在不断探究的过程中促进深度学习

刘再平 许德刚 陈思睿

摘  要：通过对2019年全国Ⅱ卷理科压轴题的通法探究、简解探究、特殊化探源、一般化推广、类比拓展，突出了在不断探究的过程中促进学生深度学习的心路历程，并且提出了一些促进深度学习的教学建议.

关键词：压轴题;探究;深度学习;教学建议

深度学习是相对于记忆学习和非批判性机械学习提出的一个概念，其基本含义为学习是一个理解的过程，要实现对日常经验与直观感知的必要超越. 数学深度学习是根据学生对数学学习内容的理解，以解决具有挑战性的数学问题和发展数学学科高阶思维为目标的学习. 深度学习主要表现在四个方面：基础知识的联系与基本技能的灵活应变能力;发现、提出、分析与解决具有挑战性问题的问题解决能力;在交流与合作中，触发思考，学会反思与优化的能力;学会学习的能力. 深度学习的发生有利于数学学科核心素养的达成.

数学教育的改革对数学学习提出了更高要求，即不仅要重视具体知识与基本技能，更要深入数学思维层面，激发学生积极参与数学学习，引导学生学会数学学习，推动学生数学思维品质的提升，促进学生真正深度学习，这既是培养数学学科核心素养的前提，也是数学教育的内在要求. 那么，在数学教学中，如何才能提升学生的思维品质，促进学生深度学习呢？这个问题是当前中学数学教育中的热门问题. 笔者认为，应积极开展探究活动，淡化急于提高成绩而采取的机械式题海教学或教师讲、学生听的“满堂灌”式教学，树立数学教育是一个慢慢等待花开过程的意识，对于贴切学生思维最近发展区及合乎情理的推测与演练，不包办，及时组织探究活动，培养学生的高阶数学思维，让数学“冰冷的美丽”转化成“火热的思考”，在这种探究与思考中促进学生的深度学习.

下面以2019年全国Ⅱ卷理科第21题为例，通过探究发现，可以在通性、通法的基础上获得巧妙解法，也可以由探源、拓展与类比探究，得到一些更具一般性、更深刻的结论.

一、试题呈现

题目  已知点[A-2，0，B2，0，] 动点[Mx，y]满足直线AM与BM的斜率之积为[-12.] 记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线.

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥Ox，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.

① 证明：[△PQG]是直角三角形;

② 求[△PQG]面积的最大值.

此题表述简洁，问题设置循序渐进，有一定的梯度. 第（1）小题比较基础，考查椭圆轨迹方程的求法，根据题意建立关于[x，y]的关系后，经过化简即可获得点M的轨迹方程[C： x24+y22=1，] 只不过由两点间的斜率公式，分母不能为0，即椭圆不含左、右顶点，则[x≠±2;] 第（2）小题需要先推导证明[△PQG]是直角三角形，然后表示出[△PQG]的面积，最后再求[△PQG]面积的最大值. 显然，第（2）小题是此道压轴题真正的压轴点，特别是第①小问直角三角形的推导，确定了直角边后，第②小问三角形的面积计算就有了方向.

二、通法探究，为深度学习做好铺垫

关于通性、通法，著名数学家张景中教授提出了解题“中巧说”，即大巧法无定法，要靠个人领悟，难以言传，小巧一题一法. 对于数学解题教学而言，则希望用一种方法解决一类题目，循序渐进地学习有章可循的解题通法. 注重通性、通法，不仅可以达到夯实基础知识和基本技能的目的，而且可以为数学深度学习做好铺垫，因为深度学习也需要以坚实的基础为前提.

然而，通性、通法不能未经学生思考而直接抛给他们，可以先提出一些引导性问题.

问题1：试根据题意画出符合要求的图形（如图1），你能观察、猜测出[△PQG]的哪个内角是直角吗？

问题2：解析几何的核心是建立坐标系，将几何问题代数化，实现形与数的结合和转化. 那么，结合题意如何证明你的猜测？

问题3：联系之前积累的经验，三角形面积有哪些表达方法？结合此题实际，应该如何抉择？求最值有哪些常用的方法？

问题引领的目的是引导学生从解析几何的视角出发，要证明两直线垂直，即证两直线的斜率互为负倒数或两直线所在的方向向量的数量积为0，并且求最值可以从函数、均值不等式和三角三个常见的视角出发，梳理如图2、图3所示的解题活动思维导图，从而获得下列通法.

