一类Hilfer分数阶Riemann-Stieltjes积分边值问题解的存在性

蒋方园,徐家发,柏仕坤

重庆师范大学数学科学学院,重庆,401331

文本运用不动点方法研究如下高阶Hilfer分数阶Riemann-Stieltjes积分边值问题解的存在性：

(1)

众所周知，分数阶微分方程因其在人口动力学、记忆材料热传导、渗流等许多重要应用领域的应用而受到广泛关注，例如文献[1]中提到了一种各向同性、齐次、有耗介质中,平面电磁波传导模型，其一维方程为

近年来，Hilfer给出了一种广义的Riemann-Liouville分数阶导数，称之为Hilfer分数阶导数，其可包括传统的Riemann-Liouville型和Caputo型分数阶导数，对于该类分数阶模型的研究亦开展起来了，参见文献[5-13]及其所附参考文献。我们注意到在已有文献中很难发现所研究的Hilfer型分数阶微分方程模型能被准确地表达成Hammerstein型积分方程，这会给研究该类方程带来一定的困难(因被转换的积分方程形式过于复杂)。文本就是克服这一困难，运用Green函数和不动点的方法研究问题(1)解的存在性和唯一性，并给出唯一解的迭代格式。最后，提供两个例子支撑我们的结论。

1 预备知识

首先给出本文所需要的有关Hilfer分数阶的定义和基本结论，详细内容可参见文献[2-17]。

定义1函数g:+→的α(>0)阶Riemann-Liouville分数积分定义为：

定义2函数g:+→的α(>0)阶Riemann-Liouville分数导数定义为：

定义3令α∈(n-1,n),β∈[0,1],n∈+,则函数g(∈L1[0,1])的Hilfer分数阶导数为：

注意到上式亦可以表达为：

θ=α+nβ-αβ

由上述定义我们可得如下的性质：

性质2若n-1<α

文本的思路是将问题(1)转换成等价的积分方程，为此需要计算问题(1)对应的Green函数。考虑如下的辅助问题：

引理3若(H0)成立。令h∈C[0,1],则边值问题

(2)

的解可表达为：

(3)

其中

(4)

(5)

证明：根据引理2可得

其中，ci∈,i=1,2,…,n。

由条件u(0)=u′(0)=…u(n-2)(0)=0知:

c2=…=cn=0

从而

(6)

借助(H0)可解得：

证毕。

引理5函数G有以下的性质：

i)G(t,s)∈C([0,1]×[0,1],+)；

该结论是引理4的直接结果，故略去其证明。

2 主要结论

(7)

其中，G见引理3。若令f是[0,1]×上的连续函数，则加上G的连续性我们可知算子A是一全连续算子，并且若存在u*∈E{0}使得Au*=u*，则u*是算子A的非平凡不动点，即是问题(1)的非平凡解。

在以下的结论中，假定f(t,0)≠0,t∈[0,1],即0不是A的不动点，后面讨论中不再赘述。

定理6若(H0)和以下条件成立：

H1)f∈C([0,1]×+,+),

H2)f关于第二个变量u是增函数，即若u1≤u2,则f(t,u1)≤f(t,u2),∀t∈[0,1]

≤tθ-1φ(s),t,s∈[0,1]

(8)

根据(H3)可得存在ε1∈(0,Λ1),c1>0使得

f(t,u(t))≤(Λ1-ε1)u(t)+c1,u≥0,t∈[0,1]

(9)

令u0(t)=Mtθ-1,t∈[0,1]，则Au0≤u0.定义序列

un+1=Aun,n=0,1,2,…

(10)

