求动点的轨迹方程的三种常用方法

常海廷

求解动点的轨迹方程问题，需根据题目中的几何条件，建立平面直角坐标系，将问题转化为寻求变量间的关系.对此，同学们需熟练掌握常见曲线如椭圆、圆、直线、抛物线、双曲线等的形状、定义、标准方程，学会根据已知条件或者几何关系建立关系式或方程.本文主要谈一谈三种求动点的轨迹方程的常用方法.

一、建系法

动点的轨迹方程通常是用关于x、y的方程表示出来的.而有些求动点的轨迹问题中并未给出相关点的坐标，此时，我们需采用建系法来解题：根据图形的位置、性质建立合适的直角坐标系，设出相关点的坐标，建立关于动点的关系式或方程.在建立直角坐标系时，要充分关注垂直、平行关系以及图形的对称性，这样能简化计算以及解题的过程.

例1.已知A，B为两个定点，||AB =3，∠PBA= 2∠PAB，求动点P的轨迹方程.

解：以点A为坐标原点、射线AB为x轴的正半轴建立直角坐标系，

解答这道题主要运用建系法，以AB为轴、A点为原点建立平面直角坐标系.建系后，设出各个点的坐标，便可将题中的几何条件转为代数条件，建立数量关系式，即可求得动点的轨迹方程.

二、定义法

运用定义法求动点的轨迹方程，需先根据已知条件判断出动点的轨迹，如椭圆、圆、直线、抛物线、双曲线等，然后根据椭圆、圆、直线、抛物线、双曲线等曲线的定义，求得参数的值，进而求得动点的轨迹方程.

交轨法的实质是根据动点的坐标满足两曲线的方程来建立关系式.一般只要求得两曲线的方程，通過消参即可解题.

可见，求动点的轨迹方程，关键在于建立关于动点的坐标的关系式，利用已知的点的坐标及其几何关系、曲线的定义，去寻求关于动点坐标的关系式或方程.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）