裂隙砂岩破坏过程中的能量耗散与破碎分形特征研究

刘享华，张 科,，吴文远

(昆明理工大学 a.建筑工程学院；b.电力工程学院，昆明 650500)

物质破坏是能量转化作用下的一种状态失稳现象[1]。岩体受载变形并破坏实质上是不可逆的热力学过程，能量的耗散和释放至关重要[2]。因此，从能量转化作用角度研究岩体破裂机制得到众多学者的青睐[3-7]。

上述研究主要针对完整岩石，但是工程岩体中常孕育着不同尺度、特性的地质结构面，不仅控制着岩体的变形破裂行为，而且对能量耗散和释放规律也有一定的影响。因此，笔者在不同裂隙倾角砂岩试件单轴压缩试验研究的基础上，分析了裂隙砂岩变形破裂过程中的能量演化特征，引入分形理论定量表征了破坏后碎屑尺度分布的分形特征，初步探究了裂隙砂岩耗散应变能、抗压强度以及分形维数之间的相关性，从能量的角度揭示岩石破坏过程中应力释放和耗散的规律，对阐明岩石的破坏机理提供参考。

1 试件制备及试验方案

1.1 试件制备

图1 试件尺寸图局部Fig.1 Geometry of specimen

本次试验选取红砂岩作为研究对象，岩样取自云南省楚雄彝族自治州，表面光滑平整，呈致密块状构造。为了避免岩石各向异性的影响，选用同一块红砂岩板进行切割，并打磨成尺寸为120 mm×60 mm×25 mm(长×宽×厚)的长方体，如图1所示。采用高速水刀切割技术加工长度为2l=26 mm的预制裂隙，裂隙中点与试件中心点重合，裂隙分布如图1所示。裂隙倾角β分别设置为15°、30°、45°、60°和75°共5种情况，每种裂隙倾角制备2个试样。在预制裂隙中插入云母片，用于模拟闭合型裂隙。制备好的裂隙砂岩试件如图2所示。

1.2 试验装置及实验方案

单轴压缩试验加载设备采用WAW1000型电液伺服万能材料试验机，具有刚度大、稳定性好以及测量精度高等特点。试验开始前，将砂岩试件放置于试验机上，在试件上下端面加设刚性垫片，以减小加载过程中的摩擦效应。本次试验采用位移加载控制，加载速率设置为0.3 mm/min。试验机配套软件自动记录试验过程中的轴向载荷和位移数据。采用高清摄像机记录裂纹萌生、扩展和贯通的全过程，摄像机放置于距离试件正面1 m处。试验研究发现5种裂隙倾角试件的破坏模式基本一致，都表现为沿裂隙面发生剪切破坏。

图2 待试验的试件Fig.2 Specimens to be tested

2 能量耗散特征

能量耗散和释放在岩石的变形破坏中起着重要的作用。从能量转化的意义上讲，岩石的破坏，包括裂隙的萌生、扩展和贯通，本质上是一个热力学过程，伴随着能量的耗散和释放。能量耗散导致岩石内部发生劣化，能量释放导致岩石结构突变，而当应变能急剧释放，岩石将发生破坏，在某些特定条件下，这是造成重大地质灾害的因素之一。因此，有必要对变形和破坏过程中岩石的能量耗散和释放规律进行研究。

2.1 应变能计算方法

假定单轴压缩试验环境与外界不存在热交换效应，忽略岩块弹射而转化的动能，则外力所做功(试验机对试件做的功)的总输入能量U即为总应变能，根据热力学第一定律可以得到单轴压缩过程中应变能的计算公式[1]

U=Ue+Ud。

(1)

式中：Ue为弹性应变能；Ud为耗散应变能。岩石吸收的总应变能U转化为可释放的弹性应变能Ue被储存在试件内以及用于损伤扩展消耗掉的耗散应变能Ud。图3为单轴压缩加载中试件的弹性应变能Ue与耗散应变能Ud之间的关系。

图3 试件单轴压缩加载中耗散应变能Ud与可释放应变能Ue的关系[1]Fig.3 Relationship between dissipation strain energy and releasable strain energy during uniaxial compression test