下证该序列为递减序列。

事实上，u1=Au0≤u0,从而根据(H2)可得：

假设uk≤uk-1,k=1,2,…,则由(H2)知：

Au*=u*

前述已指出0不是A的不动点，从而u*是A的正不动点，即是问题(1)的正解。证毕。

以下将问题(1)稍作变形，即研究如下问题：

其中φ：[0,1]→，φ∈L1[0,1],且φ在[0,1]的任何子区间上不恒为0。

定理7若(H0)和以下条件成立：

(H4)f∈C([0,1]×,)；

(H5)存在σ∈[0,1]，使得∀t∈[0,1],u,v∈,有|f(t,u)-f(t,v)|≤σκ-1|u-v|, 其中κ见引理5。

则问题(11)存在唯一的非平凡解u*,并且对任意的u0∈E,u0≠0。迭代序列un=Tun-1(n=1,2…)收敛到u*，其中

证明：对任意的u0∈E,u0≠0，令un=Tun-1(n=1,2…)根据算子T的全连续性，该序列属于E.从而对任意的正整数n,根据引理11，有

|un+1(t)-un(t)|=|(Tun)(t)-(Tun-1)(t)|

-f(τ,un-2(τ))|dτds

≤…

-f(s,u0(s))|dsdt

从而可得:

×|u1(t)-u0(t)|dt

(12)

再由(12)式可得：

|un+1(t)-un(t)|≤σnΓ(α+2)β0从而对任意的正整数m,n,可得：

|um+n(t)-un(t)|=|um+n(t)-um+n-1(t)

+um+n-1(t)-um+n-2(t)+…+un+1(t)-un(t)|

≤|um+n(t)-um+n-1(t)|+|um+n-1(t)

-um+n-2(t)|+…+|un+1(t)-un(t)|

≤β0Γ(α+2)(σm+n-1+σm+n-2+…+σn)

在等式两边同时取极限可得u*=Tu*，即u*是算子T的非平凡不动点，即问题(11)存在一个非平凡解。

下证该解是唯一的。若存在v*使得Tv*=v*,u*≠v*,则对任意的正整数n,有Tnu*=Tn-1(Tu*)=Tn-1u*=···=u*,Tnv*=v*。

进一步可得:

|u*(t)-v*(t)|=|(Tnu*)(t)-(Tnv*)(t)|

=|T(Tn-1u*)(t)-T(Tn-1v*)(t)|

-f(s,(Tn-1v*)(s))|ds

-(Tn-1v*)(s)|ds

-(Tn-1v*)(t)|dt

-T(Tn-2v*)(t)|dt

-f(s,Tn-2v*)(s)|dsdt

-(Tn-2v*)(s)|ds

-(Tn-2v*)(t)|dt

≤…

-(Tv*)(t)|dt

-f(s,v*(s)|dsdt

此即表明

(13)

注1：文献[14]中作者运用单调迭代方法研究了如下Riemann-Liouville型分数阶积分边值问题正解的存在唯一性：

其中α∈(2,3]，满足如下的单调有界条件：

存在χ>0使得f(t,x)≤f(t,y)≤Θχ,∀0≤x≤y≤χ,t∈[0,1],其中Θ是一正常数。

显然文本的(H3)包含这一条件，我们仅要求非线性项关于未知函数在无穷远处次线性增长即可，而不需要单调有界这样更强的条件。

注2：运用u0-正算子的方法研究了如下Riemann-Liouville型分数阶边值问题非平凡解的存在唯一性[15]：

(15)

其中p∈(2,3],f满足如下的Lipschitz条件：

存在σ∈(0,1)使得|f(t,u)-f(t,v)|≤σλ1|u-v|,∀t∈[0,1],u,v∈,其中λ1是式(15)对应的线性问题的第一特征值。

虽然定理13的条件和结论与文献[15]类似，然而我们仅用到完备空间中的Cauchy列收敛这一基本原理，并且不需要用更复杂的理论去计算线性问题对应的特征值(实际上算不出来具体值)。这对于初学者更易学易懂。

3 例 子

例1令f(t,u)=Λ2uϑ+ρ(t),u∈+,t∈[0,1]，其中ρ是[0,1]上的非负连续函数且在[0,1]上不恒等于0,Λ2∈(0,Λ1),ϑ∈(0,1]。则该函数关于u单增，且

对t∈[0,1]一致成立。定理12的条件均满足。

例2令f(t,u)=σΛ3u+ψ(t),其中ψ是[0,1]上的连续函数且在[0,1]上不恒等于0,Λ3∈(0,κ-1]。则|f(t,u)-f(t,v)|≤σΛ3|u-v|≤σκ-1|u-v|,∀t∈[0,1],u,v∈。

从而定理7的条件均满足。