高中数学课堂中突破学生思维障碍的案例研究

黄海明

《新课程标准》指出：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”首先，数学思维的要求就是体验观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，培养合情推理能力和初阶的演绎能力，会有系统地、清晰地说明自己的见解。其次，教和学是有机统一的教学过程。然而，在实际的数学课堂学习中，高中生经常会遇到各种思维障碍。由于教师的指导不到位、使用方法不恰当，对学生思维能力的培养形成了消极影响。因此，教师在教学过程中可否协助学生扫清思维障碍，对于培养学生的思维能力和思维品质尤为重要。

一、案例分析——课堂思维障碍的成因

（一）以教师思维代替学生思维而忘却学生思考的存在

案例1——不等式习题课的讲解片段。在不等式的习题课上，教师出了这样一道题目：已知，求的取值范围。

首先，让学生独立完成解题过程，然后进行师生互动过程，让学生将解题过程书写在黑板上，结果有学生先分别求出，的范围，再求出的范围。教师随即指出这是个典型的错误，不能把，的范围单列开来，必须整体考虑。

于是，教师给出其解法过程：

设，

所以，（1），（2），

由（1）+（2）得。

此时，有一学生发出疑问：“我先求出的取值范围，得到的答案也是一样啊！”可是，教师因为还有几道练习题没讲，他断定学生肯定是算错了，认为如果把，的范围单列开来，必定造成范围的扩大，于是马上回答：“不行，一定要作为一个整体来算，就算答案一样那可能是一个偶然的巧合，别的题目就没这么巧了。”于是，学生没作声。课后，学生展示他的解法，教师这时候在惊诧学生解法的同时，才意识到自己没有讲好这道题。

在日常教学过程中，有些教师以自己的解法作为解题的唯一方法，迫使学生产生了定势思维。教师把应该学生思考的环节却草率跳过，那么学生又有什么机会思考呢？仅仅因有少数学生知道教师的答案就可以代表他们中的大多数人知道问题的原因？教师似乎已经“不耐烦”地等着自己提出问题后学生做出错误答案，这样就可以“名正言顺”地给出正确的答案，而忘记了教育的目的是让学生理解和思考。由于定势思维的影响，许多学生在遇到新问题时不能作出灵活反映，且常常陷入僵化状，甚至造成歪曲的认识。其实，由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点。因此，不同的学生对于同一问题的认识、感受也不会完全相同。由此可见，学生一旦形成了思维障碍，不仅会影响学生数学思维的进一步发展，而且不利于学生解决一般的数学问题。

（二）数学教学中以数学操作代替数学理解

案例2——圆锥曲线复习课讲解片段。在进行圆锥曲线复习中，教师在课上展示了这样一道例题：已知椭圆方程，设O为原点，F为椭圆的右焦点，直线l：x=2，直线l上的动点M点，过点F作OM的垂线和以OM为直径的圆，交于点N，试证线段ON的长是定值。

教师在直接对例题进行讲解的时候给出的做法是：

設动点，当时，。

当时，设直线OM交直线NF于H。

因为OM为直径，所以ON⊥NM，又NF⊥OM，由射影定理有ON2=OH·OM，所以直线OM：，直线NF：，

所以， 。

综上所述，为定值。

这个解法中，教师强调了圆的问题要注意几何性质的应用。讲解完后有学生提出这样的问题：“老师，我解题时，从代数角度求解，解题过程是：

以OM为直径的圆方程为x（x-2）+y（y-y0）=0，

直线NF为，

联立，想解出N的坐标，可解不出来，能这样做下去吗？”

教师发现要解出点N的坐标很困难，于是说：“就是因为代数解法计算太困难，我们才提出用几何性质来解决，你就从几何性质的角度考虑，不用再去计算了。”

在日常教学过程中，有些教师直接讲解解题的解法，并不讲解“数学理解”本身。这种形式的教学是一种“数学操作”教学，不是真正意义上的教学。真正意义上的教学是具有生成性的，没有生成性的教学至多是一种机械式的“操练”。不可否认，数学教学首先要掌握数学知识，但知识却不是通过反复操练这一途径才能掌握的。更重要的是，数学是思而至知的学问，它的学习和掌握需要理解，没有理解的实践不能从真正意义上获得数学知识。如果教师能和学生一起探究的话，不仅解决了学生的问题，还能使学生的认识得到升华，思想得到飞跃，从而突破思维障碍。

