麦克纳姆轮移动底盘的自适应滑模控制器设计

江梦林，赵德权，孙永福，王玉超

（四川农业大学 机电学院，雅安 625014）

0 引言

相对于传统的移动机器人，全方位移动机器人因为具有良好的机动性能，能够实现全向移动并且转弯半径为零，因而被广泛的应用到各个场合下，比如家庭服务、仓库以及医疗等行业[1～3]。而基于麦克纳姆轮的移动机器人因其承载能力强运动连续的特点，使其在工业和学术领域得到了越来越多的关注。麦克纳姆轮是由主动轮和一系列的从动轮组成，从动轮通常和主动轮的轮辐存在45°的夹角[4,5]。通过四个麦克纳姆轮的协同作用就可以实现全方位移动。

随着制造业的迅速发展，移动机械臂得到了越来越多的应用，为了提高移动机械臂的移动能力和灵活性，许多学者尝试将麦克纳姆轮移动机器人作为移动机械臂的底盘[6]。值得一说的是，移动底盘轨迹跟踪的精度是保证移动作业质量的关键。因此，设计一个高精度的轨迹跟踪控制器来保证跟踪精度是很有必要的。然而，在实际环境中，外部的扰动和模型的不确定性是真实存在的，这将会导致系统不稳定。因此，对于麦克纳姆轮移动机器人的轨迹跟踪控制依然是一个挑战。

为了克服上述的问题，诸多的学者完成了对麦克纳姆轮移动机器人的运动学和动力学建模[7～9]。在其运动学和动力学模型的基础上，学者们提出了许多的控制策略。主要的方法包括自适应控制[10～11]，反演算法[12～14]以及神经网络等[15～17]。文献[10]针对轮式移动机器人设计了一种自适应轨迹跟踪控制器，该控制方法可以减小模型中未知参数和不确定性的影响。文献[11]针对非完整轮式机器人提出了一个非线性自适应控制器，通过输入输出反馈线性化技术获得了给定系统不确定参数的估计值。自适应控制依赖于系统的精确模型，但是精确的系统模型通常是难以建立的。反演算法主要应用于一系列满足严格反馈的系统。反演控制通常和其他的控制方法结合起来使用。文献[12]中对于一类含有不确定性的非线性动力系统设计了一种改进的反演控制器。文献[13]将反演控制和自适应控制结合起来，在考虑外加扰动以及不确定性的情况下，对麦克纳姆轮全向机器人设计了一个非线性自适应控制器。文献[14]将该方法和小波神经网络相结合设计了一个控制器来实现轨迹跟踪，小波神经网络被用来逼近系统中的不确定项。神经网络技术因为其强大的学习能力，适合用来控制复杂的动力系统。在文献[15]和文献[16]中，径向基神经网络被成功的用来逼近系统中的未建模不确定性。文献[17]基于滑模控制提出了一种自适应神经网络的控制方法，通过神经网络来逼近模型的不确定性和外部干扰。

作为另外一种重要的控制方法，滑模控制因其抗干扰能力强而得到广泛的应用。文献[5]和文献[18]针对麦克纳姆轮全向移动机器人分别提出了基于扩展状态观测器的滑模控制策略和非奇异终端滑模控制器。滑模控制的主要缺点就是由于控制器的不连续会导致抖震现象。为了抑制这种现象，文献[19]提出了高阶滑模控制策略。文献[20]设计了一种自适应滑模控制器。

本文针对麦克纳姆轮全向移动机器人系统设计一个轨迹跟踪控制器。首先，使用径向基神经网络来逼近系统中的不确定项以及外部扰动。和文献[17]不同的是，径向基神经网络的权值的范数和估计误差的范数通过具有σ修正的自适应学习法则来估计[21～22]。其次，通过自适应学习法则得到的未知参数估计值进而设计了一个自适应滑模控制器。再者，通过Lyapunov理论分析了该控制方法的稳定性和鲁棒性。最后通过仿真验证了所提出方法的有效性。

1 数学模型的建立

1.1 麦克纳姆轮移动机器人的运动学模型

麦克纳姆移动机器人的坐标系如图1所示，其中X-O-Y，Xb-Ob-Yb，Xwi-Owi-Ywi(i=1,2,3,4)分别为世界坐标系、连体坐标系和轮系坐标系。Ob和移动机器人的几何中心重合。(x,y,φ)为移动机器人在世界坐标系下的位姿。(xi,yi,βi)为第i个轮子在连体坐标系下的位姿。γi为第i轮子的从动轮和主动轮轮辐之间的夹角。

图1 麦克纳姆轮移动机器人的坐标系转换

令q=[x y φ]，通过坐标系的转换可以的到第i个轮子的转速和之间的关系为[23]：

其中，Ri为第i个轮子的半径。麦克纳姆轮移动机器人的结构示意图如图2所示。其中，W和L分别为移动机器人长度和宽度的一半。由图2可知，β1β2β3β4=0，｜xi｜=W,｜yi｜=L,γ1=γ4=-45°,γ1=γ4=45°。此外令R1=R2=R3=R4=R，定义移动机器人轮子的转动角θ=[θ1θ2θ3θ4]·，移动机器人在连体坐标系下的速度Vb=[vxvyωz]，Vb与姿态角无关即φ=0，根据式(1)可以的到移动机器人在连体坐标系下的逆运动学方程为：

