初中运算推理教学初探

夏乾冬 陶家友

摘要：要加强代数推理的教学，首先要落实运算推理的教学。为此，教师要引导学生在运算的整个过程中充分关注推理的元素。具体而言，要明晰运算对象，选择运算律和运算法则;依据运算律和运算法则，形成运算方法;调整推理路径，优化运算方法。

关键词：初中数学;运算推理;运算对象﹔运算方法

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）要求加强代数推理的教学，尤其是要加强初中代数中演绎推理的教学。究其原因，数与式的运算（变形）主要表现出程序化操作的特征（而没有表达为“因为……所以……”的推理形式），而且是代数的核心内容。这就容易导致师生在熟练的操作中忘记运算本质上就是推理（从已知的数或式出发，依据运算法则和运算律，形成运算过程，获得运算结果的演绎推理），并且忽视运算以外代数内容中的推理。由此，代数推理可分为运算推理和命题推理：前者更具有代数的特殊性，后者更接近推理的一般性。因此，要加强代数推理的教学，首先要落实运算推理的教学，让运算思维可见。

运算是一种复杂的认知活动，一般包括明晰运算对象、形成运算方法、优化运算方法等环节。在整个过程中，教师要引导学生充分关注推理的元素，以落实运算推理的教学。

一、明晰运算对象，选择运算律和运算法则

相比于小学阶段，初中阶段数学运算的一个显著特征是运算对象的拓展，从自然数、正分数（包括正小数）拓展到有理数、实数，从数拓展到代数式（当然，运算也从加、减、乘、除拓展到乘方、开方）。在运算对象拓展的过程中，运算律保持不变，从而得到相应的运算法则，并且实现从数的特殊运算结果向式的一般运算规律的提升。所以在运算过程中，教师首先要引导学生明晰運算对象，从而选择合适的运算律和运算法则作为算理依据，为通过推理形成运算方法做好准备。

例1 计算：（1）—3＋5；（2）（-1）100x5+（-4）÷2; 3

教学中，可以引导学生思考：这几个式子的运算对象分别是什么？应该依据什么进行运算？从而发现：（1）的运算对象是—3和5，运算是加法，根据运算对象的特征，可以依据异号两数相加的法则进行运算；（2）的运算对象有—1、100、5、—4、2，运算有乘方、乘法、除法以及加法，因此可以依据乘方的意义、有理数的乘法法则和除法法则以及加法法则进行运算（当然，因为是多步运算，一般规定的运算顺序也是重要的运算依据，并且前一步的运算结果会成为下一步的运算对象）；（3）的运算对象是两个分式，运算是减法，因此可以依据异分母分式相减的法则以及分式的基本性质进行运算。

二、依据运算律和运算法则，形成运算方法

要想得到运算结果，需要通过一定的运算方法（怎样算），展开相应的运算过程。而运算方法不是凭空产生的，不是“想当然”的结果，需要基于一定的运算道理（为什么这样算）产生，也就是依据运算律和运算法则推理形成。正如课标研制（修订）组组长史宁中教授谈到代数推理时指出的：“算律决定算理，算理决定算法，这个思想非常重要。”①所以在运算过程中，教师还要引导学生依据运算律和运算法则形成运算方法，即在明晰算理的基础上掌握算法—这是落实运算推理教学的关键。

例2 计算：（1）（3＋22）2；

（2）（-2a2）3+a·a。

教学中，可以引导学生利用内容结构图呈现思维过程，依据每一步的算理得到每一步的算法，展开运算推理，分别如图1、下页图2所示。

此外，还可以引导学生在横式书写中添加每一步的依据（理由），第（1）小题的添加过程省略，第（2）小题的添加过程如下：

这样做，可避免学生跳步计算，增加运算的准确性。比如，第（1）小题的计算中很容易出现由完全平方公式认识不清导致的（3＋22）2＝3＋8的错误，第（2）小题的计算中很容易出现由积的乘方法则认识不清导致的（—2a2）3＝—2a6的错误］。而且，可让学生充分感受运算推理的严谨性，养成言之有据（有理）的习惯。

三、调整推理路径，优化运算方法

基于运算对象，依据运算律和运算法则展开运算的方法通常不唯一，即具有一定的灵活性。运算方法的选择不仅会影响运算的正确率，而且关系到数学知识结构和表征关系的理解。所以在运算过程中，特别是在依据运算法则按部就班地得到运算结果后，教师要引导学生寻找不同的运算依据（包括运算公式）及对象表征（比如几何表征），从而调整推理路径，优化运算方法。

例3 计算：

对于第（1）小题，学生通常会依据有理数、正分数加减运算法则和乘法运算法则，按运算顺序完成各步运算，得到最终结果。教学中，教师可以引导学生依据乘法对加法的分配律优化运算方法：先做分数乘整数运算，再做整数加减法运算。

对于第（2）小题，学生通常会依据乘方、开方的意义和小数、整数乘法、减法的运算法则，按运算顺序完成各步运算。但是，算出12.52—102＝56.25比较烦琐，得到56.25＝7.52比较困难。教学中，教师可以引导学生再依据平方差公式和积的乘方法则优化运算方法：因为12.52—102＝（12.5＋10）x（12.5-10）=22.5x2.5=225x0.25=152x0.52 ＝（15x0.5）2＝（7.5）2，所以12.52—102＝7.5。此外，还可以引导学生通过几何表征，依据勾股定理和图形的放缩来优化运算方法：12.52—102表示斜边长为12.5、一条直角边长为10的直角三角形的另一条直角边长（如图3所示），该直角三角形边长缩小2.5倍后是斜边长为5、一条直角边长为4的直角三角形，显然其另一条直角边长为3，于是缩小前直角三角形的另一条直角边长为7.5，所以、12.52—102＝7.5。