对于此题第（2）小题的第①问，主要存在以下两种证法.

证法1：设直线PQ的斜率为[k，] 则直线PQ的方程为[y=kx k>0.]

与椭圆方程联立，得[y=kx，x24+y22=1.]

解得[x=±21+2k2，]

即[P21+2k2， 2k1+2k2，Q-21+2k2，-2k1+2k2，][E21+2k2，0.]

则直线[QG]的斜率为[k2，] 方程为[y=k2x-21+2k2.]

将其与椭圆方程联立，得[y=k2x-21+2k2，x24+y22=1.]

消元，得[2+k2x2-4k21+2k2x+4k21+2k2-8=0.]

由根與系数关系，得

[xG+xQ=4k22+k21+2k2.]

则[xG=4k22+k21+2k2+21+2k2=6k2+42+k21+2k2.]

由此，得[yG=2k32+k21+2k2.]

则[G6k2+42+k21+2k2， 2k32+k21+2k2.]

所以[kPG=2k32+k21+2k2-2k1+2k26k2+42+k21+2k2-21+2k2=-1k.]

则[kPQkPG=-1.]

或以向量视角证明：[PQ=-41+2k2，-4k1+2k2，][PG=4k22+k21+2k2，-4k2+k21+2k2，]

则[PQ · PG=0.]

所以[PQ⊥PG.]

所以[△PQG]是直角三角形.

证法2：设[Px1，y1，Gx2，y2，]

则[Ex1，0，Q-x1，-y1.]

则[EG=x2-x1，y2， QE=2x1，y1.]

因为Q，E，G三点共线，

所以不妨设[EG=λQE.]

即[x2-x1=2λx1，y2=λy1.]

所以[x2=2λ+1x1，y2=λy1.]

所以[G2λ+1x1，λy1.]

将点P，G的坐标代入椭圆方程，得

[x124+y122=1，2λ+12x124+λ2y122=1.]

两式相减，得[λ=y122x12+y12.]

所以[x2=2x13+3x1y122x12+y12，y2=y132x12+y12，]

即[G2x13+3x1y122x12+y12， y132x12+y12.]

所以[kPQkPG=2y12x1 · y1-y132x12+y12x1-2x13+3x1y122x12+y12=y1x1-x1y1=-1.]

或以向量视角证明：[PQ=-2x1，-2y1， PG=][2x1y122x12+y12， -2x12y12x12+y12，]

则[PQ · PG=-4x12y122x12+y12+4x12y122x12+y12=0.]

所以[PQ⊥PG.]

所以[△PQG]是直角三角形.

对于此题第（2）小题的第②问，主要有以下三种解法.

解法1：导数视角求最值.

由（1）知，[P21+2k2， 2k1+2k2，Q-21+2k2，-2k1+2k2，] [G6k2+42+k21+2k2， 2k32+k21+2k2，]

则[PQ=41+k21+2k2， PG=4k2+k2k2+11+2k2.]

所以[S△PGQ=12PQPG=81k+k1+21k+k2.]

不妨设[1k+k=t≥2，] 当且仅当[k=1]时取等号，

即[S△PGQ=8t1+2t2，t≥2.]

构造函数[ft=8t1+2t2，t≥2，]

求导，得[ft=81-2t21+2t22.]

当[t≥2]时，[ft<0，]

即[ft]为[2，+∞]上的减函数.

所以当[t=2]时，[ftmax=f2=169.]

所以△PQG面积的最大值为[169.]

解法2：对勾函数视角求最值.

由上述解法1，知[S△PGQ=8t1+2t2=81t+2t，t≥2.]

构造函数[ft=1t+2t，t≥2.] 要求△PQG面积的最大值，即求函数[ft]在[2，+∞]上的最小值.

由对勾函数的性质，知[ft]為[2，+∞]上的增函数，即[ftmin=f2=92.]

所以△PQG面积的最大值为[169].

解法3：三角视角求最值.

点P，G在椭圆[x24+y22=1]上，不妨设点P，G的坐标分别为[P2cosα， 2sinα，G2cosβ， 2sinβ，0<β<α<π2，]

即[OP=2cosα， 2sinα， OG=2cosβ， 2sinβ.]

所以[S△PGQ=2S△POG=42tanα-β2+1tanα-β2.]

因为[kPG=-22tanα+β2，kPQ=kOP=22tanα，]

所以[kPGkPQ=-22tanα+β2×22tanα=-1，]

即[tanα+β2=tanα2.]

