初中代数命题推理教学初探

朱建明 徐艳

摘要：要加强代数推理的教学，重点是加强代数命题推理的教学。为此，需要系统地开发一些要求学生进行代数命题推理（证明）的教学资源（问题情境），并且引导学生总结使用代数命题推理（证明）的方法程序，规范表达代数命题推理（证明）的过程。

关键词;初中数学;代数命题推理;推理问题;推理方法;推理表达

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的课程内容特别强调代数推理，即数与代数领域的推理。②推理通常被分为合情推理（包括归纳推理和类比推理）和演绎推理。课标研制（修订）组组长史宁中教授曾将数学的演绎推理大体分为两个部分：命题推理和运算推理。③运算推理具有鲜明的代数特征，指的是运算这种特殊的推理形式。命题推理不具有内容特征，实际上指的是一般的推理形式，也就是从一些命题（事实）出发，依据规则推出其他命题（结论），因而不仅包括演绎推理，而且包括合情推理。

运算是代数的核心，在代数教学中不会被忽视，因此只要改变“重算法，轻算理”的现象，就能加强运算推理的教学。命题在数学中普遍存在，相对而言，命题推理在几何教学中特别凸显，导致在代数教学中容易被忽视。因此，要加强代数推理的教学，重点是加强代数命题推理的教学。为此，需要系统地开发一些要求学生进行代数命题推理（证明）的教学资源（问题情境），并且引导学生总结使用代数命题推理（证明）的方法程序，规范表达代数命题推理（证明）的过程。下面，以苏科版初中数学七年级下册《11.3 不等式的性质》一课为例具体说明。

一、系统开发代数命题推理（证明）的教学资源

实际上，利用代数命题可以大大丰富推理教学的载体。但是，就现阶段而言，代数命题推理的教学资源（问题情境）开发不够、体系不全，从源头上制约了代数命题推理教学的深入开展。因此，教师首先要全面梳理代数命题推理逻辑基础（包括代数定义、代数公式、运算法则、运算律、等式的性质、不等式的性质等概念和命题），系统开发相关的教学资源。一方面，参考几何（命题）推理问题，设计要求合情推理和演绎推理、具有“猜想”“证明”“判断”“纠错”“说理”等多种表现形式的代数命题推理问题。另一方面，结合教学进程和进度，创设逐步深入（复杂）的代数命题推理问题序列。比如，在一节课上，创设从显性条件到隐性条件、从方向明确（步骤较少）到方向不明确（步骤较多）的代数命题推理问题序列。再如，从初一到初三，从多创设要求合情推理的“猜想”类问题，到多创设基于熟悉而简单的代数情境要求演绎推理的“说理”类问题，再到多创设让学生综合体会合情推理和演绎推理作用的问题，最后到多创设帮助学生掌握多步演绎推理（三段论）基本方法及表达规范的“证明”类问题。

在苏科版初中数学教材中，“不等式的性质”是在不等式、不等式的解和解集、解不等式等概念的基础上，作为解（一元一次）不等式方法步骤的依据来教学的，起着承上启下的作用。教材类比等式的性质，引导学生思考不等式的性质；通过年龄变化的情境和有理数乘法结果的比较，引导学生抽象、归纳发现不等式的性质1（“两边同时加或减”）和不等式的性质2（“两边同时乘或除以”）。然后，引导学生初步利用不等式的性质，对不等式进行适当的变形：将几个比较简单的一元一次不等式化为x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）的形式，即解不等式。

不等式的性质是代数的基本命题（基本事实），其发现过程蕴含合情推理，运用过程（并不限于解不等式）指向演绎推理。在教材设计的基础上，为了加强代数命题推理的教学，教师可以设计以下问题序列：

1．如图1，数轴上有两点A、B，对应的数分别为a、b。请分别在数轴上描出下列几组数对应的点，并比较每组两个数的大小：（1）a＋1，b＋1；（2）2a，2b；（3）-2a，-2b。由此，你发现不等式有怎样的性质？

问题1让学生在数轴上根据已知不等式a＜b，分别探索两边同时加1、两边同时乘2、两边同时乘—2之后的大小关系，感受数形结合在代数命题推理中的作用；进而由特殊到一般，通过归纳推理发现不等式的性质。这是对教材中归纳发现不等式性质的强化设计。

