问题引领：激活学生数学高阶思维——以“角平分线画法的再认识”为例

福建省福州第七中学 辛小榕

高阶思维是发生在较高认知水平层次上的心智活动或较高层次的认知能力，按照布鲁姆教育目标分类体系，依据认知的复杂程度从低到高划分为记忆、理解、应用、分析、评价和创造六个层次，其中分析、评价和创造称为高阶思维能力。笔者以“角平分线画法的再认识”初三复习课为例，组织学生提出问题、分析问题、研究问题、解决问题，形成问题学习机制，在师生互动、生生互动中完成数学认知成长，促进学生数学高阶思维能力的提升。

一、提出问题，启动生本高阶思维

大多数人认为学生数学思维处于被动主要因素是学生不愿意主动思考、懒于思维，而实际上并非如此，由于教师没能提供能够让学生主动思维的思考点，即问题，没有规划解决问题的思维支架，所以才导致学生对数学学习的“惰性”。数学学习需要遵循一些规律，要求教师创设的问题在学生认知的最近发展区，或许“跳一跳”能够“摘到桃子”，只有这样才能激发学生主动思维的积极性，而在解决问题受阻时，教师也能及时提供必要的思维支架，以及恰到好处的问题设计和指导，都能够有效培养学生数学高阶思维。

1.师本设定问题。

爱因斯坦说过：从新的角度看待旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真进步。教师在学生已有的学习经验基础上提出问题，是对旧知识的再认识，能充分激发学生的思维，激活学生高阶思维。这种以旧问重提方式的问题驱动，有助于学生的思维从低阶走向高阶，因为低阶思维的学生对知识的掌握往往是分散的、孤立的、不系统的，抓不住问题的本质，也就无法形成高阶思维，进而影响分析问题解决问题能力的提高。

以《角平分线画法的再认识》为例，学生已有的知识储备是足够的，在初一时已掌握角平分线的定义，会利用量角器画角平分线，以及利用将纸张对折后折痕即为角平分线，到初二学习了角平分线的性质和判定后，利用边边边定理构造全等三角形，能够得到两个角相等的认知，进而得到角平分线，掌握角平分线的尺规作图的一种方法。教师围绕学生学习认知基础提出思考问题：什么是角平分线？如何画出角平分线？画角平分线需要注意什么？学生接受问题后，先回顾角平分线的定义，抓住问题进行深度思考，教师组织学生进行互动交流，结合问题做深入思考，归结出画角平分线的方法和规律，并与学生展开多重互动对话，让学生在思考、分析、操作、归结中完成认知构建。

2.生本提出问题。

教师组织学生发现问题、提出问题，能够给学生带来更多学习触动，也能够调动学生学科思维。教师从问题的本源出发，引导学生逐渐进入到解决问题核心，利用学生已有知识储备一步一步完成问题设计，让学生与同伴互相交流，挖掘问题的本质，进而发现转化思想在解决数学问题的重要性，搭建起未知与已知之间的桥梁，从而达到解决问题的目的。通过设计问题、讨论问题，最终确定解决方案，有助于知识的系统化形成，挖掘了问题的本质属性，在学生分析、解决问题的思维过程中，初步促进培养学生数学高阶思维目标的建立。

学生进入学习探索环节，其学习思维逐渐进入活跃期，教师要求学生在深入思考基础上，适时提出学习疑问，为后面学习讨论创造条件。学生都能够积极回馈，设计出自己关注的问题。如：可以利用菱形的性质来画出角平分线吗？等腰三角形的三线合一是什么原理？圆心角和圆周角是什么关系？利用等腰三角形的外角性质能解决角平分线的画法问题吗？……教师对学生设计问题做梳理，组织学生对这些问题做深入探索，课堂学习研究气氛逐渐建立起来。因为都是学生设计的问题，自然能够引发学生的共鸣，教师适时作出一些引导和启示，为学生提供问题解读方向，确保课堂问题探索学习顺利展开。学生是学习主体，教师充分放权给学生，让学生设计学习问题，这本身就是一种有创意的设计。

