“用图形说话”，培养数学解题能力

山东农业大学附属学校 蔺菊玲

在小学数学中，很多数学概念和计算方法较为抽象且难以理解，学生往往不能精准地把握解题步骤，解题时缺乏思路。针对这一现象，教师应当突出“数”与“形”的概念及特征，使教学内容能通过图形表达出来，帮助学生掌握利用图形解题的方法，在解题的过程中能游刃有余地剖析题目的关系与结构，无形中培养学生的图形转化思想。

一、数形结合，发现抽象特征

数学教学内容包含两大元素，分别是“数”与“形”，而数形结合可以使问题更直观化、清晰化。教师在教学过程中要注重数形结合的应用，使学生能发现题目中的抽象特征，进而通过图形转化成解题思路，从而得出解题办法，提升解题能力。

例如，在学习《快捷的物流运输——解决问题》这一课时，教师可以运用示意图表达数学问题的条件，帮助学生理解抽象特征。由教材中的数学问题可知，摩托车从车站出发经过8分钟到达物流中心，大货车和小货车分别从东、西两城同时出发，相向而行，经过4小时在物流中心相遇。已知摩托车平均每分钟行驶900米，大货车平均每小时行驶65千米，小货车平均每小时行驶75千米，那么东、西两城相距多少千米？学生在做这种类型的题目时可以采用数形结合的解题手法，借助图形分解题目中的抽象元素。首先，学生用线段图画出示意图，整理题目的条件和问题，可以将东、西两城距离的求解转化为大货车和小货车行驶的总路程，在示意图中标出两辆车的位置与速度。学生通过画示意图可以快速明晰问题中的抽象特征，并将其转化为简单计算，最后得出本题的计算公式：（65＋75）×4＝560（千米）。

利用“形”理解抽象的“数”是一种极为有效的解题思路。数形结合这种教学方法可以让学生快速理解题目中的抽象含义，使复杂的数量关系图形化，变抽象为直观，从而形成巧用图形分解题意的数学思维。

二、直观推理，洞察结构关系

学生数学解题能力的培养离不开对学生直观推理能力的培养，是教学策略不可或缺的一部分。教师在讲解做题思路的过程中，要让学生感受到直观推理在解决数学问题中的作用，鼓励学生自主思考与探索数学问题中的结构关系，体会图形解题法的价值所在。

例如，在学习《美化校园——图形的周长》这一课时，教师可以先在黑板上写出例题，提问学生“学校要给花坛围上护栏，需要多少钱呢”，然后指导学生在草稿纸上先描出校园内花坛的外轮廓，分别为半圆形花坛、长方形花坛和正方形花坛，并依据比例在图上标出花坛的各个边长以及其他相关信息。画完图形之后，教师引导学生感受画图的重要性和便捷性，通过比较和推理，将题目中的条件与图形相对应，进而得出本题中的答案。在计算时应当先求出花坛的周长，然后再用周长乘以护栏的单价就可以得出答案。学生通过推理可以将问题简化为两个步骤，先求解周长再计算价格，而学生又可以通过画出不同花坛的图形分别求解周长，最终得出解题步骤。这种教学方式可以使学生快速理解数学问题中的关系与结构，在直观推理的过程中积累利用图形解题的经验。

基于图形直观推理是一种渗透力极强的教学方式，可以使学生快速捕捉问题的精髓。教师通过采用这种教学方式，可以使学生先通过示意图厘清数学问题中的关系，然后再用图形梳理解题步骤，让学生能明晰数学问题中所包含的结构信息，从而得出数学结论。

三、直观探究，寻找解题思路

图形作为一种数学表达工具，始终贯穿于解题过程。教师要学会引导学生自主探究解题活动，鼓励学生借助图形探索数学问题的多种解题思路，让学生对数学问题有更多的思考与创造，并依据自身的猜想和推测求解问题，在探究的过程中逐步培养成熟的解题思路。

