VTI介质中基于降阶补偿处理的旅行时计算方法

魏 建，孙祥娥

(长江大学 电子信息学院，湖北 荆州 434023)

旅行时方程在各向同性或椭圆各向异性介质中可表示为一种炮点-接收点间距离平方的形式，在地震信号处理中起着重要作用，多用于速度分析、偏移成像、数据处理变换等关键处理步骤中[1]。

由于具有垂直对称轴的横向各向同性(transverse isotropy with vertical symmetry axis, VTI)介质的复杂性，近似计算已经成为估计旅行时的重要研究方向。估计各向异性介质中旅行时的方法主要有移位双曲线近似法[2]、忽略S波影响的偏移距4阶近似计算方法[3]、基于泰勒级数展开的4阶近似方法[4-6]。随着研究的深入，更准确的估计旅行时方法如基于移位双曲线的随机变换法[7]、广义时差近似的旅行时计算方法[8-9]、基于扰动理论的计算方法[10-12]、基于高阶泰勒级数系数使用Padé逼近法来近似长偏移时差的方法[13]、使用最大范数构造目标函数并利用模拟退火算法求解的扩展广义时差近似计算方法中常系数的方法[14]以及基于三参数随机变换方法的旅行时计算方法[15]等相继被提出。

与近几年提出的新方法相比，基于泰勒级数的旅行时计算方法在准确性和应用方面还存在差距，但在理论研究的推导与计算方面仍有一定优势。另外，基于泰勒级数的旅行时计算方法的研究与应用更多集中在平方计算公式上，对于非平方形式的基于泰勒级数的计算方法的研究并不多。本研究以非平方形式的基于泰勒级数的计算公式为基础提出一种新的旅行时计算方法，通过一种降价补偿处理方式来保证基于泰勒级数的旅行时计算有效性，并通过分析和实验测试来证明所提出的方法可以提高旅行时的准确性、缩短与正演旅行时的差距。

1 基于降阶补偿处理的旅行时计算方法

1.1 一般旅行时公式

在各向同性介质或VTI等各向异性介质中，利用各种方法在分析基于泰勒级数的旅行时方程时主要以P波模式为主，本研究在理论推导和模型实验中同样只考虑P波。

通过文献[5，16]提出的基于泰勒级数展开的推导方法，得到旅行时T(x)与偏移距x2之间的一般近似形式：

(1)

(2)

式中：T(0)为零偏移距旅行时，vNMO为正常时差速度，Sj(j=2,3,4)为异质性参数。

S2=1+8η，

(3)

其中参数η由Alkhalifah等[3,18]定义为：

(4)

式中ε和δ均为Thomsen参数。

1.2 基于降阶补偿的旅行时计算公式

Ursin等[5]在式(1)的基础上，为了解决旅行时计算公式中的4阶泰勒级数随着偏移距的增加计算精度迅速下降的问题，提出一种可以更好计算VTI介质的远偏移距旅行时的偏移距4阶计算公式[5]：

(5)

其中

(6)

为进一步提高大偏移距情况下的走时计算精度，将式(5)扩展为偏移距的6次高阶计算公式：

(7)

(8)

Hubral等[16]指出，旅行时公式中高阶项的形式是一种复杂的数学表示，在泰勒级数展开的基础上，旅行时公式可以使用更多的高阶项来提高近似精度，但旅行时公式会被这种增加高阶项的形式所限制。另外，在使用实际地震数据进行验证后发现，在有高阶项近似的情况下，处理结果会得到一些没有实用价值的冗余信息。所以，通常不建议使用更高阶项做进一步近似处理。基于以上分析，使用更高的6次方项进行近似处理是不合适的。故将式(7)中偏移距的6次方项降为偏移距的4次方项进行处理，称其为偏移距的降阶近似，以此来表现高阶项近似的另一种形式，有：

(9)