问题2—问题5都是不等式性质的应用。问题2让学生说出不等式的变形依据，需要学生观察分析条件不等式（推理起点）和结论不等式（推理终点）之间的关系，找到所使用的不等式的性质（推理依据），感受三段论推理的要素（起点是小前提，依据是大前提，终点是结论）及规则，为运用不等式的性质解不等式（进行同解变形）做好准备。问题3让学生直接比较两个式子的大小并说明理由，需要学生观察分析两个式子之间的关系，找出隐含的条件不等式（推理起点）—三个小题分别为—1＜0、3＞—1、—3＜1，因而增加了难度，让学生进一步感悟到三段论推理要素的重要性。问题4让学生根据条件比较两个式子的大小并说明理由，难度的增加在于需要多步推理才能完整说明（证明），具体到一步推理上，结论不等式（推理终点或者说方向）不太明确，因此，在综合法的基础上需要分析法、比较法等证明方法的辅助，能让学生初步感受代数命题证明的常用方法。问题5在形式上和问题4一样，但是，第（1）小题需要进一步用到不等式的传递性（由x＞xy、xy＞y得到x＞y）或因式分解的方法［x2—y2＝（x＋y）（x—y）］，第（2）小题需要进一步用到分类讨论的方法，因而可以作为课后思考题。

二、引导学生总结使用代数命题推理（证明）的方法程序

（命题）推理以及由多步推理组成的证明，有一些相对固定的一般方法和程序。比如，获得一个命题往往采用“先猜（归纳推理）后证（演绎推理）”（“先发现后确定”）的程序；归纳推理是在若干个例中找出共性；演绎推理则要遵循三段论的格式，由小前提和大前提共同得到结论。相比于几何（命题）推理，代数命题推理常常更容易采用“先猜后证”的程序：因为代数命题通常和数量有关，所以更容易取特殊值，从而猜测一般规律。再如，证明一个命题常常先用分析法寻找思路，再用综合法书写过程；分析法是执果索因的方法，综合法是由因导果的方法。此外，还有一种专门针對代数命题证明的方法，即比较法：因为代数命题通常表现为数量之间的相等或不等关系，所以可以通过作差或作商，判断结果与0或1的大小关系，获得关于原先数量之间大小关系的结论。教学中，需要引导学生在具体代数命题推理（证明）的过程中总结、使用这些推理（证明）的一般方法和程序。这样才能有效地培养学生可迁移的代数推理能力。

《不等式的性质》一课，上述问题1可以让学生体会归纳推理由个例找共性的方法。问题2可以让学生体会演绎推理由小前提和大前提得到结论的三段论方法。为此，还可以引入一个学生比较熟悉的几何推理，帮助学生归纳出条件（小前提）、依据（大前提）、结论三要素，同时明确依据（大前提）必须是具有一般性的代数定义或命题。问题3—问题5都可让学生经历“先猜后证”的程序，体会归纳推理和演绎推理的方法。其中，问题3是一步推理问题，主要让学生在找准条件（小前提）的基础上体会演绎推理的三要素以及正向思维的综合法（当然，也可以利用作差比较法）；问题4是多步推理问题，可以让学生在综合法的基础上体会逆向思维的分析法和寓理于算的比较法以及其中的演绎推理三要素。

以问题4的第（2）小题为例，直接用综合法难以证明，因此考虑分析法和作差比较法：

（分析法，可以改写成综合法）要证m＜m+n，根据不等式的性质2，就要证2m＜m＋

三、引导学生规范表达代数命题推理（证明）的过程

规范的表达有助于显化代数命题推理（证明）的过程，让学生充分感受和掌握代数命题推理（证明）的要素和方法。教学中，还要引导学生在了解代数命题推理（证明）的方法程序后，严谨规范地表达推理（证明）的过程。具体地，可以让学生说出各个要素，教师同步板书示范；也可让学生写出完整过程，教师组织其他学生检查各个要素及其逻辑顺序，从而纠正错误、完善不足。

《不等式的性质》一课，通过演绎推理解决问题时，可利用图2（针对一步推理）和图3（针对多步推理）所示的填空形式，引导学生规范地表达推理过程，从而固化演绎推理的三段论要素和格式。

此外，还要注意纠正、完善学生表达的不规范之处。例如，对于上述问题4的第（1）小题，有学生先猜测，继而得到2a＞ a＋3，然后得到a＞3，发现与所给的条件一致，从而认为已经解答了这一小题。对此，教师可以指出：这只是大致的分析思路，不是规范的通过代数命题推理解答问题的过程；我们应该明确哪个是条件、哪个是结论、依据是什么，然后按照上述规范的格式表达解答问题的过程。再如，对于问题4的第（2）小题，m+n在用作差比较法解答时，有学生由。对此，教师指，直接得到出：这里，从条件到结论没有合适的依据，跳过了好几步—首先要得到，而这需要利用m＜n这个条件和不等式的性质1、性质2这两个依据进行两步推理。

最后需要指出的是，限于学生的基础和能力，在初中进行代数命题推理的教学需要控制好难度：一般地，应该放慢教学节奏，分散教学难点；尤其是，应该控制相关问题的推理步数，实践证明，三步（如上述问题4、问题5）之内较为适宜。还要注意协调好教学目标，搞清楚是以代数命题推理内容的掌握或感悟（能力的培养）为主要目标，还是以作為载体的代数知识的掌握或相关的思想方法的感悟为目标（将代数命题推理作为手段）。不难发现，上述课例设计的代数命题推理目标还是比较鲜明的。