由于整个试验过程中只有轴向应力对试件做功，故根据热力学理论，U、Ue和Ud可分别通过以下公式求得：[1]

(2)

(3)

Ud=U-Ue。

(4)

式中：σ为轴向应力；ε为应变；Eu为卸载弹性模量。

本次研究没有进行卸载试验，故未得到卸载弹性模量Eu。为了方便计算，采用初始弹性模量E0替代卸载弹性模量Eu。梁昌玉等[13]和李树刚等[14]通过对砂岩进行加卸载试验发现，初始弹性模量E0与卸载弹性模量Eu非常相近，并论证了采用E0代替Eu的合理性。因此，式(3)可进一步改写为

(5)

2.2 裂隙砂岩变形破裂过程中的能量演化特征

图4 破坏模式、应力应变曲线以及应变能演化曲线Fig.4 Dependences of failure mode,stress,and strain energies on strain

峰后破坏阶段(阶段Ⅳ)：应力达到峰值后，裂纹的快速扩展和贯通导致试件失去承载力并发生破坏。在应力下跌过程中(C点到D点)，弹性应变能曲线逐渐下降，而耗散应变能曲线快速上升。峰值点以前，外力对试件做的功被试件的自身变形转化为弹性应变能，少部分能量被试件损伤扩展消耗掉。随着砂岩试件损伤逐步累积，试件慢慢发生劣化，耗散应变能也不断增大，达到一定程度后导致试件强度丧失。当应力达到峰值强度后，大量弹性应变能急剧释放，其中一些能量转化为其他形式的能量耗散掉，其形式包括裂纹扩展所需的表面能、微裂隙间相互摩擦的摩擦热能和振动弹射碎片的机械能等。弹性应变能释放量越多，释放速率越快，试件张性破坏特性越明显，裂隙砂岩试件被破碎成更小的碎片，导致更严重的破坏。

2.3 能量耗散与抗压强度之间的关系

峰值应力点是裂隙砂岩试件强度丧失至整体失稳破坏的临界点。裂隙砂岩在达到峰值强度之前，总应变能U和弹性应变能Ue逐渐增加；而耗散应变能Ud随着应力的增大经历了由缓慢增长到突然增长的变化过程。在一定荷载水平下，由于其微裂纹扩展、贯通以及破裂面摩擦错动，使岩石的黏聚力减小，耗散应变能增加。达到峰值强度后，弹性应变能急剧释放使裂纹的不稳定扩展和贯通加剧，导致试件破裂面扩大直至岩石失稳破坏。

裂隙倾角与峰值应力点耗散应变能之间的关系如图5所示。图6为试件裂隙倾角与抗压强度之间的关系。需要指出的是，当裂隙倾角β=75°时，只有1个试件的试验结果有效，这是因为该组其余试件表面均存在明显缺陷。随着裂隙倾角增大，试件峰值应力点耗散应变能和抗压强度均呈现出先减小后增大的变化规律。当裂隙倾角β=30°时，试件抗压强度和耗散应变能均为最小值。结合图5和6可知，试件峰值应力点耗散应变能和抗压强度之间可能存在正相关关系。为此，采用最小二乘法对峰值应力点耗散应变能和抗压强度进行线性拟合，结果如图7所示，峰值应力点耗散应变能和抗压强度间近似呈线性相关，相关系数R2为0.87，拟合公式见式(6)。左建平等[16]研究发现煤岩峰前积蓄的能量与单轴抗压强度大致呈正比关系。

Ud=2.77×10-3σc-6.41×10-2，R2=0.87。

(6)

耗散应变能的演化使裂隙砂岩的强度发生劣化，最终导致结构破坏。试件抗压强度越高，破坏前积聚的可释放弹性应变能越多，破坏时转化成的耗散应变能越多，损伤程度越高。换句话说，能量耗散与裂隙砂岩的损伤以及强度劣化直接相关。

图5 裂隙倾角与耗散应变能之间的关系Fig.5 Relationship between flaw inclination and dissipation strain energy

图6 裂隙倾角与抗压强度之间的关系Fig.6 Relationship between flaw inclination and compressive strength

图7 抗压强度与耗散应变能之间的关系Fig.7 Relationship between compressive strength and dissipation strain energy