例如，在学习《我是体育小明星——数据的收集与整理（一）》这一课时，教师可以借助集合图鼓励学生自主探究解题思路。教师先在黑板上用表格列出班级内每位学生的获奖成绩记录，然后提问学生“班级内的获奖情况是什么样的”。鉴于获奖成绩数据较多，难以整理，教师可以鼓励学生探究运用集合图归纳数据寻找本题的解题步骤，可以从性别（男生、女生）分类着手，看男生的获奖人数，女生的获奖人数；也可以以名次为分界线，统计出第一名、第二名、第三名分别有多少人；还可以按获奖的项目整理班级的成绩记录，分别为赛跑、立定跳远、跳绳等。集合图可以用椭圆形表达，用不同的区域表达不同的分类，在每个区域内标出该区域的名称和人数，便于学生整理，如“第一名有12人，参加赛跑的人有18人”，学生通过借助集合图将获奖记录分类可以得出多种解题思路，使解题更直观明了，并且从多种解题思路中获得更概括、更理性的数学认知。

教师结合题意，通过集合图的特点引导学生自主探析解题步骤，可以有效提高学生的解题思维与能力，从本质上让学生学会集合图解题法的技巧，积累数学的解题素材，再遇到此类问题时能游刃有余地找到解题办法，从而提高做题效率。

四、分解图形，分析数量关系

部分数学问题中的数量关系较为隐蔽，不易被学生察觉，致使学生在做题的过程中无法清晰地把握题目所给出的条件，做题时常常感觉不知道从何处突破解题的难点。因此，教师在教学过程中要指导学生分解图形，挖掘隐含的数量信息与已知条件的关系，扩充学生已有的解题方法。

例如，在学习《采摘节——混合运算》这一课时，教师可以根据数学问题分解图形，帮助学生分析题目中包含的数量关系，从而找到正确答案。如题目“小明用一个杯子往空瓶子中倒水，倒入两杯水后瓶子的重量为500克，倒入三杯水后瓶子的重量为720克，那么一杯水的重量是多少克，空瓶的重量是多少克”。学生在遇到这类比较抽象的数学问题时，不能迅速得出问题的答案，因此就需要借助图形分解做题步骤。首先，教师指导学生先将题目中的数量关系用线段图画出来，第一个线段图需要将两个重量（水的重量、瓶子的重量）表示出来，并标记出总重量为500克，第二个线段图在第一个线段图的基础上加上一杯水的变量，并标记出总重量为720克，学生通过分解图形可以得出，第二个线段图比第一个多出一杯水的重量，那么一杯水的重量就等于第二个线段图的总重量减去第一个线段图的总重量，进而得出一杯水的重量，在此基础上将第一个线段图的总重量减去两杯水的重量可以求出瓶子的重量，最终得出正确答案。

小学生尚不能很好地建立所求问题与已知条件的联系。这就需要教师着重强调分解图形的方法及作用，帮助学生依据图形的分解分析出问题中的数量关系，让学生在做题时能“茅塞顿开”，从而提高分析问题和解决问题的能力。

五、动手操作，理解转化思想

基于小学生的心理特点，教师指导学生通过操作活动理解转化思想是一种极为符合现阶段教学需求的教学模式。学生通过动手操作能切身感受到图形的变化规则与规律，能在理解图形变化的基础上延伸出对做题思路的思考，从感官方面理解转化思想。

例如，在学习《爱心行动——图形与拼组》这一课时，教师可以在课堂上指导学生动手操作，帮助学生感受图形的变化过程，进而理解转化思想。教师可以引导学生思考如何用一张正方形纸折成一个长方形和一个三角形。学生通过思考和观察可以将正方形纸片对折，得出一个长方形，并用尺子测量长方形的各个边长，观察长方形与正方形转换的规律与特征，感知图形转化的过程。然后还可以将正方形通过折叠变成面积更小的正方形，观察一个正方形折叠两次后能变成几个小正方形，折叠四次、六次、八次分别得出几个小正方形，并测量它们的边长与角度，分析正方形面积的转化与折叠次数的关系，学生通过动手折叠正方形可以有效理解图形的变化规则，并能将其运用至解题思路中，实现解题思路的图形化。

图形的特点是直观、生动，易于理解。教师通过指导学生折一折、叠一叠，可以有效帮助学生通过观察与操作理解图形的特征，再融合自己对图形的个性化理解，形成有关“图形”的思想体系，灵活掌握图形的变化技巧，从不同的角度得出解题思路。

总之，运用图形解析题目是一种常见的解题思路，教师应当帮助学生学会“用图形说话”，在解题过程中依据图形的特点找出解题思路，并有效解决问题。