周期性复合材料力学性能的多尺度分析

张容国, 盛冬发, 李忠君, 王怡楠

(西南林业大学土木工程学院， 昆明 650224)

对于一般材料而言，由于制作工艺等的限制，存在着强度低、刚度低、延展性弱等缺点，虽然存在一些材料的比强度、比模量比复合材料的高，例如钢的比模量比玻璃钢复合材料的比模量高，但绝大多数纤维增强的复合材料相比常规材料，具有比强度高、比模量大等优势，同时纤维增强复合材料在工程中的应用呈现上升趋势，解决了传统结构不能的解决受力、功能等工程难题，满足了工程建设的多样化需求[1-2]，因此纤维增强复合材料在各大领域中都被广泛采纳应用。对于纤维增强基的复合材料性能预测方法有许多，Eshelby-Krner等效夹杂法[3]、自洽法[4]、广义自洽法[5]、Mori-Tanaka预测方法[6]。但这些方法由于纤维的形状、走向以及复合材料的制作工艺等不同，对其性能预测存在一定的偏差。为此，采用代表体元法进行预测，推导复合材料宏观与微观尺度之间的数学关系，并建立RVE模型，施加周期性边界条件，预测玄武岩纤维增强北化环氧树脂复合材料的有效力学性能。

1 均匀化理论

基于均匀化理论，选取的复合材料在宏观上其力学性能为非线性，但由于其在微观结构上具有周期性，因此对于复合材料力学性能分析可以通过宏观和微观两种途径解决。宏观和微观分别由X与Y表示，Ω表示复合宏观复合材料的整体结构，Ωε表示单胞的微观结构[7-8]，周期性结构的代表性体积单元(representative volume element， RVE)如图1所示。当结构在静力条件下时，应该满足以下方程和边界条件。

平衡方程为

(1)

几何方程为

(2)

物理方程为

(3)

边界条件为

(4)

(5)

复合材料的周期性可认为宏观X是由单胞Y在空间周期内重复堆积而成的。引入宏观坐标x与细观坐标y上的单元矢量真实长度比η(η≪1)，则和宏观坐标与微观坐标满足φ(y)=x/η关系式，其中φ(y)表示物体内的位移或应力等物理量。通过φ(y)=x/η可知，微观单胞Y是宏观X上的极其微小的点的有限放大，并当η无线趋近于零时，单胞Y就近似看作宏观X的等效弹模量。从而依据复合函数的求导法则有

x1、x2、x3为宏观Ω的三维坐标方向；y1、y2、y3为微观Ωε的三维坐 标方向图1 RVE示意图Fig.1 RVE schematic

(6)

式(6)中：xε为表示物体内的位移或应力等物理量的宏观坐标x和微观坐标y的集合。

根据文献[9-11]可知，uε(x,y)展开到η的二次项就已经满足精度要求，因此展开式uε(x,y)可表示为

uε(x,y)=u(0)(x,y)+ηu(1)(x,y)+

η2u(2)(x,y)

(7)

式(7)中：x⊂Ω；y⊂Ωε；位移真实值uε(x,y)是在宏观位移u(0)附近振荡，而u(1)(x,y)、u(2)(x,y)则构成了微观下的波动位移。

将式(7)代入式(1)～式(3)中可得

u(0)(x,y)=u(0)(x)

(8)

(9)

式(9)中：xl、yj分别表示在宏观和微观下沿着l、j方向，l、j=1,2,3。

(10)

将式(10)代入式(9)中，可得

(11)

式(11)在整个体积单元上进行积分，可得到宏观等效弹性模量的表达式为

(12)

(13)

式(13)中：vi(y)为测试虚位移；vi(y)∈Y。

(14)

将式(18)、式(19)代入式(15)中，可得

(15)

(16)

(17)

式中：k,l,m=1,2,3；δkm、δlm为克罗内克函数。

(18)

式(18)中：δkm、δln、δlm、δkn为克罗内克函数。

又由克罗内克函数定义为

(19)

将式(18)、式(19)代入式(15)中，可得

(20)

由式(18)和式(19)，可得

(21)

将式(21)代入式(12)，可得

(22)

2 边界条件

对复合材料的有效力学性能预测取决于虚拟位移的计算精度，最理想的周期性边界条件就是施加的周期边界条件能够反映单胞在结构中的真实边界变形情况，即误差不由施加的边界条件而产生。

(23)

式(23)中：a为施加的位移长度；U为在单胞Y中选取的面。

其他方向和工况的载荷约束情况可根据式(23)和RVE模型的相应变形状态进行推导而求得相对应的边界条件。

3 有效性验证

根据均匀化理论和周期性复合材料的边界条件，对纤维增强的复合材料有效模量进行预测，选用铝(Al)作为基体，硼(B)作为增强体，纤维和基体的弹性模量和泊松比如表1所示。

