学生运算能力的培养——以“乘法分配律”的教学、推广和复习为例

江苏启东市圩角小学（226200） 朱建玉

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”简算能充分锻炼学生思维的灵活性，对提高学生的运算能力起着重要的作用。在教学实践中，笔者发现学生在运用乘法分配律进行简算时出现差错最多，因而在“乘法分配律”的教学、推广和复习中，笔者想方设法让学生从乘法分配律左右形式变化而结果不变中体会“变与不变”的哲学思想，从而理解并掌握乘法分配律的本质，进而培养学生的运算能力。

一、乘法分配律的教学

教学乘法分配律时，教师通常先和学生一起复习教材中的相关知识，再根据学生复习相关知识时的回答进行板书：

（a+b）×c=a×c + b×c

（16+34）×57=16×57+34×57

（28+16）×24=28×24+16×24

（132+245）×13=132×13+245×13

……

师：乘法分配律的字母表达式和这几组等式左右两边各有什么特点？

生1：左边都有一个括号，括号里是两个数相加，括号外面是乘一个数。

生2：右边是两个乘法算式相加。

生3：这两个乘法算式中有相同的乘数。

生4：也可以是一个乘法算式和一个数相加，所加的这个数和乘法算式中的一个乘数相同。

师：可以举例吗？

生4：17×9+17，表示9 个17 加1 个17，就可以写成（9+1）×17。

师：大家听懂了吗？乘法分配律左边是怎么变成右边的呢？

生5：用括号里面的数分别乘括号外面的数。

师：这里“分别”一词用得好！

生6：括号里的两个加数都要乘括号外面的那个数。

师：那么原来括号里的那个加号呢？

生7：用括号里面的数分别乘括号外面的数，这两个乘法算式中间的加号就是原来括号里的那个加号。

生8：我觉得乘法分配律左边的加号也可以改成减号。

师：具体说一说。

生9：如果左边是（28-16）×24，那么右边就等于28×24-16×24，因为28 个24 减去16 个24 就等于12个24，而12个24不就是（28-16）×24吗？

师：大家觉得有道理吗？请举例验证。

师（在学生交流展示后，补充乘法分配律的字母表达式）：（a+b）×c=a×c+b×c 或者（a-b）×c=a×cb×c。

师：那乘法分配律右边怎样变成左边的样子呢？

生10：找到两个乘法算式中的相同乘数，写在括号外面，两个乘法算式中的不同乘数写在括号里。

……

这样的教学，不仅能让学生掌握乘法分配律的“形”的特点，还能让学生掌握乘法分配律内在的“质”，在头脑中建立意义上的联系，为正确使用乘法分配律打下坚实的基础。

二、乘法分配律的推广

为了有效完成乘法分配律从整数到小数和分数的迁移，应要做到以下两点。

（一）重视辨错训练，积累解题经验

在乘法分配律的推广阶段，学生已经学了四则混合运算和所有的运算律，但前摄抑制和后摄抑制严重影响了学生合理、灵活地进行相关的运算。因此，在推广乘法分配律时，教师应设计一些有针对性的辨错训练题，帮助学生积累解题经验。

例如，设计“5.4×0.9+0.1”和“5.4×（0.9+0.1）”辨错训练题，让学生知道不能一看到0.9 和0.1 就不顾运算顺序，盲目配成1；设计“125×4×25×8”和“125×8+25×4 ”辨错训练题，帮助学生辨清什么时候应用乘法结合律，什么时候应用乘法分配律；等等。

辨错训练可使学生进一步理解运算律的真正含义，把握住简便运算的精髓。

（二）熟记常用数据和规律，洞察奥秘

整数运算律推广到小数和分数四则混合运算后，有的学生一见题目中既有分数又有小数或者百分数，就茫然无措。这就要求学生熟练掌握分数、百分数和小数之间的相互转化，同时能够熟记一些常用的数据。如等。这样，学生在做之类的题目时，就能在较短的时间内发现三个不同乘数相加和正好是1，从而实现简算。

在简算中，学生经常拆数有误。因此，在推广乘法分配律时教师应重申拆数的原则：拆数前后一定要保持相等，一般是把一个约等于1 或约等于整十、整百的数拆成1、10、100 后再加上或减去零头，如10.1拆成10+0.1、999拆成1000-1等。

总之，教师要有意识地引导学生熟记常用数据和规律，洞察算式的奥秘，使学生能灵活应用定律进行简算。

三、乘法分配律的复习

在乘法分配律的复习中，教师应创设生活情境，给予学生经验支撑，同时强化变式训练，从而促进学生透彻理解乘法分配律，提升运算能力。

（一）创设生活情境，理解定律

出示应用题1：小明在华联超市买了3.8 元一本的笔记本8 本，后来又在文峰超市买了同样单价的这种笔记本2 本，而小强在文峰超市一下子买了这种笔记本10本。两个人花的钱同样多吗？