因为[tanα-β2=tanα-α+β2=1tanα+2tanα≤122=24，]

当且仅当[tanα=2tanα，] 即[tanα=2]时取等号.

由对勾函数性质，可知[tanα-β2+1tanα-β2]当[tanα-β2]取得最大值，即[tanα-β2=24]时，取得最小值.

所以[S△PGQ=42tanα-β2+1tanα-β2≤4224+124=169.]

故△PQG面积的最大值为[169].

上述解答过程虽然计算有些烦琐，但最贴近学生思维的最近发展区，学生容易想到，所以不失为解决此题的通法. 通法虽有计算难度，但是教师要激励学生不怕困难、无所畏惧，更不要逃避，万事开头难，这是数学深度学习的开始，也是培养顽强数学精神的好机会！当然，有的学生尝试从均值不等式的视角求最值，如[S△PGQ=8k1+k21+2k22+k2≤8k1+k21+2k2+2+k222=329 ·]

[k1+k2=329 · 1k+1k≤169，] 当且仅当[k=1]时取等号，然而此解法是错误的，因为第一次放缩变形时不等号方向反了，答案正确只是巧合. 这样的错解极具迷惑性，虽然不正确，但是能够加深学生对均值不等式的理解，要鼓励学生继续思考.

三、简解探究，为深度学习架起桥梁

法国教育理论家、美学家狄罗德说过，数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答. 这反映了简单性是数学方法美的重要标志. 在数学解题教学中，教师应善于引领学生探究简解，比较、优化解题方法，培养学生数学思维的简约性，为数学深度学习架起桥梁.

解析几何综合试题是高中数学的难点，主要难在该类问题的分析、解决过程复杂，计算烦琐，容易出错. 然而，几何视角下解析几何所研究的对象毕竟是“几何图形”，要避免烦琐的代数运算就不能忽视对这些“几何要素”的分析，它既能从直观上打开探究视野，优化运算过程，突出解题思维的简约性，更能揭示问题的几何背景，促进学生深度学习. 因此，紧接着向学生提出以下问题.

问题4：第（2）小题第①问的证法2将P，Q两点坐标代入椭圆方程后，还能联系到其他已经学过的较简洁的代数方法吗？

问题5：在学习坐标系中的伸缩变换时，我们知道椭圆与圆可以通过仿射变换相互转化，所以在椭圆转化为圆后，可以通过圆的平面几何性质来探究椭圆的性质，你能顺着这样的几何视角解决此题吗？

教师的提问使学生有了基本的探究方向，经过一番合作探究，在教师的适时引导下，可获得第（1）小题的如下两种证法.

证法3：设[Px1，y1，Gx2，y2，]

则[Ex1，0，Q-x1，-y1.]

将P，G两点坐标代入椭圆方程，得[x124+y122=1，x224+y222=1.]

两式相减，得[y2-y1x2-x1=-x2+x12y2+y1.]

要证[kPQkPG=y1x1 · y2-y1x2-x1=-1，]

即证[y1x1=2y2+y1x2+x1.]

由题意可知，Q，E，G三点共线，

即[kQE=kQG.]

所以[y1x1=2y2+y1x2+x1.]

则[PQ⊥PG.]

所以[△PQG]是直角三角形.

证法4：将椭圆[x24+y22=1]经标准变换[x=x2，y=][y2]后，变为平面内的单位圆[C：x2+y2=1.]

如图4，延长PG与[x]轴交于点F，

则在Rt△POE与Rt△PEF中，[kPQkPG=PEOE-PEEF=][-PE2OE · EF.]

直线QG截△POF，由梅氏定理，得

[OEEF · FGGP · PQQO=2OE · FGEF · GP=1，]

即[OE · FGEF · GP=12.]

在Rt△PEF中，由射影定理，得

[PE2EF2=PG · PFFG · PF=PGFG.]

所以[OE · FGEF · GP=OEEF · EF2PE2=12，]

即[OE · EFPE2=12.]

则[kPQkPG=-PE2OE · EF=-2.]

再仿射变换回去，即得[kPQkPG=-1.]

则[PQ⊥PG.]

所以[△PQG]是直角三角形.

对于第（2）小题第②问，也产生了如下新的解法.

解法4：如图5，连接OG，过点O作[OH⊥PF，] 垂足为点H.