二、突破课堂思维障碍的建议

（一）促进课堂教学的有效性，避免数学课堂上出现形式化教学

1.让学生成为课堂教学的主体，鼓励不同层次的学生“说出来”

形式化的教学会令学生产生思维定势。倘若一道数学题从分析题意、写出过程到得出结果，全部由教师一手包办，长此以往，就会让学生的思维变得“迟钝”，导致学生养成一种只听教师讲，而不去主动学的被动学习习惯。思维定势多数情况下对于掌握新知识有立竿见影的效果。但思维定势一旦形成，又是十分顽固的，从而成为阻碍学生发展思维的“拦路虎”。作为教师，我们要明白学生是课堂教学的主体，他们有自己的思想和主见，我们不能把自己的一切都强加给学生，应该多给他们一些机会去说出自己的想法，这样他们才会有所提高。我们应该正视学生的观点，哪怕学生说出的观点是错误的，教师也不能随便批评，应该给予肯定的评价，这样才不会打消学生的积极性，才会有更多的学生愿意参与进来。

案例3——立体几何的习题课讲解片段。建造民房时为了屋顶能够排泄积水，一般有如图1三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3。屋顶斜面与水平面所成的角都是α，如图所示。请比较各个屋顶的面积的大小。

正当大多数学生在冥思苦想的时候，有个平时数学成绩不起眼的学生不好意思地说：“我认为是一样的，农民建房子是能省就省，要是面积不一样大小，他们肯定选择用料最少的。”他刚说完，全班就沸腾了。这时，教师对他的回答给予了肯定的答复，并要求他再思考如何用学过的知识来证明他的说法。虽然该生最后是在大家的协助下完成了题目的推导，但是在接下来的数学课上他都表现得非常积极，学习兴趣也不断地提高。

教师对待学生回答的态度会给学生不同心理反应。有时候，学生的思想没有局限在课堂上，而是突发奇想。在这种情况下，教师应对学生回答的合理性给予肯定，使学生敢于向教师表述自己的想法，使学生感受到教师对其的接纳与激励，从而激发他继续深入剖析问题的欲望。每一个学生都渴望成功，这种渴望将形成一种强大的求知力量。教师要注重学生个体发展的需要，为不同思维层次的学生提供机会，这样他们才能获得成功、领悟成功，分享成功所带来的快乐。这也促进了学生在数学课堂上思维能力的发展。

2.教学是师生的双边活动，引导学生从多角度去思考问题

在平常的教学活动中，教师应注意引导学生从多角度去思考问题，寻求不同的解题途径，这就是我们常说的“一题多解”。课堂教学是师生双边的活动，并不是教师讲的方法就一定是最好的，有时候学生活跃的思维会给我们带来意想不到的效果。笔者就经常遇到有些学生与课堂教授的解题方法不同，而提出自己对题目的理解和解法的情况。这时候，教师就要抓住学生有疑点的契机，不要轻易放过，引导学生思考，可以创设诸如此类的问题：“你是怎么想的？”“你是怎么知道的？”“你为什么做出这样的选择？”“是否还有更好的解题途径？”“这些知识（或问题）之间有何联系？”……这样的提问会更人性化，也会让师生关系更和谐融洽。教师通过启迪学生思考、提出自己的独特见解，并适时表扬与鼓励学生，尤其是对没有学习兴趣的和学习有困难的学生，给予他们正面的评价与肯定，就能充分引发学生的求知热情。同时也能深入到事物的本质，问题就解决得更彻底。

案例4——高三解析几何的复习课片段。笔者在高三解析几何的复习课上讲解了一道练习题：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率e=，椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值是3。①求椭圆C的方程;②在椭圆C上，存不存在点M（m，n），使得圆O：x2+y2=1与直线l：mx+ny=1相交于不同的两点A、B，使△OAB有最大面积？如果不存在，请解释原因;如果存在，求出点M的坐标和之对应的△OAB的面积。