图2 麦克纳姆轮全向移动机器人的结构示意图

转换矩阵H(0)存在伪逆矩阵：

则移动机器人的正运动学公式可以描述如下：

进一步展开为如下形式：

同理，根据式(1)移动机器人在世界坐标系下的逆运动学方程为：

同理H(φ)也存在伪逆矩阵，那么移动机器人在世界坐标系下的正运动学方程为：

1.2 麦克纳姆轮移动机器人的动力学建模

本文使用拉格朗日法来建立移动机器人的动力学模型[7]，拉格朗日算子的表达式为：

其中m是总的质量，I和Iw分别是移动机器人绕其几何中心的转动惯量和轮子绕其转轴的转动惯量。vx，vy，ωz如式(4)～式(6)所示。

拉格朗日方程表述如下：

其中，

τ=[τ1τ2τ3τ4],τd=[τd1τd2τd3τd4]分别为输入转矩向量和外部扰动向量且τd是连续有界的，满足‖τd‖≤d*＜∞，d*是未知的正数。D为粘滞摩擦力：

通过计算拉格朗日方程，移动机器人的动力学模型的表述如下：

考虑系统的不确定性，可以得到一个新的动力学模型如下：

不确定项ρ=ΔMθ+ΔDθθ，ρ是有界的且满足是一个未知的常数。

结合式(7)～式(12)，动力学模型变成如下形式：

式(13)可以进一步改写成：

其中不确定项：

2 自适应滑模控制器设计

本节旨在针对麦克纳姆轮移动机器人，在考虑外部扰动、模型不确定性的条件下，基于移动机器人的动力系模型设计一个自适应滑模控制器，使移动机器人能够精确地跟踪参考轨迹qd，引入径向基神经网络来逼近不确定项，令理想轨迹qd=[xdydφd]是二阶可导的。控制目标是设计一个输入转矩τ使得q→qd。

首先定义位姿误差e=q-qd，则，将滑模面定义为如下形式：

对式(15)求导：

本文引入径向基神经网络来逼近不确定项g，其结构简图如图3所示。

图3 径向基神经网络的结构见图

如文献[2 2]所述，对于一个连续光滑的函数h(xin)∶Rm→Rn，存在一个径向基神经网络使得：

其中xin∈Rm是输入向量，φh(.)∈RL是基函数，L代表神经元的个数，wh∈RL×n是输出层的权值矩阵，εxm∈Rn是逼近误差且满足‖εxin‖≤是一个未知的常数。通过引入上述神经网络，式(16)变成如下形式：

将滑模趋近律设计为如下形式[16]：

式中k1，k2是常数矩阵，sgn(s)是符号函数，满足:

选取Lyapunov函数为:

3 仿真实验与分析

本节将通过两组仿真实验来验证本文所提出的控制器的有效性，为了验证控制器的鲁棒性，本文将质量设计为时变的，同时在系统中加入了余弦形式的扰动。一组仿真实验的参考轨迹是一个圆形，另一组仿真实验的参考轨迹是纽带形。移动机器人的参数如表1所示。

表1 麦克纳姆轮移动机器人的结构参数

此外，为了逼近不确定项g，本文将使用高斯函数作为径向基神经网络的基函数，形式如下：

2）仿真实验2：纽带形参考轨迹

纽带形参考轨迹的表达式如下：

和仿真实验1相同，将总的质量设计为时变的，同时加入余弦形式的扰动。移动机器人的初始位置[x0y0φ0]·=[0.2 0.2 0.2]·控制参数选择如下：

移动机器人轨迹跟踪的结果如图4和图8所示，可以知道移动机器人在存在扰动且质量为时变情况下依然能够很好的跟踪上参考轨迹，具有较强的鲁棒性。图5和图9是轨迹跟踪的误差，可以看到移动机器人的跟踪误差分别小于0.1m和0.05m且跟踪误差是一致最终有界的。自适应学习法则的估计结果如图6和图10所示，图7和图11是输入转矩，因为移动机器人的初始位置和参考轨迹具有一定的差距，所以在开始时需要的转矩较大，跟踪上参考轨迹后输入转矩减小，同时输入也是一致最终有界的。通过上述的仿真结果，验证了本文所设计的控制器具有良好的鲁棒性能且跟踪精度高的优点。

图4 圆形参考轨迹的跟踪结果

图5 圆形参考轨迹的跟踪误差

图6 圆形参考轨迹的自适应学习法则

图7 圆形参考轨迹的输入转矩

图8 纽带形参考轨迹的跟踪结果

图9 纽带形参考轨迹的跟踪误差

图10 纽带形参考轨迹的自适应学习法则

图11 纽带形参考轨迹的输入转矩

4 结语

本文针对麦克纳姆轮全向移动机器人的轨迹跟踪问题，在其动力学模型的基础上设计了一个自适应滑模控制器。同时还考虑了参数变化和外部干扰，首先，本文引入径向基神经网络来逼近系统中的不确定项，径向基神经网络的权值的范数和逼近误差的范数的估计值通过σ修正的自适应学习法则来获得。其次，通过Lyapunov稳定性分析论证了本文提出的控制器能够保证系统的一致最终有界。最后两组仿真实验验证了控制器的有效。