常系数非齐次线性微分方程特解的新解法

张 辉，方晓峰，王 静

(火箭军工程大学 基础部，陕西 西安 710025)

0 引言

n阶常系数非齐次线性微分方程

y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+…+pn-1y′+pny=f(x)

(1)

通解的求解是高等数学中一个重要的知识点，也是难点问题之一。国内出版的大多数教材主要解决了f(x)在两种特定表达式情形下通解的计算问题。事实上，n阶非齐次线性微分方程(1)的通解等于对应齐次线性微分方程的通解与本身的一个特解之和，而对应的n阶常系数齐次线性微分方程的通解容易求得，因此关键是求解微分方程(1)的一个特解。大多数教材主要介绍了通过构造特解表达式(多个函数乘积)再利用待定系数法把特解求解出来的方法。事实上，在利用待定系数法求解过程中需要大量计算特解表达式的一阶导数、二阶导数、三阶导数直至n阶导数。一方面计算量较大，另一方面高阶导数的计算容易出错，带来了许多不便和困难。为了有效解决此类问题，本文研究了一种求微分方程(1)特解便捷有效的方法：待定多项式法。下面同样根据f(x)的表达式类型分两种情形讨论和研究。

1 f(x)=eλxPm(x)情形

已知m次多项式Pm(x)=a0xm+a1xm-1+…+am-1x+am(a0≠0)，记n次多项式φ(r)=rn+p1rn-1+…+pn-1r+pn。利用指数函数与多项式乘积的导数仍为指数函数和多项式的乘积，教材[1]要求构造具有形如y*=xkeλxQm(x)的特解，其中Qm(x)为与Pm(x)次数相同的m次多项式b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm(b0≠0)，k按照λ不是特征方程φ(r)=0的根、是φ(r)=0的单根、是φ(r)=0的s重根，分别取0、1、s。事实上，在求特解y*过程中关键是确定Qm(x)表达式中m+1个系数b0，b1，…，bm-1，bm。教材[1]要求将y*=xkeλxQm(x)代入微分方程(1)中利用待定系数法求解出，计算量较大。如何便捷简单有效求出这m+1个系数？下面提出一种新的方法——待定多项式法求解。

记特解y*=eλxQ(x)，其中Q(x)为一待定多项式，具体次数和系数待定。因为

y*′=Q′(x)eλx+λQ(x)eλx，

y*″=Q″(x)eλx+2λQ′(x)eλx+λ2Q(x)eλx，

…

将y*代入微分方程(1)中化简得

(2)

1)当λ不是特征方程φ(r)=0的根时，φ(λ)≠0。因为Pm(x)为m次多项式，则Q(x)也为m次多项式，取Q(x)=Qm(x)，将其代入等式(2)，通过比较多项式的系数就可以得到关于未知系数b0，b1，…，bm-1，bm的线性方程组，进而求得这m+1个系数并得到Qm(x)的表达式。

2)当λ是φ(r)=0的单根时，φ(λ)=0，φ′(λ)≠0，则Q′(x)为m次多项式，取Q(x)=xQm(x)=x(b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm)，将其代入等式(2)中可求得Qm(x)的系数b0，b1，…，bm-1，bm。

3)当λ是φ(r)=0的s(s≥2)重根时，φ(λ)=φ′(λ)=…=φ(s-1)(λ)=0，φ(s)(λ)≠0，则Q(s)(x)为m次多项式，取Q(x)=xsQm(x)=xs(b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm)，将其代入等式(2)中可求得Qm(x)的系数b0，b1，…，bm-1，bm。

以上3种情形得到了Qm(x)的表达式，进而可得Q(x)的表达式，最后再代入y*=eλxQ(x)即为微分方程(1)的一特解。通常把上述方法称为待定多项式法。此种方法的核心是求待定多项式Q(x)的表达式，其构造形式为Q(x)=xkQm(x)，其中k按照λ不是φ(r)=0的根、是φ(r)=0的单根、是φ(r)=0的s重根分别取0、1、s，此时多项式Q(x)的次数分别为m、m+1、m+s。此时的关键是确定Qm(x)表达式中的m+1个系数。为了方便记住Q(x)的表达式，现总结出以下口诀：λ不是根幂(k)为0，是单根幂为1，是s重根幂为s。

若考察二阶常系数非齐次线性微分方程

y″+py′+qy=eλxPm(x)，

(3)

则待定多项式Q(x)满足等式

Q″(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)。

(4)

表1给出了Pm(x)为不同类型多项式时待定多项式Q(x)的构造形式。

表1 待定多项式Q(x)的构造形式

特别地，若λ=0，则微分方程(3)的特解y*一定是一个多项式，也就是说待定多项式Q(x)即为特解y*。表2给出了3种情形下特解y*的构造形式。

表2 特解y*的构造形式

事实上，三阶常系数非齐次线性微分方程

y‴+hy″+py′+qy=eλxPm(x)

所对应的待定多项式Q(x)满足等式

Q‴(x)+(3λ+h)Q″(x)+(3λ2+2hλ+p)Q′(x)+(λ3+hλ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)。

2 f(x)=eλx(Pl(x)cos(ωx)+Pq(x)sin(ωx))情形

考虑n阶常系数非齐次线性微分方程

y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+…+pn-1y′+pny=eλx(Pl(x)cos(ωx)+Pq(x)sin(ωx))，