当时，笔者给出了第②小题一个常规的解题过程：设O到AB的距离为d，则，.当且仅当，即m2+n2=2取等号，又，此时点.综上所述，椭圆上存在四个点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且的面积最大，且△OAB最大值为 。

刚讲完这种解法，就有学生提出他有不同的方法，笔者将其解题过程投影出来：△OAB中当且仅当时，S△OAB有最大值;时，点O到直线AB的距离为又。

学生发现还有这种更简洁的解法时，一下子兴奋起来。于是，笔者趁机让学生比较两种解法的不同之处，也引导他们从多角度去思考题目。

一题多解的教学方法不仅可以充分调动学生学习数学的积极性，还可以锻炼学生思维的灵活性，有效增强学生综合能力的提升。学生是教学活动中最有活力的资源，教师应充分挖掘学生的內在潜能，让学生去做学习的主人。在新课标下，教师是课堂活动的组织者、参与者和策划者，要遵循教学目标的要求科学有效地计划和组织教学活动和内容。教师不仅要在课堂上下苦功，还要努力设立条件让学生在思考中完善自己的认知结构。遇到困难，不应随便放过，教师应该把握机会，启发学生思考，使学生的思维真正地“活”起来。教师在数学的课堂教学中可以有意设疑，训练学生的探索思维。

可见，教师应该积极更新理念，改变教学手段，持续深入地学习专业及相关知识技能，培养自己的认知能力、教学反思能力，从而在课堂上不再仅仅局限于知识的传授，而是更要注重发展学生的思维习惯和思维方法。

（二）创设探索性的教学情境，激发学生的兴趣与求知欲

《数学课程标准》指出的一个重要理念就是为学生提供“做”数学、“玩”数学的机会。学生有了兴趣，就会有积极的求知欲。在教学中，教师要持续地创造问题情境，唤起学生的学习热情，不断发现问题和提出问题，达到发展数学思维能力的目的。当然，在进行课堂教学之前，教师必须了解学生的基础知识状况，按照学生认知发展的特点，兼顾到学生认知水平的个体差异，注重学生的主体意识。

案例5——“双曲线性质研究教学”概述。第一步是教师提出问题：“请大家回忆前几节课我们研究过什么圆锥曲线？分别从什么方面进行研究的？这几天我们都在研究双曲线，能否启发我们应该研究哪些方面的内容呢？”三个问题由几个学习小组的学生代表分别作出回答，并允许其他学生提出怀疑和添补。通过问答，学生全面复习了椭圆的性质和研究方法，避免了结论重于过程的倾向，本堂课的学习任务依照椭圆的研究顺序自主确定。

第二步是研究双曲线的几何性质：根据椭圆性质的研究经验，教师引导学生类比地想到运用研究椭圆的方法来研究双曲线的几何性质。教师又提出如下要求：“1.不要看教科书，自己研究;2.各学生分别在小组内部交流研究结果;3.请各组代表发表研究成果，从而让全班学生获得了双曲线的顶点、范围、离心率、对称性等知识。”

第三步，教师又提出问题：“我们可以很清楚地看到双曲线的两个分支被无限地延展到坐标轴的左、右、上、下。那么，怎样能更准确地描述这种延展的发展趋势呢？扩展过程中可以无限接近哪条直线？请学生讨论解决后，与教科书进行核对。”围绕着教师的提问，学生分组展开激烈的议论，最后推出了双曲线的渐近线方程。

第四步，教师从各组抽一名学生，由教师指定问题的相关性质，根据双曲线的性质，每人设计一道练习题。最后由师生集体评价：先学生，后教师，包括评价题解的正确与否、问题设计的优劣、改进设计方案等。

在这样的课堂中，学生既独立思考，又相互协作，学习兴趣和求知欲被不断激活，极大程度地挖掘了学生数学思维能力发展的潜力。

因此，教师可创设有特色的教学情境，设立有探究性的问题，在问题的探索性教学中培养学生敢于求异、勇于创新的气魄，进而激发学生积极健康的创新情感和自主探索的个性品质，挖掘学生对数学知识的理解能力、分析综合能力、运用数学知识解决问题的能力，使学生能够突破数学思维发展的障碍，为学生数学思维的升华奠定基础。