其次，从泰勒级数角度分析可知，偏移距阶数的降低不仅改变了泰勒级数的高阶近似原有性质，还会对中、远偏移距旅行时计算产生影响。当无法通过方程内部的偏移距、时间和速度来降低这种变化带来的影响时，需要从方程外部寻找解决方案，即使用补偿方法进行处理。需要明确的是，一方面，补偿的目的不是让旅行时等于正演旅行时；另一方面，零偏移距双程旅行时并不会因偏移距的改变而发生变化，所以补偿方法不能对偏移距等于零时计算出的旅行时产生影响。因此，从以下两点进行考虑：从旅行时公式和正演旅行时的定义看，两者都是一种记录波经地层反射的时间形式；从计算方法看，通过射线理论计算出的正演旅行时与旅行时公式计算中所需的速度、时间均与地层深度有关系，并且地层深度是由每层的厚度所组成。基于以上两点，本研究提出一种基于4阶旅行时公式与正演旅行时的近似补偿方法来解决降阶近似带来的影响：

(10)

式中，fb为正演旅行时，n为模型层数。

将式(9)、式(10)进行组合，并替换化简系数d3、D1、D2后，形成在VTI介质中应用的基于降阶补偿(descending order componsation， DOC)的旅行时计算新方法：

(11)

其中:

(12)

2 实验结果与分析

在文献[5]给出的常用模型参数基础上，将水平层状VTI介质实验模型的最大深度、最大偏移距分别设置为5 000和10 000 m，实验所需的正演旅行时由模型第一层的红色三角形来记录。具体参数如表1所示，实验模型如图1所示。实验对比方法有：移位双曲线法[2](记为SH)、广义时差近似法[8](记为GMA)和微扰理论法[10-12](记为A-Shanks)。分析将从旅行时计算实验与时差实验进行说明，测试深度分别为500、1 500、2 800和4 600 m。

图1 层状实验模型Fig.1 Experimental of the layered model

表1 层状模型参数Tab. 1 Parameters of the layered model

图2为4种计算方法在4个不同深度得到的旅行时曲线图。由图2可看出，DOC计算方法同移位双曲线法、广义时差近似法和微扰理论法一样可以有效计算旅行时。从每个深度近、中、远3个偏移距分析可知： 在近偏移距2 000 m附近，相比其他3种方法，DOC方法计算出的旅行时在浅层深度500 m时具有明显优势，但在其他3个深度处的优势不明显。在中偏移距4 000 m、远偏移距8 000 m附近，DOC方法计算的旅行时在4个深度对比中均明显好于另外3种方法，其中浅层深度的优势最为显著。

图2 4种方法在4个不同深下的旅行时计算结果对比Fig. 2 Comparison of the results of the traveltime calculation by 4 methods at 4 different depths

另外，若计算出的旅行时能进一步缩短与正演旅行时的差距，也可证明DOC计算方法的准确性增加[19]。利用式

(13)

进行时差实验，式中tc表示各方法计算出的旅行时。图3是4种方法计算出的4个不同深度的时差曲线图。当深度为500 m时， DOC方法在近偏移距2 000 m、中偏移距4 000 m以及远偏移距8 000 m的时差值均更小，即与正演旅行时的差距更小。当深度为1 500、2 800与4 600 m时，DOC旅行时计算方法在同样偏移距处依然保持时差值更小的优势，但整体差异没有浅层时明显，也证明图2中关于DOC方法在旅行时实验中的分析，说明DOC方法计算的旅行时更准确，得到的旅行时缩短了与正演旅行时的差距。

图3 4种方法在4个不同深度下的时差实验对比结果Fig. 3 Comparison of the results of the moveout experiment by 4 methods at 4 different depths

3 结论

地震数据处理中VTI介质旅行时的计算一直是研究的重点内容，如何提高旅行时计算的准确性、缩短与正演旅行时的差距十分重要。本研究提出一种应用于VTI介质中的基于降阶补偿的旅行时计算方法，即DOC旅行时计算方法。

在以VTI介质模型为基础的旅行时计算实验和时差实验的基础上，分别将DOC旅行时计算方法与移位双曲线法、广义时差近似法和微扰理论法进行对比。结果发现，在不同深度的近偏移距2 000 m、中偏移距4 000 m、远偏移距8 000 m附近，DOC旅行时计算方法的精度较高，尤其在浅层深度500 m时具有明显优势，说明DOC方法比其他3种计算方法在减小与正演旅行时的差距方面表现好，对解决旅行时计算中存在的问题起到了良好作用。