生长性教学：数学教学的智性实践

沈永万

[摘    要]生长性教学以“生长”为起点、以“生长”为路径、以“生长”为策略。在小学数学生长性教学中，教师要把握好知识生长的序，让数学从“原始形态”走向“学术形态”;要把握好儿童生长的序，让儿童的认知心理从“不平衡”走向“平衡”;要把握好学生学习的序，让学生的数学学习从“低阶”走向“高阶”。“生长”对于学生的数学学习来说，不仅仅是一种学习形态，更应当是一种自觉的学习价值追求。

[关键词]小学数学;生长性数学;智性实践

“生长”这一术语原本是一个生物学、生态学的术语，表征着“生物由小到大的一个变化”。“教育是农业”已经得到广泛认同。究其根本在于，农业往往遵循生物的成长节律，而不是像工业那样将对象放置到一个固化流程中进行一统化、机械化的加工。生长性的数学教学，隐喻了学生数学学习之道，即对学生认知心理特质的尊崇，对数学学科本质关联的遵奉，对学习规律的遵守。生长性的数学教学，是数学教学的一种智性实践。

一、生长性数学：从“原始形态”走向“学术形态”

教材中的知识一般的而言是一种“学术形态”的知识。这种知识往往是被编者“压缩”过的，它遮蔽了人类探索数学知识的“关键步子”和“艰辛历程”。如果教师在教学中着眼于教材中的“学术形态”的知识，学生就会感到知识学习的枯燥、抽象、乏味。如果教师在教学中，对教材中“压缩形态”的知识“解压缩”，将“学术形态”的知识转化为“教育形态”的知识，甚至转化成“生命形态”的知识，学生能就感受、体验到数学知识的魅力。将“学术形态”的数学知识转化成“教育形态”或“生命形态”的数学知识，关键就是要从数学知识的“原始形态”开始，让学生经历数学的猜想、验证、探究等的活动过程。这个过程就是一种数学化的过程，也就是将“原始形态”的数学知识抽象化、形式化、公理化，进而让学生将“原始形态”的知识提升为“学术形态”的知识。

生长，在数学教学有三层含义：一是“数学知识是生长性的”;二是“学生的生命是生长性的”;三是“学习是生长性的”。生长性的数学教学，就是要实现数学、儿童、学习的同步生长、同构共生。从知识的“原始形态”走向“学术形态”，就意味着数学知识获得一种生长。为此，教师在数学教学中要将数学知识充分地打开，引导学生充分地经历，引导学生充分地感受、体验。比如教学“用字母表示数”一课时（人教版五年级上册），教师就要引导学生经历人类探索用字母表示数的光辉历程，从“文辞代数”到“缩略代数”、从“缩略代数”到“符号代数”，学生能感受、体验到数学知识的生长。同时，只有当学生经历了这一学习过程，学生才能真正地认识符号，认识“用字母表示数”的意义和价值，即“用字母表示数”不是简单地“用字母代替数”，而是一种符号化过程。“字母”不仅可以表示未知数，还可以表示已知数;“字母”不仅可以表示特定的数，而且可以表示变化的数。引导学生从数学知识的原始形态开始，过渡、发展、提升到学术形态，有助于学生掌握数学知识的本质。在上述教学中，学生经历了符号化的学习过程之后，就能积极主动地用字母来表示数、数量关系计算公式、运算规律等。

生长性的数学，揭示了数学知识的根本属性，揭示了数学学科、数学科学的根本属性，即“数学不是静态的，而是动态的、发展的、可误的”。这种“可误主义”的数学生长观，将数学知识不再看成“无可争辩的真理集合”，而是看作一种尝试的、创新的、动态的生长、生成过程。基于这样的生长性的数学观，教师在教学中就会引导学生探索，经历数学知识的生成、生长、生发过程。

二、生长性数学：从“不平衡形态”走向“平衡形态”

生长性数学教学观认为，数学是生长性的，儿童是生长性的。要让生长性的数学教学取得实效，应当让教学不断地切入学生数学学习的“最近发展区”，进而让学生经由“现实发展区”迈向“可能发展区”，让学生的数学学习由“现实水平”迈向“可能水平”。为此，教师在生长性的数学教学中，不仅要遵循数学学科知识形成的规律，更要遵循学生的认知发展规律。实施生长性的数学教学，就是要让学生的认知心理从“不平衡”走向“平衡”，进而又从“平衡”走向新的“不平衡”。在这个过程中，学生的认知心理获得一种螺旋式的发展，学生的数学学习生命也获得一种螺旋式的发展！