(5)

利用欧拉公式可以变形为

(6)

记

y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+…+pn-1y′+pny=P(x)e(λ+ωi)x，

(7)

(8)

y*=eλx((f(x)+g(x)i)eωxi+(f(x)-g(x)i)e-ωxi)=

eλx((f(x)+g(x)i)(cos(ωx)+isin(ωx))+(f(x)-g(x)i)(cos(ωx)-isin(ωx)))=

eλx(f(x)cos(ωx)+if(x)sin(ωx)+ig(x)cos(ωx)-g(x)sin(ωx)+

f(x)cos(ωx)-if(x)sin(ωx)-ig(x)cos(ωx)-g(x)sin(ωx))=

2eλx(f(x)cos(ωx)-g(x)sin(ωx))。

(9)

由上述分析可知，为了求微分方程(5)的特解y*，关键是确定Q(x)的实部函数f(x)和虚部函数g(x)的表达式。

(10)

下面分3种情形分析。

1)当λ+ωi不是φ(r)=0的根时，φ(λ+ωi)≠0。因为P(x)为m次多项式，m=max{l,q}，则Q(x)也为m次多项式，取Q(x)=Qm(x)，其中Qm(x)为m次多项式，但不确定是Qm(x)实部多项式的次数还是Qm(x)虚部多项式的次数为m，也就是说Qm(x)实部多项式和虚部多项式中至少有一个次数为m。事实上，在实际问题求解过程中，记Qm(x)=fm(x)+gm(x)i，其中fm(x)和gm(x)都为次数不超过m的多项式。记

fm(x)=c0xm+c1xm-1+…+cm-1x+cm

和

gm(x)=d0xm+d1xm-1+…+dm-1x+dm，

则系数c0和d0至少有一个非零。将其代入等式(10)中，通过比较多项式的系数就可以得到关于未知系数c0，c1，…，cm-1，cm，d0，d1，…，dm-1，dm的线性方程组，进而求得这2m+2个系数。

2)当λ+ωi是φ(r)=0的单根时，φ(λ+ωi)=0，φ′(λ+ωi)≠0，则Q′(x)为m次多项式，取Q(x)=xQm(x)，将其代入等式(10)中，可求得Qm(x)中的2m+2个系数。

3)当λ+ωi是φ(r)=0的s(s≥2)重根时，φ(λ+ωi)=φ′(λ+ωi)=…=φ(s-1)(λ+ωi)=0，φ(s)(λ+ωi)≠0，则Q(s)(x)为m次多项式，取Q(x)=xsQm(x)，将其代入等式(10)中可求得Qm(x)中的2m+2个系数。

以上3种情形分别得到2m+2个系数c0，c1，…，cm-1，cm，d0，d1，…，dm-1，dm后便可确定多项式fm(x)和gm(x)表达式，从而可得Q(x)的表达式，又得到了f(x)和g(x)表达式，最后再代入式(9)即为微分方程(5)的一特解。通常把上述方法称为待定多项式法。

此种方法的核心是求f(x)和g(x)的表达式，其构造形式为f(x)=xkfm(x)和g(x)=xkgm(x)，其中k按照λ+ωi不是φ(r)=0的根、是φ(r)=0的单根、是φ(r)=0的s重根分别取0、1、s。此时问题的关键是确定fm(x)表达式中的m+1个系数和gm(x)表达式中的m+1个系数，共有2m+2个系数。

特别地，考察二阶常系数非齐次线性微分方程

y″+py′+qy=eλx(Pl(x)cos(ωx)+Pq(x)sin(ωx))，

则待定多项式Q(x)=xk(fm(x)+gm(x)i)(其中m=max{l,q})满足等式

Q″(x)+(2(λ+ωi)+p)Q′(x)+((λ+ωi)2+p(λ+ωi)+q)Q(x)=P(x)，

(11)

3 应用实例

例1求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解。

故所求的通解为

例2求微分方程y″+y=xcos(2x)的一个特解。

f1(x)=ax+b，g1(x)=cx+d，Q(x)=Q1(x)=f1(x)+g1(x)i=ax+b+(cx+d)i，

值得注意的是，Q(x)表达式中的f(x)是一次多项式，g(x)为零次多项式(常数)，也就是说，多项式f(x)和g(x)的次数是不相同的。

以上两个例题都出自同济大学数学系编写的《高等数学》教材[1]，通过计算比较可以发现，本文所提出的待定多项式法较为简单。事实上，待定多项式法最大的优势在于不再计算特解中涉及指数函数eλx的一阶导数和高阶导数，大大地减少了计算量，同时尽可能地避免出现计算错误。

需注意的是，对于常系数齐次或非齐次线性微分方程[3-8]通解的求解，可以利用MATLAB的函数dsolve完成。比如例1，在命令行窗口输入

dsolve(′D2y-5*Dy+6*y-x*exp(2*x)′,′x′)

点击run,运行结果为

C3*exp(3*x)-(x^2*exp(2*x))/2-exp(2*x)*(x + 1)+ C4*exp(2*x)

上述结果和例1所得结果是相同的，注意MATLAB的函数dsolve的功能是求解微分方程(包括线性微分方程)的通解，得到通解后便可以得到本身的一个特解。