二、分析问题，历练生本高阶思维

尽管问题提出更容易激起学生的数学高阶思维，但也要依赖于问题的变式和问题解决过程中的经验总结。对于同一个问题的进一步发问，目的是要让学生的思维从表层到深层，对问题的质疑、反思，并通过自省性探究问题，呼唤批评性思维推动高阶思维的发展。

1.师生讨论问题。

教师推出数学问题后，要组织学生做深度研究。在问题探究过程中，教师要借助发现问题实质契机，组织学生展开自主思考、分析、比较下，建立师生互动机制，进而达成学习目标，将数学问题转化为数学知识，这对学生来说就是数学高阶思维的表现方式。如果缺少分析比较，那所研究的问题只能停留在低阶思维。数学课堂活动过程仅仅是知识的线性传授与接收，这是完全不够的，因为所有知识自身都具有结构性，学习过程就是学生自主建构的过程，良好的教学设计和变式，能够充分调动学生思维的主动性、积极性，这样就能有一个良好的学习体验，亲身经历过程后才能对知识有更深层次的理解。

师生互动交流是最为常见的教法应用，教师需要发挥主导作用，积极设计问题、投放问题、分析问题、讨论问题，让学生主动进入到问题环节，在深入研讨中建立学科认知。如教学《角平分线画法的再认识》，教师设计问题：用直尺和圆规来画角的平分线，其应用原理和依据是什么？学生对这个问题比较感兴趣，因为都有直尺和圆规，自然想到了实际操作，教师深入到学生群体之中，对学生学习操作情况做观察，组织学生针对问题做讨论，逐渐达成学习共识。学生结合实际操作做问题研讨，教师根据学生操作做指导，教与学达成更多默契与和谐，学生从研讨问题过程中，对角平分线画法有了更多理解和认知。在这样的数学课堂活动中，学生的数学高阶思维就在师生互动中得以发展，教师从学生学习主体出发，组织学生结合实际操作展开深入思考和讨论，让问题研究在不知不觉中完成，学生在实践探索中自然建立学科认知能力。

2.生生辩论问题。

在教师的层层设问下提出新的问题情境，在学生不懈的探索中，教师引导学生准确运用已有知识经验解决新问题，这时学生不仅敢于对现有的认知提出自身的看法及观点，学生还能对多种做法进行思辩，清晰地指出所存在的问题，并能挖掘出解决问题的本质属性，只有发现问题的本质，才能顺利解决问题在不同情境下的解决途径，这样学生能利用已有的学习经验优化解决问题，在对新知的认知中学生的思维提高了一个层次，达到发展学生数学高阶思维的目的。

以《角平分线画法的再认识》为例，在学生已经充分理解掌握角平分线的不同做法的基础上，教师再次提出问题：以上这几种做法与课本中的做法比较，你有什么发现？课本为何不采用别的方法？学生面对这些新问题，再度展开深入思考，并自发展开互动讨论，课堂思辨气氛逐渐建立。教师适时做出一些提示，让学生自然进入到问题研读环节。学生在对比分析中发现，课本中的做法更简洁且更具有一般性，如果要平分一个平角时，利用菱形的性质和等腰三角形的三线合一就存在困难，这样对角平分线的做法的认识就更进一步。教师再进一步引发思考，让学生把尺规作图中的“无刻度直尺和圆规这两个工具”改成“只有一把有刻度的直尺”，看看这样能否建立新的思考起点？学生主动展开探索，逐渐找到解决问题的途径和方法。教师引导学生利用直尺探索对边互相平行的条件，利用等腰加平行得到角平分线。学生很快就有一些新发现，教师继续设计，将操作任务要求改成“只有一把无刻度的直尺”做角平分线，学生进入探索环节，发现利用直尺可以构造一个特殊四边形菱形，利用菱形的对角线平分每一组对角，顺利进入到操作环节，成功画出角平分线。最后教师对条件再次更改为“用一个带刻度直角三角板”做角平分线，学生发现利用三角板构造全等三角形就能做角平分线。在教师引导下，学生学习思维不断升级，学习效果呈现出来。