有限元计算模型采用四边形RVE模型，模型尺寸为1 mm×1 mm×1 mm，纤维排列方向为z方向，纤维占比为47%，将模型采用楔形网格模式进行划分，如图2所示。

表1 纤维与基体参数Table 1 Fiber and matrix parameters

图2 复合材料RVE模型Fig.2 RVE model of composite materials

图3 拉伸与剪切载荷下的应力和位移云图Fig.3 Cloud map of stress and displacement under tensile and shear load

得到均匀的位移场、应力场等结果后，再采用Python编写程序对模拟结果进行提取与整理并代入式(22)中进行运算，将得到的结果与文献[15]的体积分数进行对比，其结果如表2所示。结果表明，轴向弹性模量与文献[15]的有限元模拟误差在0.07%，纵向弹性模量与文献[15]的有限元模拟误差在2.79%，与文献[16]的实验误差在0.22%，上述预测结果与模拟和实验的误差都小于3%，证明了所建立的纤维增强复合材料预测模型具有良好的合理性，同时也证明了该方法的合理性与有效性。

表2 复合材料有效弹性性能计算结果与实验值Table 2 The calculated results and experimental Results of effective elastic properties of composites

4 单向纤维复合材料的有效弹性模量预测

在复合材料增强纤维选取时，应具有比强度高、比模量高、耐高温等特点。玄武岩纤维是具有这些特点的无机非金属纤维，因此选其作为增强纤维。

对单向玄武岩纤维增强北化环氧树脂基复合材料进行有效性能预测，采取改变四边形RVE模型中圆柱形纤维的半径r(r=0.05、0.1、0.2、0.3、0.4 mm)，并将其纤维体积含量对应于六边形RVE模型中，来预测其对复合材料的性能的影响。探究在相同纤维体积百分比的情形下，两种RVE模型预测结果之间的差异性。选取玄武岩纤维体积分数φf分别为12.5%、28.3%、50.3%的四边形和六边形RVE模型，两种模型在纵向和横向的拉伸和剪切工况下，均施加均匀应变(0.1%)的等效位移周期性边界条件，可得到48个位移和应力云图。仅选取在横向拉伸和剪切工况下的应力云图，如图5所示。

表3 纤维与基体材料参数Table 3 Fiber and matrix material parameters

图4 四边形和六边形复合材料RVE模型Fig.4 RVE models of quadrilateral and hexagonal composite

图5(a)、图5(c)、图5(e)分别为横向拉伸工况下四边形和六边形RVE模型的应力云图，图5(b)、图5(d)、图5(f)分别为横向剪切工况下的四边形和六边形RVE模型的应力云图。由图5(a)、图5(c)、图5(e)可知，在横向拉伸工况下，四边形RVE模型比六边形RVE模型纤维所受最大应力大。由图5(b)、图5(d)、图5(f)可知，在横向剪切工况下，四边形RVE模型比六边形RVE模型纤维所受最大应力小。

对复合材料进行有效性能预测时，通常采用四边形RVE模型进行预测，而对玄武岩纤维增强北化环氧树脂复合材料力学性能进行预测，通过对不同纤维体积就百分比的四边形和六边形RVE模型施加均匀应变的等效位移，采用有限元软件ABAQUS进行模拟，将得到的结果进行运算，将运算结果导入绘图软件绘图Origin中，得到两种RVE模型随纤维体积含量变化结果如图6所示。

图5 纤维体积分数变化应力云图Fig.5 Stress cloud of fiber volume fraction change

5 结论

(1)基于现有双尺度渐进均匀化理论，周期性复合材料的边界条件，建立四边形RVE模型，对 B/Al 纤维增强复合材料的有效模量进行预测，通过Python编写程序将ABAQUS模拟结果进行提取与运算，将得到的结果与已有实验结果和理论数据进行对比，表明本文模型的有效性。

Ea1 、Ea2 、Et1 、Et2、Ga1 、Ga2、 Gt1 、Gt2分别为四边形和六边形RVE模型的纵向与横向弹性模量和剪切模量；下标1、2分别为纵向与 横向；下标a、t分别为四边形和六边形RVE模型图6 有效弹性模量预测结果Fig.6 Prediction results of effective elastic modulus

(2)在相同横向拉伸应变作用下，四边形RVE模型比六边形RVE模型纤维所受应力大；在相同横向剪切应变作用下，四边形RVE模型比六边形RVE模型纤维所受应力小。

(3)对具有周期性单向排列的玄武岩纤维复合材料，建立四边形和六边形RVE模型，对玄武岩纤维增强北化环氧树脂复合材料的力学性能进行了有效预测。通过改变四边形RVE模型中纤维半径的大小，再将其纤维体积含量对应于六边形RVE模型中，发现复合材料的弹性模量和剪切模量都随纤维含量的增加而增大。

(4)改变纤维体积分数，四边形与六边形RVE模型的纵向弹性模量在数值上基本相等。当纤维体积分数较低时，四边形与六边形RVE模型对弹性模量和剪切模量预测结果较为接近。但随着纤维体积分数增大，四边形与六边形RVE模型对于纵向力学性能预测结果较为接近，而对于横向力学性能预测结果差异较为明显。