函数与数列的“互视”

【摘要】函数与数列都是高中数学教学中的重要内容，通常我们都习惯于从函数的角度来看数列，这样既自然又有效.在此基础上，笔者又尝试着从数列的角度来看函数，揭示知识之间的联系.

【关键词】函数;数列;逆向观察

函数与数列都是高中数学教学中的重要内容.按照教材编排，通常是在高一先学习函数，再到高二学习数列.教科书中也提到“从函数的观点看，数列可以看成以正整数集（或其子集）为定义域的函数an=f（n）”＼[1＼].这样一来，从函数的角度去看数列显得顺理成章.的确，在解决某些数列问题时，利用函数的思想、观点和方法可以达到事半功倍的效果.

1从函数角度看数列

例1在等差数列{an}中，Sn是其前n项的和，公差d≠0.

（1）若am=n，an=m（m≠n），求am+n;

（2）若Sm=Sn（m≠n），求Sm+n.

数列解法（1）由题意得

a1+（m-1）d=n，

a1+（n-1）d=m，解得a1=m+n-1，

d=-1，所以am+n=a1+（m+n-1）d=m+n-1-（m+n-1）=0.

（2）由Sm=Sn，得a1m+m（m-1）2d=a1n+n（n-1）2d，整理得a1（m-n）=d2（n-m）（n+m-1），即a1=-d2（n+m-1），所以Sm+n=a1（m+n）+（m+n）（m+n-1）2d=a1（m+n）-a1（m+n）=0.

函数解法（1）由于等差数列的通项an是关于n的一次函数，可看作一条同时过点A（m，n）和B（n，m）的直线（如图1），由对称性可知该直线的斜率为-1，且与x轴交于点C（m+n，0），即am+n=0.

（2）由于Sn=d2n2+a1-d2n是关于n的二次函数，且常数项为0，令f（x）=d2x2+a1-d2x，由Sm=Sn，得f（m）=f（n），则二次函数关于直线x=m+n2对称（如图2），故有f（m+n）=f（0）=0，即Sm+n=0.

例2在数列{an}中，an=（n+1）1011n，求{an}的最大项.

数列解法作差可得：

an+1-an=（n+2）1011n+1-（n+1）1011n=9-n111011n ，所以当1≤n<9时，an+1>an，即a1<a2<a3<…<a9;当n=9时，an+1=an，即a10=a9;当n>9时，an+1<an，即a10>a11>a12…，所以数列的最大项为a9=a10=1010119.

函数解法令函数f（x）=（x+1）1011x，求导得f′（x）=1011x+（x+1）1011xln1011， 解f′（x）>0，得x<-1ln1011-1≈9.49，即f（x）在（-∞，9.49）上单调递增，在（9.49，+∞）上单调递减，当x≈9.49时函数取得极大值，由于在数列中n∈N*，故取临近的正整数n=9或10时{an}为最大项，实际计算得a9=a10=1010119.

评析利用函数的图象或运算就能解决数列的问题，毕竟数列本质就是函数.除此之外，利用函数的其它性质，如单调性、周期性、最值，都可以有效地解决相应的数列问题.有时甚至能突破常规思路，达到“秒杀”的效果，这需要学习者不光熟练掌握函数的各种性质，还能在类似的问题情景中灵活变通地应用.

偶有一日，笔者看到当代诗人卞之琳《断章》中的一句“你在桥上看风景，看风景的人在楼上看你”[2]，于是突发奇想：是不是可以互换视角，把“桥上”的函数视为“风景”呢？

2从数列角度看函数

例3设g（x）是定义在R上以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，则f（x）在区间[-10，10]上的值域为.

函数解法若x∈[4，5]，则x-1∈[3，4]，f（x-1）∈[-2，5]，于是f（x）=x+g（x） =x+g（x-1）=x-1+g（x-1）+1=f（x-1）+1∈[-1，6]，同理可得，若x∈[-10，-9]，则f（x）∈[-15，-8]，…，若x∈[9，10]，则f（x）∈4，11，所以f（x）的值域为[-15，-8]∪…∪[-1，6]∪…∪[4，11]=[-15，11].

