基于ADMM的分块压缩感知图像重构方法

邱孝龙

（西安石油大学 理学院，陕西 西安 710065）

0 引 言

日常生活中，图像信号已经成为信息的主要载体。因此，对图像进行处理的技术受到广大学者的关注，也被广泛地应用于超分辨成像[1]、医学成像[2]等领域。传统的信号采样方法需满足香农采样定律[3]。该定律要求采样频率必须大于信号最高带宽频率的两倍才能有效重构信号，这给高频信号的采集和传输带来一定麻烦。为了解决上述问题，DONOHO[4]提出了压缩感知理论，并指出在低于奈奎斯特采样定理要求的采样频率去获取信号，也能有效地重构信号。该理论一经提出，便被广泛地应用于模式识别[5]、鬼成像计算[6]等领域。由于传统恢复方法需要较大的矩阵来进行采样和重构，这对计算资源造成了严重的消耗。为了解决大尺度图像的实时传输和重构问题，2007年，GAN L提出了分块压缩感知（Block Compressed Sensing，BCS）[7]，该方法对每一个图像块进行采样，大大降低计算复杂度。2009年，MUN等人对原始图像信号进行分块处理，结合平滑投影Landweber的方法，提出了BCS_SPL方法[8]。该方法以较小的测量矩阵对信号进行测量，并有效地重构原始信号。

由于信号在采集过程中会受到噪声污染的问题，因此一些经典的去噪方法被提出，如非局部中值滤波[9]、鲁棒主成分分析（RPCA）[10]以及BM3D[11]等。其中，BM3D是一种经典的去噪方法，可以有效地保存图像中的细节信息。针对传统分块压缩感知方法存在的抗噪能力差的问题，本文结合BCS_SPL方法和BM3D去噪方法的联合重构模型，运用交替方向乘子法（Alternating Direction Multiplier Method，ADMM）来重构含有噪声的图像信号，提出了基于ADMM的分块压缩感知图像重构方法。

1 基本原理

1.1 压缩感知理论模型

压缩感知理论指出，当原始信号具有稀疏性，可以对该信号进行观测采样，然后运用重构算法从较少的测量值中重构信号，其具体模型如下所示：

式中：x∈RN是原始信号，y∈Rm是通过观测矩阵Φ得到的观测信号。如果Φ满足且 0＜δk＜1，则称Φ满足 RIP 条件[12]，此时原始信号可以通过最小化l0范数的方法来求解原始信号，具体表达式为

式中：||||表示非零元素的个数，精确恢复k阶稀疏信号，需要满足

1.2 分块压缩感知理论模型

分块CS理论是通过将图像进行分割处理，得到大小为B×B的不重叠图像块，然后选取一个观测矩阵将高维信号映射到一个低维空间进行观测，通过重构算法来求解原始信号。对于N维原始信号其中第j个子图像块可以被表示为x[j]，同时运用长度的索引集Γ={l1,l2,…,ln}，其中lj=B×B，关于分块压缩感知的模型可以被表达为

式中：ΦB是 观 测矩阵，y[j]=ΦBx[j]，1≤j≤n，特别地，当n=1的时候，该模型可以表示压缩感知模型。

此处给出一个定义：对于一个给定的k阶稀疏的原始信号x∈RN，当存在一个参数0＜δk＜1满足且 0＜δk＜1，就说ΦB满足k阶的分块RIP条件[13]。对于整张图像的测量矩阵Φ而言，可以用块对角矩阵表示：

2 相关工作

2.1 平滑投影Landweber（SPL）重构方法

平滑投影Landweber（SPL）法是一种有效的重构原始信号的方法。其首先对需要重构的图像x(0)进行初始化，最终的结果可由下面式子进行运算：

式中：γ是ΦTΦ的最大特征值，λ是用于控制收敛的常数，A是关于转换系数的常数。从式（6）可以看出，初值的预估往往决定重构质量的好坏，因此本文采用x(0)=ΦTy作为初始值。

2.2 BM3D去噪方法

BM3D是一种经典的去噪方法。该方法的实现过程主要分为基础估计和最终估计两个部分。这两个部分都有图像块分割、三维协同滤波及聚集这三个步骤。两者的不同之处在于三维协同滤波。其中，基础估计的三维协同滤波是硬阈值滤波，最终估计的三维协同滤波是维纳滤波。此外，对比基础估计，最终估计可以还原更多的细节信息。

设原始信号为x，y是观测信号，η是均值为0，方差为σ2的高斯噪声，其采样过程如下所示：

首先将图像分成大小为B×B的大小，寻找块x[j]与块x[j′]之间的相似性进行匹配，选取欧式距离阈值作为匹配标准，含噪声块之间的欧式距离可以表示为

式中：B2是估计阶段的图像块大小，x[j]和x[j′]是计算距离的图像块，是l2范数。由于噪声比较大或者图像块较小的时候会导致误差较大，从而导致分组错误，因此需要加一个前置的硬阈值滤波对图像块进行处理，此时欧式距离为

