一高级中学）