不妨设[∠POF=α，∠GOF=β，0<β<α<π2，]

则[∠POH=α-β2.]

由解法3，知[tanα-β2=][1tanα+2tanα.]

所以[tan∠QPG=tanπ2-∠POH=1tan∠POH=tanα+]

[2tanα≥22.] 当且仅当[tanα=2tanα，] 即[tanα=2]时取等号.

所以当[tan∠QPG=22]时，[S△PGQ]取得最大值[429.]

再仿射变换回去，即得椭圆中△PQG面积的最大值为[169].

上述解法无疑减少了运算量，缩短了解题时间与书写长度，但是思维含量增加了，对学生的知识广度和对题目本质的理解提出了更高要求. 简解不是每位学生都能给出来的，在引导学生进行解法优化教学时，一定要根据学生已有的经验先做好知识与技能的拓展铺设，不要急于让每位学生都能立即形成深刻的理解，要给予学生同化的时间. 简解探究教学不一定适合每位学生，存在着一定的前提条件，但它可以开拓学生的眼界、激发学生的探究热情、培养学生的理性思维，为后续深度学习架起桥梁.

四、拓展探究，将深度学习推向更深处

罗增儒教授说过，问题一旦获解，就立刻产生感情上的满足，从而导致心理封闭，忽视解题后的再思考，恰好错过了提高的机会，无异于“入寶山而空返”. 受此启发，在数学教学中要习惯性地引导学生对问题展开拓展探究，以提升学生数学思维的深刻性，发挥数学的育人功能，将数学深度学习推向更深处.

然而，拓展探究对于很多学生来说并非易事，章建跃先生提出的如图6所示的思维探究“基本套路”值得借鉴.

在数学教学中，教师要善于抓住机会引导学生按上述逻辑开展探究活动，经过长时间的熏陶、积累，学生会在潜移默化中养成深入思考、乐于探究的好习惯，如此不仅能培养学生的高阶数学思维，更对学生数学创新能力的发展大有裨益. 为此，趁热打铁继续向学生提出以下问题.

问题6：以前见过同类型的问题吗？它们之间有什么联系和区别？

问题7：直线AM与BM的斜率之积变化时，点M的轨迹还是椭圆吗？

问题8：点P在椭圆上，已探究得[kPQkPG=-1]，然而点G也在椭圆上，直线PG与直线QG的斜率有关系吗？若有，试探究、猜想，并证明你的结论.

问题9：已知当[a=2，b=2]时有结论[kPQkPG=-1，] 那么[a，b]取符合题意[a>b>0]的任意实数时，此结论还成立吗？若不成立，你能通过探究获得更一般、更优美、更深刻的结论吗？

问题10：通过类比，在其他圆锥曲线中还存在类似的结论吗？

在教师的启发与鼓励下，学生的探究热情高涨，经过自主合作探究，学生逐渐发现了问题的本质，获得了一系列拓展命题，在挫折中收获了另一份美丽.

1. 特殊化探源

题源1（1）如图7，设点A，B的坐标分别为[-5，0，][5，0，] 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为[-49，] 求点M的轨迹方程.

（2）如图8，设点A，B的坐标分别为[-5，0，][5，0，] 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为[49，] 求点M的轨迹方程，判断轨迹的形状，与（1）比较，你发现了什么？

（3）已知△ABC中，A，B的坐标分别为[-5，0，][5，0，] 直线AC，BC的斜率之积等于[m m≠0，] 试探求顶点C的轨迹.

题源1中的三道题目分别为人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2—1》第41页例3、第55页探究问题，以及第80页A组第10题.

题源2 （2011年江苏卷·理18）如图9，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆[x24+y22=1]的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作[x]轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（1）略;（2）略;

（3）对任意k > 0，求证：PA⊥PB.

显然，题源1是命制题目第（1）小题的基础，题源2是命制题目第（2）小题的基础.

2. 一般化推广

命题1：与平面内两个定点[A-a，0，Ba，0]的连线的斜率之积为定值[λ λ≠0]的动点P的轨迹方程为[x2a2-y2λa2=1 x≠±a.]

（1）若[λ=-1，] 则动点P的轨迹为除A，B两点的圆;

（2）若[λ<0]且[λ≠-1，] 则动点P的轨迹为除A，B两点的椭圆;

（3）若[λ>0，] 则动点P的轨迹为除A，B两点的双曲线.