3 破碎分形特征

分形几何可以定量描述自然界中复杂无序而具有某种内在规律的对象，为人们从局部认识整体，从无限认识有限提供了有力的工具，因此广泛应用于岩石破碎学等研究领域[17-19]。岩石破碎是其内部裂纹不断起裂、扩展和最终贯通的结果，这个从细观发展到宏观破碎的过程具有分形特性。而岩石的宏观断裂是由小破裂发展聚集导致的，小破裂又是由微裂纹的萌生扩展而成，这种自相似行为必然导致破碎后碎屑尺度也具有自相似特征。另一方面，岩石破坏后的碎屑包含许多有用的信息，不仅能直接反映岩体的破坏特性，还可以间接反映岩石的加载路径、加载应力状态和能量演化等[20]。因此，采用分形维数表征试件破坏后碎屑尺度分布的分形特征，对研究裂隙砂岩的破坏机制具有一定的理论意义。

3.1 分形维数计算方法

m(r)/m=(r/a)k。

(7)

式中：m为碎屑总质量；r为等效粒径，即筛径；m(r)为筛径小于r的碎屑质量；a为碎屑平均尺寸。

将式(7)两边取对数，绘制lg[m(r)/m]-lgr双对数曲线，采用最小二乘法线性拟合，k为拟合曲线的斜率。则碎屑尺度分布的分形维数D定义为[19]：

D=3-k。

(8)

上述方法计算得出的分形维数D的范围介于0 ～ 3。当0

3.2 分形维数计算结果

图8为典型裂隙砂岩试件(β=45°)单轴压缩试验后的碎屑，破坏后的碎屑主要呈不规则的碎块状、碎片状、颗粒状等。根据上述计算分形维数的方法，对不同裂隙倾角砂岩试件的碎屑采用筛分法进行筛分，筛径选用10，5，2，1，0.5，0.25,0.075 mm共7种，采用精密电子秤称量每种等级筛分出的碎屑质量。将碎屑按粒径大小划分为4个粒级：微粒碎屑(d<0.075 mm)、细粒碎屑(0.075 mm≤d<5 mm)、中粒碎屑(5 mm≤d<10 mm)和粗粒碎屑(d≥10 mm)。计算不同裂隙倾角试件各粒级的质量占比，微粒碎屑、细粒碎屑、中粒碎屑和粗粒碎屑的质量百分比分别为0.0084%～0.037%、0.063%～0.88%、0.09%～0.52%和97.88%～99.52%。裂隙砂岩破坏产生的碎屑中，粗粒碎屑的质量远远大于其他粒级碎屑质量的总和，细粒碎屑的质量占比大于中粒碎屑，微粒碎屑的质量占比最小。

图8 单轴压缩试验后的碎屑分类(根据粒径，单位：mm)Fig.8 Classification of fragments after uniaxial compression test

根据式(7)和(8)计算不同裂隙倾角下砂岩试件的分形维数。图9为典型裂隙砂岩试件(β=45°)破坏后碎屑尺度分布的lg[m(r)/m]-lgr关系。计算结果表明所有试件的相关系数R2均大于0.85，因此lg[m(r)/m]和lgr之间具有高度相关性[21]。再结合式(7)和(8)中分形维数的定义可知，试件破坏后的碎屑尺度分布展现出明显的分形行为。图10为不同裂隙倾角试件的分形维数，位于2.58 ～ 2.64。高峰等[22]计算了完整岩石在单轴压缩试验后的分形维数，在1.7 ～ 2.0范围内。这说明裂隙岩石单轴压缩后的破碎程度高于完整岩石，破坏过程中产生的细粒碎屑和微粒碎屑含量增加，所以分形维数更大。

图9 碎屑lg r-lg[m(r)/m]关系Fig.9 Relationship between lg r and lg[m(r)/m]

图10 裂隙倾角与分形维数之间的关系Fig.10 Relationship between flaw inclination and fractal dimension

从图10中还发现分形维数与裂隙倾角密切相关，随着裂隙倾角增大，分形维数表现出先减小后增大的变化规律；当裂隙倾角β=30°时，分形维数最小，这与抗压强度的变化规律相似。

