求函数值域的三种路径

王洪峰

由于求函数值域问题的综合性较强，因而很多同学感觉求函数值域问题的难度较大.事实上，求函数值域的思路有很多种，如采用反函數法、换元、利用函数的单调性、借助基本不等式、数形结合等.下面我们主要谈一谈求函数值域的三种常规路径，以期帮助同学们突破难点，扫除学习障碍.

一、数形结合

在解答函数问题时，将数形结合起来，有助于提升解题的效率.在求函数的值域时，可先根据函数的解析式或函数的性质画出函数的图象，仔细研究函数图象，了解函数的变化趋势，明确函数曲线在单调区间或定义域内的最小、最大值，求得函数的最值，便可确定函数的值域.

目标函数式和已知关系式中都含有两个变量，可采用基本不等式法进行求解.将xy视为两数x、y的积，运用基本不等式建立已知关系式与目标函数式之间的联系，得到关于目标式的不等式，通过解不等式求得目标函数式的值域.

由此可见，求函数的值域，需仔细研究函数的解析式，抓住其特点，将函数解析式进行适当的变形，如换元、分离常数、配凑为两式的和或积的形式，或画出函数的图象，以寻找到与之对应的解题思路，采用数形结合、分离常数、借助基本不等式法进行求解.

（作者单位：山东省无棣县第二高级中学）