促进学生的认知心理在生长性的数学教学中获得发展，首先应当尊崇学生的天性，要深度研究学生的认知心理。一般来说，小学生的认知心理是以直观动作、具体形象思维为主，向抽象逻辑发展的一个过程。如果教师在教学中不遵循以学生的认知心理发展，将会培育出“年纪轻轻的博士”和“老态龙钟的儿童”（卢梭语）。研究学生的认知心理，具体来说，有两个层面：一是学生的普遍性的年龄、心理特征等;二是学生的个体化的具体学情等。首先应当顺应学生的天性。在生长性语文教学中，教师不仅要研究语文学科知识，更要研究学生的学习心理，研究学生的语文学习心理。一般来说有两个层面：其一是研究学生语文学习的普遍的年龄、心理特征;其二是研究学生语文学习的具体的学情。比如教学“平行四边形的面积”（人教版五年级上册）这一部分内容，很多学生由于在日常生活中看到易变形的平行四边形被推拉成长方形，或者长方形被推拉成平行四边形，因而就认为“平行四边形的面积等于底乘斜边”。为了让学生从这样的迷思中走出来，笔者在教学中没有直接对学生的认知错误进行纠错，而是让学生借助于“方格纸”这一学具，对自我的猜想进行验证。在生长性的数学学习中，学生完成了自我否定，深刻认识到“平行四边形的面积之所以不能用底（长）乘斜边（宽），是因为在推拉的过程中面积发生了变化”。在此基础上，学生不断地提出新的假设，并借助于方格纸对平行四边形进行“剪、拼、移”，猜想并验证了“平行四边形的面积等于底乘高”的计算方法。通过生长性的数学教学，促成了学生数学认知的自我转变。

学生的认知心理是学生生长性学习的基石。作为教师，在生长性数学教学中，不能无视学生的认知心理，更不能僭越学生的认知心理。而应当对接学生认知的常态、认知的原态、认知动态等。在了解、把握学生认知心理基础上，以学生的现有认知心理为前提，促成学生认知心理的积极转变。

三、生长性学习：从“低阶形态”走向“高阶形态”

数学是生长性的，学生的认知心理是生长性的，学生的学习方式等也是生长性的。生长性的数学教学，要着力于引导学生的学习进阶，让学生的数学学习从“低阶”迈向“高阶”。低阶的数学学习，往往就是知识、理解和应用，而高阶认知则包括分析、综合与评价等。在生长性数学教学中，教师要促成学生的学习转变，即从传统的认知性学习转向高阶的分析性、综合性和评价性的学习。这样的一种学习方式，不仅仅依靠学生的认知，还依靠学生的元认知能力的发展。

生长性的教育学是一种教育哲学。在生长性教学中，教師要为学生的学习从低阶迈向高阶搭建好阶梯。要通过引导学生的学习，开启学生的智性、悟性、灵性，促进了学生的学习在“学的过程”中获得生长。作为教师，要引导学生自主学、自能学、自奋学，引导学生对自我的学习进行反思、审视，让学生对自我的学习进行总结、评价等，这就是一种高阶的学习。高阶的学习，就是要让教师从“教”走向“不教”，让学生从“导学”走向“自学”。比如教学“多边形的面积”（人教版五年级上册）之后，学生对这一单元的内容进行主动地梳理、归纳、小结。他们积极地内省、自问，诸如“多边形面积的面积公式是怎样推导出来的”“这些面积公式中哪些是基础公式，哪些是导出公式”“从公式的推导过程来看，哪一个公式发挥的作用比较大”“怎样整理这些公式的推导过程”，等等。正是在对已有知识进行分析、综合与评价的过程中，学生的认知从低阶走向了高阶，因而学生的数学学习就从肤浅走向了深刻。

生长性的数学学习，要求教师在教学中要适度“放手”，而不能“牵”得太多。生长性的教学以“生长”为起点、以“生长”为路径、以“生长”为策略。教学中，教师把握好数学知识生长的序，把握好学生学习心理的序，把握好学生数学学习的序，引导学生认知、创造，促进学生数学学习的不断生长。“生长”对于学生的数学学习来说，不仅仅是一种学习形态，更应当是一种自觉的学习价值追求。

参考文献：

[1]李震.生命化课堂的价值、内涵和实践样态[J].中国教育科学，2015（4）：135-163.

[2]王定功.生命课堂的基本特征和建构路径[J].教育研究，2015（10）： 111-118.

（责任编辑：姜波）