（三）精心设计教学过程，鼓励学生积极参与探究，开发思维潜力

动手操作是思维的基础。苏霍姆林斯基说：“手使脑得到发展，使它更加明智;脑使手得到发展，使它变成创造的聪明的工具。”教师应让学生在动手操作中开发数学思维的潜力。

案例6——圆锥曲线中椭圆、双曲线的定义探究。椭圆、双曲线的定义描述很接近，学生在学习的过程中容易混淆。于是，教师将其概念的形成过程作为一个探究性问题，让学生自己用细绳、铅笔和拉链以桌面为平面自行摆放，在移动过程中构成线段长度之和不变与长度之差不变的轨迹形成模型，然后在教师的引导之下观察、猜想，在与同桌的探讨中发现椭圆和双曲线的轨迹形成特点，从而找出两者的相似之处与区别。这样，既融入了学生的自主活动，又发挥了教师的主导作用，也符合了以学生为主体的教学思想。而学生对椭圆、双曲线的定义进行猜想和实验的过程对于他们来说就是一种创新的过程，他们正在体验一种新的知识带来的新的思维激发。学生不但可以发现一个新的知识点，还可得到一种创造性的成果。

因此，开展创新教育，首先应该将教师教授知识点给学生的方式转变成尽量引导学生，让他们自己去发现新的知识点，从而尽可能地发挥学生的主观能动性。课堂教学中，要创设学习数学的情景，激发学生学习数学的情感。如果学生可以在上课时间亲自做实验，就给他们机会。学生一般喜欢观察，喜欢发现，喜欢分析，所以学生对数学知识的浓厚兴趣和感性认知，可以通过实验的探究达到理性的认知。同时，在解决问题和合作情感的交流过程中，形象思维与抽象思维能够协同作用，相互渗透，协同发展。

（四）课堂上要重视数学思想方法的教学

数学思想方法是中学数学的一项基础知识。数学不仅教会了学生思考，还教会了他们思想和方法。学习基本的数学思想和方法可以帮助学生理解和记忆数学。知识是思想方法的载体，数学问题是在数学思想指导下运用知识和方法“加工”的对象。因此，在课堂上要重视数学思想方法的教学，提高数学意识。在高中数学教学中若多加强数学思想方法的培养，那么学生将很快找到问题的关键信息及解决问题的有效途径。

笔者曾经听过两位教师的课，受益良多，印象颇深。第一位教师讲的是《对数函数及其性质》这节新授课。教师在循序渐进、循循善诱的授课过程中通过指数、对数函数的比较，引入对数函数的概念，体现了类比推理的思想方法。这对学生学习接下来的知识，如数列等起了很好的思想铺垫作用。另一位教师上的是高三的函数练习评讲课。在他的课堂上思维跳跃程度较大，融入了分类讨论、数形结合、方程与函数等多种数学思想方法，它就像一场丰富的数学盛宴，使学生感受到数学的魅力。两节课是两种不同教学风格的体现，但他们都有沁浸数学思想方法，通过他们娴熟的教学技能和独到的教学风格，引领学生在数学思维的殿堂中翱翔。

另外，要想获得数学思想方法，一方面要在课中有机渗透，另一方面还要依托学生反思领悟。教师要鼓励学生自发地审验他们的思想活动，思考他们是如何发现与解决问题的，怎样运用基本的数学方法和解决问题的技能。如此，数学思维方法才能得到进一步的理解。

三、结语

在新课标理念的要求下，对于高中数学的课堂教学，对教师提出了更高的要求，而学生在学习数学过程中也会产生这样或那样的思维障碍。但只要我们在教学实践中能以生为本，从实际出发，运用积极合作、自主探究的学习方式，充分地预见并及早采取有效的教学措施，有针对性地开展课堂教学，以培养学生的思维发展为已任，就能帮助学生突破思维障碍，激发学生思想的火花，优化学生思维的品质。

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责任编辑  陈红兵