3.3 抗压强度与分形维数之间的关系

结合图6和图10分析可得，试件抗压强度越大，破坏时断裂次数越多，破碎程度越严重，细粒碎屑和微粒碎屑的质量占比越大，导致分形维数越高。进一步研究抗压强度和分形维数之间的关系，最小二乘法线性拟合结果如图11所示，表明试件抗压强度与分形维数呈线性关系，拟合相关系数R2为0.87，拟合公式见式(9)。陈新等[23]在含裂隙的类岩石试件单轴压缩试验中也发现了类似的规律。

D=2.43×10-3σc+2.46，R2=0.87。

(9)

由此可见，裂隙砂岩破坏后碎屑的分形维数可以用来描述裂隙砂岩破碎程度。

图11 抗压强度与分形维数的关系Fig.11 Relationship between compressive strength and fractal dimension

4 能量耗散与破碎分形特征之间的力学机制及关系

上述研究表明，岩石试件抗压强度和耗散应变能呈线性相关，可用以下公式表征：

σc∝Ud。

(10)

岩石试件抗压强度越大，破坏时的碎屑尺度越小，即微粒、细粒碎屑含量增加，此时lg[m(r)/m]-lgr双对数坐标下的斜率值k也就越小，分形维数增大。抗压强度与分形维数之间的力学机制可用以下公式表征：

(11)

结合式(10)和(11)不难得出，耗散应变能与分形维数之间也存在正相关关系，即峰值应力点耗散应变能越大，分形维数则越大。两者之间的力学机制可采用以下公式表征：

Ud∝D。

(12)

对耗散应变能与分形维数进行最小二乘法线性拟合分析，拟合结果如图12所示，拟合公式如式(13)，进一步证明了两者之间存在正相关关系：

D=2.52+0.81Ud，R2=0.86。

(13)

进一步研究发现，裂隙砂岩单轴压缩破坏后碎屑尺度随耗散应变能增大而减小，这是由于耗散应变能足够大时，新生裂纹快速萌生、扩展，最终破碎分离，伴随着更小尺度碎屑产生。因此，裂隙砂岩的破碎块度越小，破坏时需要消耗的能量越多。

图12 耗散应变能与分形维数的关系Fig.12 Relationship between dissipation strain energy and fractal dimension

需要说明的是，岩石是一种有着复杂内部结构的地质体[24]，不可避免地导致本次试验数据具有离散性，但抗压强度、耗散应变能和分形维数三者两两之间仍表现出明显的总体规律，如图7、11和12所示，相应的拟合相关系数R2均大于0.86。在今后的研究工作中，将增加试件数量，进一步验证和完善本文中提出的研究结论。

5 结 论

从能量角度出发，研究了含不同裂隙倾角的砂岩试件在单轴压缩作用下的能量耗散、力学特性以及破坏后的碎屑尺度分布特征，讨论了三者之间的关系，得出了以下结论。

1)不同裂隙倾角的岩体应变能演化过程大致相同，都经历了初始压密阶段、弹性变形阶段、塑性变形阶段以及峰后破坏阶段。

2)裂隙砂岩试件的抗压强度和峰值应力点耗散应变能表现出相似的变化规律。随着裂隙倾角增大，两者均表现为先减小后增大的趋势。当裂隙倾角β=30°时，耗散应变能和抗压强度都最小。数据拟合结果表明，抗压强度和峰值应力点耗散应变能近似呈正相关关系。

3)筛分试验发现试件受压破坏后的碎屑尺度分布具有分形特征，计算所得的分形维数介于2.58～2.64之间，大于完整岩石的分形维数。随着裂隙倾角增大，分形维数表现为先减小后增大的变化规律，与抗压强度的变化规律类似。试件抗压强度与碎屑尺度分布分形维数近似呈正相关关系。

4)能量耗散与破碎分形特征之间关系的研究结果表明，裂隙岩体能量耗散与破碎分形特征之间具有较好的相关性。这是因为岩体抗压强度越高，表明抵抗外力破坏的能力越强，所需的耗散应变能也就越大，导致试件破碎程度越高，相应的分形维数随之增大。