生（齐）：同样多。

师：谁能结合乘法分配律来说明一下？

生1：小明用掉的钱为3.8×8+3.8×2=3.8×（8+2）=3.8×10，小强用掉的钱为3.8×10，他们都用掉38元，所以同样多。

生2：小明用掉的钱为8个3.8加上2个3.8共10个3.8 元，小强用掉的钱为10 个3.8 元，所以他们用掉的钱同样多。

师：你能归纳一下相关算式具有什么特点吗？

生3：两个乘法算式相加减，并且乘法算式中有相同乘数。

生4：两个乘法算式中的不同乘数相加减后得数为整数，才能使计算简便。

出示应用题2：文峰超市7 月份前30 天销售奥克斯空调100台，7月31日销售奥克斯空调2台，每台4200元，7月份奥克斯空调销售额共多少钱？

生5：4200×（100+2）=4200×100+4200×2=420 000+8400=428 400元。

师：结合乘法分配律，说说怎么使计算简便。

生6：用括号里面的数分别乘括号外面的数。

生7：括号里面的一般是整十整百数加或减较小的自然数或者是一个整数加减0.1、0.2 之类的小数。

这样，联系生活创设情境既为学生理解乘法分配律提供了经验支撑，又使学生深刻理解乘法分配律，同时对什么情况下应用乘法分配律可使计算简便有了一个整体系统的认识。

（二）强化训练，提升能力

教师应强化乘法分配律的变式训练，使学生通过习题训练学会灵活应用乘法分配律解题。

1.（a+b）c表达式的变式

（1）括号内多个数混合加减

生1：原式

生2：利用乘法分配律，用括号里面的分数分别乘括号外面的48，正好都可以约分，使计算简便。

师：友情提醒，一定要认清括号内的运算符号，以免出现不必要的错误。

（2）没有括号内两个数的加或减，只有两个数相乘

师：10.1×0.38 这道题连括号都没有，也能应用乘法分配律，谁会解？

生3：可以把10.1拆成（10+0.1），则10.1×0.38=（10+0.1）×0.38=10×0.38+0.1×0.38=3.8+0.038=3.838。

（学生小组讨论交流）

生4：因为第一个乘数的分母是137，要想计算简便，应把第二个乘数拆成137-1，这样137 和137可以约分。

2.算式ac+bc表达式的变式

（1）只有一个乘法算式加减一个数

师：3.7×99+3.7 这道题大家都会解，主要有两种算法。

解法1：3.7×99+3.7

=3.7×（100-1）+3.7

=3.7×100-3.7×1+3.7

=3.7×100

=370

解法2：3.7×99+3.7

=3.7×99+3.7×1

=3.7×（99+1）

=3.7×100

=370

师：这两种算法对吗？你更喜欢哪一种？在小组内交流。

（学生小组讨论交流）

师：两种算法都对，同学们可以选择自己觉得最简便的算法。

（2）多个乘法（除法）算式相加减

师：5.75×0.65+534÷4+5.75×10% 这 道 题 该 怎样解？

生5：相等，第一步可以把分数、百分数都改写成小数，除法改写成乘法，如5.75×0.65+

师：通过分数、百分数和小数之间的相互转化和把除法转化成乘法，找出了相同乘数，问题就迎刃而解了。

（3）看似找不到相同的乘数

师：0.65×15+6.5×8.5这道题怎么解呢？我找不到相同的乘数。

生6：可以通过改写的方法找到相同的乘数。如0.65×15+6.5×8.5=6.5×1.5+6.5×8.5。

师：0.65×15 怎 么 就 变 成 了6.5×1.5，根 据 是什么？

生7：一个乘数扩大10 倍，另一个乘数缩小10倍，积不变。

生8：根据小数乘法的计算法则，0.65×15 和6.5×1.5 都是先算65×15，然后在积里点两位小数，所以它们的积肯定一样。

师：这样就能找到相同的乘数了。大家会做了吗？再练一题。（出示：7.45×14.3-74.5×0.43）

……

变式训练，使学生能全方位、多角度地思考问题，很好地培养和发展了学生的求异思维、发散性思维和逆向思维。

综上，在乘法分配律的教学、推广和复习中，教师应充分把握好知识的“生长点”与“延伸点”，在课堂上对学生进行价值引导、智慧启迪和思维点拨，从而使学生不仅会正确熟练地进行计算，还能根据题目的条件寻求合理、简洁的运算途径来解决问题，从而培养学生的运算能力。通过培养学生的运算能力，做到学科教学和素养培育有机结合，让数学教学服务于人的发展。