根据引力波理论推导万有引力公式及其意义

摘 要：本文从引力波性质的途径推导出牛顿万有引力公式;及对万有引力进行一定的现代逻辑分析;尤其与引力波推导过程相关联，轻易理解出了对6个知识的理论认知——空间两个物体都互自吸引对方，互自吸引对方的引力大小相等，引力波是物体间形成引力的直接唯一关联，引力常数或公式可否修改的新视角分析，关于引力波强度等数据换算，城市居民获得的森林保健效益大小与距离城市森林公园远近的函数关系等。

关键词：引力波;推导万有引力公式;逻辑悖论;关联意义;森林保健效益辐射

萬有引力定律以其不可撼动的科学地位奠定了天文学基础，现在若从引力波的角度推导万有引力公式，则使牛顿时代当初与引力相关联的一些复杂问题能得到简洁而清晰地证明，而对其他学科的认识也或有一定的启示。

1 根据引力波推导万有引力公式

广义相对论预言物体间的引力通过引力波发生[1]。2015—2016年LIGO科学合作组织（美国加州理工学院和麻省理工学院的合作实验室）两次探测到了宇宙的引力波，从而使相对论预言之一的引力波假说得到实证。

也就是超距的两个M和m的物体（多个物体也同理）各自发射引力波，通过自身发射的引力波互自吸引对方。即，引力=M发射的波对m物体的作用+m发射的波对M物体的作用，而不是两个物体发射的引力波相遇后发生勾连互拽构成引力，因为波的叠加原理是介质中同时存在几列波时，每列波能保持各自的传播规律而不互相干扰。那么物体M以重心为波源中心向外扩展产生圆形波，到达距离R的物体m重心处的球形波面波强度（即引力场强度）大小与M对m的引力大小成正比[2]，也与m质量的大小成正比，而M扩展到m处的波强度与M的质量成正比，与以M重心为球心到达m重心处的球面面积成反比。可以认定M重心处波强度为kM（k为由质量换算为波强度的一个常数）。

从以上可以看出，引力与距离的平方成反比的正确结果是从波的角度推导的;若草率地臆想从体积扩散与距离的关系思考，则会得出引力以距离的立方成反比递减的错误结果。

2 关于牛顿对万有引力公式的推导

牛顿根据开普勒第一定律、第二定律、第三定律的天体运行规律、胡克等发现万有引力及引力与距离的平方成反比规律、牛顿第一定律、第二定律、第三定律、尤其牛顿为归纳万有引力规律以划时代的天才而创造了他形象地称之为“流数术”的数学方法，并基于天体运行的离心力大小等于引力，经过复杂的精确推演导出了万有引力公式。

在那还未发现引力波的时代，完全依靠观测数据推导出了公式，是以观测数据为牢固基础得出了不可动摇的定律。而现在以引力波规律推导万有引力公式，则推导方法跟库仑定律公式推导一样超乎简单。当然应用引力波的推导方法不能代替牛顿的方法，因为没有牛顿时代对万有引力的伟大发现，相对论也不一定能预言引力波，也就更不一定有近年对引力波的探测。

现在网络上有一些万有引力公式的其他推导方法，总体上是简单地按行星围绕恒星以圆周轨迹运行，以所谓近似代替椭圆轨迹为出发点，应用代数方程略作复杂推算，即得出了正确的万有引力公式，但推导方法是不对的。一是不能以称作“近似”为出发点，因为初始计算差之近似，结果则可能谬以千里;重要的是数学推导在这里不允许近似。二是所有的行星围绕恒星和所有的卫星围绕行星都以椭圆轨迹运行，被围绕的恒星和行星都处于椭圆的一个焦点上（开普勒第一定律），而以圆周运行代替椭圆之所以得出正确结果，碰巧源于圆形属于椭圆的特殊形式（普遍性寓于特殊性之中）。特殊性不能代替普遍性进行推导或证明，就如用勾股定理不能直接证明余弦定理是一样的（余弦定理a2=b2+c2-2bccosα，勾股定理只是余弦定理的特例）;同样类似地也不能用sin2α+cos2α=1来证明勾股定理，因为sin2α+cos2α=1来源于勾股定理，它仅是属于勾股定理的一个变型。相反，牛顿不仅用“流数术”对行星按椭圆运行轨迹进行了推导，而且还扩大了普遍范围的推导，都导出了同样的万有引力公式。