三、解决问题，提升生本高阶思维

数学课堂活动的关注点不能仅仅停留在学生知识所得，更为关键的是为思维而教，学生的数学思维是否向高阶思维发展，这才是最为关键的问题。学生掌握知识的过程就是自我知识建构的过程，而只有在问题设计的处理上，遵循由浅入深、由易到难的原则，这样拓展加深了各个知识点之间的联系，学生的思维在充分碰撞及交流中突破创造性思维，直至学生自主解答、互相辨析，甚至自主编题获得共识，从而提升数学高阶思维。

1.探索内化问题。

创新能力越强，则高阶思维越强，教师适时推出一系列问题，能够成功激活学生学习思维。这类问题往往具备多角度、深层次、宽空间的特征，它相比常规性问题更具有挑战性，更能激发学生思维的积极性和主动性，如果问题探索进程顺利，有助于培养学生的创新型思维，在思考解决问题的过程中向提升高阶思维迈进。教师借助问题组织学生展开学科学习，为学生提供深入思考的机会，这本身就是一种探索行为，对促进其学习成长有重要帮助。

教师推出操作任务，基本不用问题的形式设计，也属于问题探索范畴，学生面对数学任务需要展开深度分析，在实际探索中启动学习思维。以初三数学一节复习课《角平分线画法的再认识》为例，教师在最后又抛出一个新的问题引发思考，如何解决只给两条不平行的直线，因有障碍物找不到角的顶点，但是要画它的角平分线。此问题也可以理解成没有角却要做它的角平分线，没有角的顶点利用角平分线的定义来解决这个思路，显然是行不通的，所以要另辟新路。引导学生用角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可以在两边分别任意取一点做垂直并截取相等，然后再分别做平行线，就形成一个新的角，再做这个新角的平分线，通过两平行线间的距离处处相等就得到要求做的角平分线，或者还可以在两边任取两点连接形成四个角，作它们的角平分线构成两个交点，连接起来就是所求做的角平分线。

2.实践应用问题。

没有角的顶点却要做它的角平分线，一道看似无法解决的问题，却在教师有效引导下，学生勇于主动探究问题的关键，从而顺利地完成问题解决。这样的教学设计鼓励学生从不同角度寻求问题解决途径，增强思维的灵活性和变通性，有效激发学生思维的主动性，拓宽了思维的广度和深度，让学生分析问题和解决问题的方法呈现多方位多角度多层次，这样问题的有效拓展既能巩固新知，又让学生在充分思维的过程中体验到数学问题的本质，享受创造性解决数学问题的乐趣，从而在探究过程中有效提高学生的数学高阶思维。

数学在生活中有广泛应用，教师围绕数学问题组织学生主动参与到实践环节，能够为学生创造更多学习思考的机会。学生高阶思维的顺利启动，势必对学生学习带来更多助力支持。以初三数学的一节复习课《角平分线画法的再认识》为例，在学生自主探究的过程中，设计问题发展的三个阶段，实现高阶思维的培养、发展、提升三个层次。首先是由一个旧知引发新问题，利用不同学段的知识解决原有的问题，让问题的解决呈现多样性，并加深了不同学段知识间联系，建构知识的系统化，其次再对问题的变式进行思辩，反应解决问题的本质属性，最后则是对问题进行创新设计，让思维从复制走向创造。在这个教学组织过程中，教师充分发挥问题调度作用，为学生提供更多深入学习的机会，其学习体验更为丰富。

在双减政策背景下，减负不减质，教师不仅要关注的是数学课堂的教，更重要的是要让学生学会如何思考，在思考中学会分析即提出问题、评价即思辩问题、创造即升华问题。在教学中，“授之以鱼，不如授之以渔”，教师应以学生数学思维展开问题设计，为学生的数学高阶思维形成组织问题探索，利用数学问题研究尽可能给学生创设一个更大的思维空间，鼓励学生展开创造性思考和探索，强调问题质疑和反思总结，让学生的数学高阶思维水平得以提升，发展学生的数学核心素养。