数列解法由于g（x）是以1为周期的函数，即g（x+1）=g（x），不妨看作数列{gn}满足gn+1=gn，显然是一个常数列（实际上函数g（x）的值域是一个固定的区间），不妨设gn=t.再把函数f（x）看作数列{fn}，则fn=n+t，显然是一个公差为1的等差数列，故函数f（x）在区间4，5上的值域比在区间3，4上的值域-2，5整体增加1个公差，为-1，6，在区间5，6上的值域增加2个公差为0，7，……，同理在区间9，10上的值域增加6个公差，为4，11，而在区间-10，-9上的值域则减少13個公差，为-15，-8.综合以上，f（x）在区间-10，10上的值域为-15，11.

例4已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2）.当x∈[0，2）时，f（x）=-x2+2x.设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为an（n∈N），且数列{an}的前n项和为Sn，则limn→∞Sn=.

函数解法可知a1=f（1）=1，当x∈[2，4）时，求得解析式为f（x）=13（-x2+6x-8）=-13（x-3）2+13，所以a2=f（3）=13;当x∈[4，6）时，求得解析式为f（x）=19（-x2+10x-24）=-19（x-5）2+19，所以a3=f（5）=19，…，归纳猜测得an=f（2n-1）=13n-1，所以limn→∞Sn=a11-q=11-13=32.

数列解法由f（x）=3f（x+2），得f（x+2）f（x）=13（f（x）=0除外），可把函数f（x）看作公比为13的等比数列群，每一项的“宽度”为2，区间[0，2）上对应的所有函数值皆为首项，区间[2，4）上对应的所有函数值皆为第二项，……，区间[2n-2，2n）上对应的所有函数值皆为第n项.由于a1=1，则a2=a1·13=13，a3=a1·132=19，…，an=13n-1，limn→∞Sn=a11-q=32.

评析用数列的思想反过来解决函数问题时，略显“简单粗暴”.本质上是把原来较复杂的函数简化成了另一个函数，将不是必须的条件剔除掉，抓住主要的关系即可，而表达式只是一个表达的形式而已，f（n）即an，an即f（n）.因为数列模型本身就比函数模型简单，非等差即等比，前后关系就在项与项之间，所以简化之后计算难度也会随之降低.

3结束语

笔者从最初有这个“逆向观察”的想法到发现可应用的例题，着实有点小惊喜，但是深入探究后发现这种逆向处理存在一定的局限性.一是可被套用的数列模型较少，高中阶段相对熟练的也就只有等差数列和等比数列两种;二是对于解析式已经明确的函数，“粗犷”的数列显得无计可施，反倒是抽象函数更便于转化;三是这种方法并不适用于解答题，因为它更像是一种特殊法，仅在填空题和选择题中体现其作用.

新课程标准里对当下数学教育提出了要求：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维分析世界，会用数学的语言表达世界.“逆向观察”是一个挺有意思的想法，由此“逆向思考”和“逆向处理”紧随其后，既能深刻感受知识之间的联系，又能得到出乎意料的结果，倒也不失为一种创新意识.

谁是风景？谁又是看风景的人？谁在桥上？谁又在楼上？桥上的人或许也能看到远处楼台的窗前有个人影……函数与数列本就“代数一家亲”，若是换位去思考，都会成为彼此眼中的“美好”.

参考文献

[1]上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会.高级中学课本数学高中二年级第一学期[M]. 上海：上海教育出版社，2007：6.

[2]卞之琳. 魚目集[M]. 北京：人民文学出版社，2001.1：08.

作者简介陈骏（1982—），男，中学一级教师，上海市高境第一中学数学教研组组长，宝山区教学能手;主要研究高中数学教学与高考、HPM教学案例、数学建模教学案例.