总的看，仅限于目前时段内，最简单又信服的推导途径是根据引力波推导。

3 与之引力波推导万有引力公式相关联的意义

3.1 空间两个物体都各自吸引对方

在万有引力学说发表之前的一段历史上，一度有过疑问，是否大物体只单方面吸引小物体，而小物体被动吸引，不吸引大物体。把物体间的引力理解成大质量物体只吸引小物体，而小物体不吸引大物体;大物体对小物体的引力大，小物体对大物体的引力小;两个质量相等的物体相互吸引力相等;或两个质量不相等的物体相互吸引力也相等……可有多个选项。

所谓“大质量物体只吸引小物体，而小物体不吸引大物体”似乎这种单方面吸引现象可以存在。例如：磁铁吸引铁，而铁不吸引磁铁。

而对万有引力，实际是只有2个物体都相互吸引对方才是符合逻辑的，用如下反证法可以证明：

以上是通过现代逻辑方法证明的。牛顿时代是通过大量观测数据证明的。而现在通过引力波理解，简直就简洁得不需要证明，因为任何物体都发射引力波，所以物体间都是相互吸引的，都不是单方面的。

3.2 两个物体各自吸引对方的引力大小相等

牛顿第三定律发现的是：两个相互作用的物体，作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在两个物体上。这个定律不仅在理论上说得通，因为理论上它属于牛顿第二定律的特殊形式，而且通过试验还得到实证。而两个物体的相互引力大小是否相等则不属于牛顿第三定律涉及范围。有人把相互引力大小相等解释为依据牛顿第三定律是不对的，一个物体对另一个物体的引力和另一个物体由于被吸引而产生的大小相等方向相反的拖曳力属于牛顿第三定律范围（例如离心力等于吸引力，万有引力公式就是依此推导的）。

相互吸引的两个质量不用的物体M和m（M>m），各自吸引对方的力大小相等，可以用逻辑推理获得证明：

如果M的质量是m的k倍（k为正整数），则可以把M（M=km）分成k份，其中每份分别吸引m，那么M对m的引力就是k倍2个m之间引力之和的一半;反过来，那么m对M的引力也是k倍2个m之间引力之和的一半。即M和m两个物体各自吸引对方的引力大小相等。

如果k不是整数，可以将M和m分别分成若干份，使所有的每份质量都相等，仍然可以得出M和m两个物体各自吸引对方的引力大小相等。

当然在牛顿时代，通过大量天体观测已经证明了，两个物体各自吸引对方的引力大小相等。

现在根据引力波对万有引力公式的推导过程，由（2）式和（3）式可知，FM→m=Fm→M，即M对m的引力和m对M的引力大小相等，可以干脆简洁地证出，使复杂的问题变得清晰明了。

3.3 引力波是物体间形成引力的直接并唯一关联

引力波使空间的物体间作用显现为引力，根据引力波直接推导的引力（4）式F=GMmR2可看出，它与牛顿万有引力公式完全一样，即完全相等。这证明万有引力完全源于引力波。如果通过引力波推导的引力大于牛顿万有引力公式的力，则说明物体间还掺有某种排斥力;如果引力波引力小于牛顿万有引力公式，说明还有其他引力存在。而（4）式表明，恰好与牛顿公式相同，证明引力波是直接并唯一形成万有引力的因素。这个结论可为解决有关引力问题从波的角度又提供一个途径。

3.4 关于引力常数等适用范围的问题

引力常数G=6.67×1011N·m2/kg2的数值不是推导出来的，需通过单独试验测定。在牛顿1687年发表万有引力学说（《自然哲学的数学原理》）的111年后（1798年）英国科学家卡文迪许完成了科学发展史上有重要影响的扭秤试验，第一次成功测出了万有引力常数值。有了这个常数值，使地球的质量得以轻易测出，继而其他观测到的与地球有数据关联的天体质量则均得可知。

