概率与二项式定理的交会应用

路海莲

(山东省梁山现代高级中学)

在高考数学中，概率与二项式定理的交会应用问题是实际应用问题中的一大创新热点，其背景新颖，综合性、应用性强，运算量大，技巧性强.此类问题合理将二项式定理融入概率问题之中，用来破解概率问题中的最值、比较大小、证明不等式等相关问题，突出了数学不同知识之间的相互联系与应用，有利于培养学生综合运用知识解题的能力.

1 最值问题

例1为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)，阶梯级别如表1所示.

表1

某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表(如表2).

表2

(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某户居民用电410度时应交的电费;

(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与数学期望;

(3)以表2中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值.

思维导引:

分析(1)利用题目条件通过分段函数求解阶梯电价的电费问题;(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，根据题目条件确定对应变量的可能取值，利用组合数公式分别求解对应的概率，得到相应的分布列，并求解相应的数学期望;(3)利用独立重复试验建立对应的概率公式，通过不等式组的建立和求解确定参数k的值.

解(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元).

(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可能的取值为0，1，2，3，有

故ξ的分布列如表3所示.

表3

(3)设从全市中抽取10户，其中用电量为第一阶梯的有X户，则可知P(X＝k)＝由

点评利用题目中概率最值的相关条件以及独立重复试验公式合理建立所对应的方程组，这是破解问题的关键所在.通过相应的二项式定理的展开与应用，利用组合数公式与性质进行转化，为求解概率中的相关最值问题提供运算基础.总之，解题时要善于合理化简，巧妙转化.

2 比较大小

例2甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局，根据以往比赛胜负的情况，可知每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为P(n).

(1)求P(2)与P(3)的值;

(2)试比较P(n)与P(n＋1)的大小，并证明你的结论.

思维导引:

分析(1)P(2)表示甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，结合独立重复试验可求解相应的概率，同理可求出P(3)的值;(2)根据独立重复试验求解P(n)的表达式，同理可确定P(n＋1)的表达式，通过作商进行比值运算，再应用二项式定理比较大小即可.

解(1)若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以

同理，有

(2)在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n＋1，故

又因为

点评

涉及独立重复试验中概率、数学期望、方差等问题的大小比较，经常要先利用二项式定理和有关公式进行合理运算.通过二项式定理的变形与转化，化简P(n)的表达式，利用作差比较法或作商比较法，并结合组合数公式与性质进行适当放缩，从而得以解决比较大小关系问题.总之，合理运算，巧妙转化是解题的关键.

3 证明不等式

例3已知一个口袋中有m个白球和n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为1，2，3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1，2，3，…，m＋n).

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;

(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，求证:

思维导引:

分析(1)结合组合数，利用等可能事件的概率确定编号为2的抽屉内放的是黑球的概率;(2)先确定最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数所对应的随机变量X的概率分布，再结合数学期望公式加以运算，最后利用二项式定理、组合数公式与性质进行适当放缩，从而证明对应的不等式成立.

解(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为

(2)随机变量X的概率分布如表4所示.

表4

随机变量X的数学期望为

所以

点评

在分析或证明概率中对应的不等式问题时，经常通过概率、数学期望、方差，建立相应的函数关系式，再应用二项式定理，借助组合数公式或性质的变形与运算，最后联系条件与结论合理推理与论证，从而所求问题得以分析、求解或证明.

4 变式练习

变式某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由A，B两个系统组成，其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成.各个电子元件能够正常工作的概率均为p(0＜p＜1)，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修.

(2)当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测.从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统?

解析

(1)A系统需要维修的概率为

B系统需要维修的概率为

设X为该电子产品需要维修的系统个数，则

则ξ的分布列如表5所示.

表5

(2)A系统3个元件至少有2个正常工作的概率为PA＝C23·p2·(1－p)＋p3＝－2p3＋3p2，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率为

则

由于0＜p＜1，令f(p)＞0，解得所以，当时，B系统比A系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测A系统;当时，A系统比B系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测B系统;当时，A系统与B系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，A，B系统检测不分次序.

借助概率与二项式定理的交会，巧妙在概率问题中利用二项式定理加以运算与应用，往往需利用概率问题求出概率或数学期望关于n的表达式，借助二项式定理合并、化简，再利用组合数的性质加以分析与转化，从而得以破解相应的概率问题.此类交会问题很好地诠释了概率的实际应用，从而有效考查创新应用与实际应用能力，提升数学能力，培养数学核心素养.