式中：γ′(Tht-2D(·))是前置硬阈值滤波操作，通过设定欧式距离阈值τht把相似的块聚集在一起，则每个相似 块 组 的 集 合 为Sht={x[j],x[j′]∈x|d(x[j],x[j′])≤τht}。然后对聚集而成的相似块组进行三维矩阵的线性变换，通过硬阈值滤波或者维纳滤波来减少噪声，最后通过三维逆变换得到矩阵中图像块的估计值。由于在图像分块的的过程中，当步长小于分块大小时会出现像素块的重叠部分，因此对于某个像素可能会存在多个估计，需要进行加权平均。

2.3 基于ADMM的分块压缩感知像重构方法

本文所提算法将图像分成大小均匀的子块，采用维纳滤波进行平滑处理，降低图像的块效应。然后将BCS_SPL求解方法与BM3D去噪模型相结合，利用ADMM方法来重构图像。该算法具体实现步骤如下。

接下来，本文将要在大尺度图像分块重构的过程中引入ADMM-BM3D模型，从而实现含噪声图像的有效重构。

处理带有噪声的图像信号，首先要对信号进行分块处理，其次对信号平滑投影，并利用ADMMBM3D模型进行去噪，最后利用求解算法进行信号重构。下一节将通过实验与其他算法进行比较，证明所提算法在重构效果方面优于其余算法，且具有相对较高的PSNR值，满足信号恢复的基本要求。

3 实验仿真

3.1 评价指标和仿真环境

对于本文所提算法，仿真在Matlab2015a编程环境下进行，硬件配置为Intel-i5- 10300H （CPU）处理器，32 GB内存和Windows 10操作系统。

为了验证所提算法的有效性，本文选择采样率分别为0.1，0.15，0.2，0.25，0.3的时候进行仿真，并采用客观评价标准峰值信噪比（Peak Signal to Noise Rario，PSNR）来评价各算法的重构质量。对于原始图像x∈RN，其重构图像为x^，PSNR可以被定义为

式中：MSE代表原始图像和重构图像之间的均方误差。当PSNR增加，表示重构质量越好。

3.2 仿真结果与分析

在实验仿真中，如果选择较大的分块尺寸，算法运行时间就越长。相反，当分块尺寸变小时，运行的时间越短，但存在明显的块效应。因此，本文从整体上考虑，选择了16×16的块大小来进行仿真实验，并设置均值为0，方差为0.15的高斯噪声对信号进行污染。当采用率为0.3时，将传统OMP[14]算法、IRSL[15]算法、BCS_SPL[8]算法与本文所提算法进行对比。

从图1的重构效果可以看出，当采样率为0.3，面对噪声数据时，传统的OMP算法和IRSL算法重构效果不佳，无法克服噪声对重构图像的影响。当使用BCS_SPL算法时，其在图像分块的同时引入维纳滤波，在一定程度上起到了抑制噪声的作用，相比于经典的重构算法，具有一定的效果提升。本文所提出的基于ADMM的重构方法，在重构的过程中引入BM3D降噪处理技术，能够在很大程度上重构原始信号，且具有相对较高的峰值信噪比。

图1 各算法重构效果对比图

图2所示为取不同采样率时，各算法重构Lena图像的PSNR走势图。可以看出，随着采样率的提高，PSNR在不断增大，对比前文所提的经典算法，本文算法的PSNR值提升较多明显，说明本文算法具有更好的重构精度。

图2 对比Lena图像在不同算法下的PSNR值

为了更具体地评价算法的有效性，探究不同采样率对重构效果的影响，本文统计了Lena图像在不同算法下的PSNR值，如表1所示。可以看出，当采样率从0.10增大到0.30的时候，本文所提算法重构图像的PSNR值高于经典的OMP算法、IRSL算法和BCS_SPL算法。其中比OMP算法提高约8 dB，比IRLS算法提高约6 dB，比BCS_SPL算法提高约3 dB。

表1 Lena图像在不同算法下的PSNR值

4 结 语

本文提出了一种基于ADMM的分块压缩感知图像重构算法，首先将图像进行分块处理，其次对初始化的子图像进行滤波处理，再次，对信号进行平滑投影，最后采用BM3D模型对信号进行去噪，并采用ADMM算法求解最终的原始信号。实验结果表明，本文算法的恢复精度优于经典的OMP算法和IRSL算法。同时也与BCS_SPL算法进行对比，本算法在一定程度上有效地克服了噪声对重构图像质量的影响，且具有相对较高的PSNR值。在后续的研究中，可重点研究信号结构对重构效果的影响，同时可以研究相关的主流去噪算法来提升重构效果。