有多少种方法

孟霞

我们知道，一个数可以分成几个因数相乘的形式，比如6=1×6=2×3，12=1×12=2×6=4×3等。利用这一形式，我们可以寻找解题的突破口，从而顺利解题。

例1：盒子里有30个乒乓球，要求不许一次拿完，也不许一个一个地拿，而且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。怎么拿？有多少种拿法？

思路点睛：题目是什么意思呢？比如一次拿2个乒乓球，那么拿15次就可以全拿完了;要是一次拿3个呢，就需要10次。由此我们想到两个自然数乘积是30的情况有8种：30=1×30=2×15=3×10=5×6=6×5=10×3=15×2=30×1。

由于“不许一次拿完，也不许一个一个地拿”，所以要去掉“1×30”和“30×1”，这样只剩下6种情况，也就是一共有6种拿法。

在乘法中，5×6=6×5，2×15=15×2，因此上面的算式还可以写成：30=2×15=3×10=5×6。这里的2×15既可以看作每次拿2个乒乓球，拿15次，也可以看作每次拿15个乒乓球，拿2次。所以一共有3×2=6（种）不同的拿法。

例2：李老师要把60个同学分成人数相等的小组去大扫除，每组不少于6人，不多于15人。李老师该怎么分？有几种分法？

思路点睛：题中“不少于6人”的意思是大于或等于6人，“不多于15人”的意思是小于或等于15人。

按照例1的思路，先把60分成几个因数相乘的形式，60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10=10×6=12×5=15×4=20×3=30×2=60×1，一共有12種情况。因为“每组不少于6人，不多于15人”，去掉不符合要求的，还剩下60=4×15=5×12=6×10四种形式。在这四种形式里，每组可以是15人、12人、10人或6人，不可以是4人或5人，所以一共有四种不同的分法。