后有科学家根据天体运行现象分析，疑问万有引力常数能否随着空间的不断扩大或在不同的空间区域依然恒定不变。例如德国天文学家胡戈·冯·泽利格首先提出，对于很大的距离而言，两个质量之间的吸引力减小的速度是否要比按照距离平方反比定律得出的结论快得多[2]，以解释宇宙星系分布等现象。代价则是给牛顿理论进行修正并使其更加复杂，但还缺少经验根据和理论基础[2]。

现在根据引力波理论推导出万有引力公式，从这个理论角度看，大到一定距离的范围外，万有引力常数或整个万有引力公式的形式是否可变，还牵涉到波的理论——理论是否可发展或不容改变，对类似泽利格提出的疑问，则从波的性质角度又提供了一个思考途径。

3.5 根据波强度等对其他数据进行推测

根据（1）式引力波强度=kM4πR2可知，在探测到一个遥远天体或星系的引力波强度后，则可知其质量（到达地球的距离可以通过光线的红移或紫移等测得[4]）;或已知其质量而推知波强度;以及对相关理论推演或许有用。

3.6 对其他应用学科的启示

引力波的思维在其他应用学科上也有一定的启示价值。例如在林业方面，树木的次生代谢会释放出种类繁多的对环境和人体健康有益的挥发性物质松脂、丁香酸、柠檬油、树木香精油、肉桂油、单萜烯、倍半萜烯、双萜烯、负氧离子等，大多都具有杀菌、抗菌、抗炎、抗癌、抗微生物、增强免疫力等作用，这些物质被统称为植物精气[5]。一般来说，城市闹市区空气的病菌含量是森林内的50倍[5]。瑞典科学家研究表明，居民距离绿地远近与人的健康关系密切[5]。那么在没有风力影响的时候，森林公园是随时间持续不断的植物精气辐射输出源，它向外输出的粒子（植物精气分子）浓度随距离的梯度递减变化与球形波是一样的（不是森林输出有限粒子后就停止输出，然后自然扩散开）。这个特点归从于波粒二象性。由此启示，居民吸收森林的植物精气量即森林保健效益辐射与其相距森林公园距离的平方成反比。这个递减速度要比以往简单认为的与距离成反比快得多，也不能错误臆想成精气呈体积扩散与距离的立方成反比递减。由此证明，建设城市森林公园数量要有更多的必要性。依次思路若进一步具体化应用，也可以推导出一些公式。

以上辐射强度随距离的递减规律在其他方面应用也有一定的参考价值。例如，距离湿地一定距离内空气相对湿度的递减，蕨类和蘑菇种群扩大进行的孢子传播，杀虫剂白僵菌、綠僵菌等感染害虫的真菌孢子扩散，除草剂在空气中的药害扩散，昆虫性信息素扩散，等等。

结语

以上对万有引力公式从引力波的角度推导，以及由此而引发的6个与之相关联意义的思考，仅是开阔了一些对知识认知的思路。而从伽利略到牛顿时代，是那些灿若星辰的伟大科学家们才给人类带来了望见宇宙的曙光;继而再到爱因斯坦以至到2016年引力波的成功探测实证，更不断照亮了宇宙深空。此文即是对引力定律的引力波角度感悟和由此的启发应用。然而科技同联，它不仅使林业对有关知识的认知有所启示，对其他学科也会启发更清晰深入的认知。

参考文献：

[1][美]阿尔伯特·爱因斯坦.相对论[M].易洪波，李智谋，译.南京：江苏人民出版社，2011.

[2][美]阿尔伯特·爱因斯坦.相对论[M].张倩绮，译.北京：北京理工大学出版社，2017.

[3]杨熙龄.奇异的循环——逻辑悖论探析[M].沈阳：辽宁人民出版社，1987.

[4][英]史蒂芬·霍金，列纳德·蒙洛迪诺.时间简史（普及版）[M].吴忠超，译.长沙：湖南科学技术出版社，2006.

[5]郄光发，房城，王成，李春媛.森林保健生理与心理研究进展[J].世界林业研究，2011（3）：3741.

作者简介：温勇（1989— ），男，吉林四平人，满族，机械电子专业和计算机科学与技术专业双本科，双学士，工程师，主要从事理论物理研究、建筑工程电子设备安装和设计等工作。