命题2：过原点的直线与椭圆[x2a2+y2b2=1 a>b>0]交于P，Q两点，M是椭圆上异于P，Q的任意一点，若直线MP与MQ的斜率存在，且不为0，则[kMPkMQ=-b2a2.]

命题3：过原点的直线与椭圆[x2a2+y2b2=1 a>b>0]交于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥Ox，垂足为E，连接QE并延长交椭圆于点G，若直线PQ与PG的斜率存在，且不为0，则[kPQkPG=-2b2a2.]

显然，命题1是题目第（1）小题的一般结论，命题2和命题3是题目第（2）小题的拓展结论. 若将命题1的条件变为[PAPB=λ λ>0，λ≠1，] 则点P的轨迹为阿波罗尼斯圆. 另外，命题2和命题3的逆命题也是成立的.

3. 类比拓展

命题4：过原点的直线与双曲线[x2a2-y2b2=1 a>0，b>0]交于P，Q两点，M是双曲线上异于P，Q的任意一点，若直线MP与MQ的斜率存在，且不为0，则[kMPkMQ=b2a2.]

命题5：过原点的直线与双曲线[x2a2-y2b2=1 a>0，b>0]交于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥Ox，垂足为E，连接QE并延长交双曲线于点G，若直线PQ与PG的斜率存在，且不为0，则[kPQkPG=2b2a2.]

显然命题4和命题5是命题2和命题3将椭圆类比到双曲线中的拓展结论. 实际上，命题2和命题4是椭圆和双曲线的第三定义，教材中虽然没有具体阐述，但在很多问题中有所涉及. 上述命题的证明请参考此文的解法探究部分，这里不再赘述.

五、教学启示

1. 追问是开启深度学习的钥匙

从心理学角度来看，中学生正处于身心发展的关键时期，其认知结构有待完善，认知水平也有待提高，学生不能独立自主完成数学的深度学习. 因此，学生在数学学习过程中的主体作用是有条件的，由此也就不可忽视教师的主导作用. 启发式教学是促进学生深度学习的有效方式，而好的追问是启发式教学的关键，所以追问是开启深度学习的钥匙. 在不断追问的过程中引领学生学习，形成认知冲突，激发求知欲，使学生的心理倾向保持在适度状态. 那么，什么样的追问才能称之为好的追问呢？笔者认为，在学生的心理和认知能够承受范围内，紧扣当前数学学习内容本质的有意义问题才可视为好的追问. 因此，本文在探究2019年全國Ⅱ卷理科第21题的整个过程中，并不是粗暴地给学生提供冰冷的答案，因为这样会使得学生丧失学习的主动性，缺失必要的思考过程，同时会使得探究过程流于形式，深度学习则无从谈起，而是在学生思维的最近发展区内紧扣该道圆锥曲线试题提出一系列追问，引导学生深入思考、探究与交流，引领学生深度学习.

2. 探究让深度学习真实发生

要超越具体知识与基本技能，深入到数学思维层面，促进学生真实地深度学习，就必须要在课堂上培养学生的高阶思维. 那么，如何培养学生的高阶数学思维呢？笔者认为，有效的探究是培养学生高阶数学思维的动力. 当合理的追问开启了探究之门后，学生的数学思维会伴随着探究活动的展开与深入逐渐动态生成与发展，此时探究就扮演着“发动机”的角色，为培养学生的高阶数学思维提供持续的动力，不断促进数学深度学习的真实发生. 而本文在对2019年全国Ⅱ卷理科第21题展开多层次的探究后，既得到了朴实的通解，又获得了计算量稍小的简解，还挖掘了题源，并收获了结构优美、意境深远的拓展结论. 学生在经历这种探究心路历程后，不仅体验了探究的乐趣和数学的和谐美、统一美与简洁美，也锻炼了数学意志品质和理性思维，增强了自信心与成就感. 在这一过程中，也突出了数学在育人心智方面的重要功能，让学生的数学深度学习得以真实发生.

参考文献：

[1]郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践[J]. 数学教育学报，2019，28（5）：24-32.

[2]罗增儒. 数学解题学引论[M]. 西安：陕西师范大学出版社，2008.

[3]章建跃. 注重“基本套路”才是好数学教学[J]. 中小学数学（高中版），2012（3）：封底.

[4]刘再平，罗新兵. 例谈数学解题教学的“三法”观[J]. 中学数学研究（上半月），2017（8）：14-16.

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