基于桩身三维效应下的大直径桩纵向振动理论分析和数值模拟

李嘉超，杨冬英，李学东

（1.苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011；2.江苏苏州地质工程勘察院，江苏 苏州 215011）

纵观桩基振动理论研究进程中，理论研究的关键点就在于桩土系统振动模型的建立。桩模型由Euler-Bernoulli杆(一维杆)模型[1]、Rayleigh-Love杆模型[2]，逐渐发展到考虑三维波动效应的计算模型[3]，桩侧土模型从Winker模型[4]、平面应变模型[5-6]一直发展到三维连续介质模型[7]。从桩身模型角度看，大量的研究是基于一维杆理论建立的桩身振动模型，经过已有研究表明，当桩的直径尺寸较大时，一维杆理论不能很好地反映三维波动效应。于是，在一维杆理论的基础上，考虑了横向惯性效应，提出了Rayleigh-Love杆理论模型。基于Rayleigh-Love杆理论，Zheng等[8]研究了大直径管桩在粘弹性土层中的竖向动力响应，将该解与经典杆模型解进行比较以验证其有效性。Li、何伟杰等[9-10]分别研究了在非均质土中Euler-Bernoulli杆和Rayleigh-Love杆的纵向振动特性。Li、何伟杰和吴文兵等[11-13]考虑了桩身横向惯性效应的影响，分别研究了不同土质下大直径桩、楔形桩等的纵向振动特性。基于Rayleigh-Love杆理论在一定程度上能反应波在桩身中的三维传播，但还不是真正考虑了桩的三维波动效应，只是通过横向惯性效应来简化三维波动效应，事实上应力波在桩身内是三维传播的，特别是大直径桩中，更是应该考虑应力波的三维波动传播。所以，有部分学者开始考虑桩身三维效应的影响。吴君涛和谭婕[14-15]基于桩身三维效应，研究了桩身横向尺寸较大情况下桩土的波动问题。不过，针对大直径桩与土的耦合振动模型非常复杂，是学术领域争相研究的重点，既能更好反映桩土耦合振动而又能获得相对简单的理论模型，显得更为关键。

鉴于以上分析，考虑桩身三维波动效应的大直径桩要更符合实际波的传播，建立合理又方便应用的大直径桩土模型是研究的重点。本文将土体振动考虑为平面应变问题，研究考虑桩身三维效应下相对更简便实用的大直径桩-土耦合振动模型，并进行此模型下各影响参数对于大直径桩振动特性的影响分析。

1 理论模型与基本假定

1.1 大直径桩-土耦合振动模型

为力求获得考虑大直径桩三维波动效应下较为简单的桩-土耦合作用模型，建立了如图1所示的数学模型，大直径桩长为H，半径为r0。桩顶受到竖向振动力q（t）的作用。桩土计算模型基本假定如下：

图1 计算模型

（1）桩为粘弹性桩，考虑桩身的三维波动效应，桩底采用刚性支承；

（2）桩周土为均质、各向同性的粘弹性介质，忽略土体纵向应力梯度；

（3）桩-土系统作小变形振动，且桩与桩侧土完全接触，没有相对滑移和脱离，即桩身与土体的位移应力保持连续。

1.2 控制方程

（1）土体动力平衡方程。假设土体为平面应变模型，考虑到无穷远处土体位移及应力为0，则可由刚度定义得到土体内任意一点处的竖向剪切刚度

（2）桩体动力平衡方程。基于三维轴对称圆柱的控制方程，建立纵向振动方程

式中：up（z，r，t）为桩内质点的纵向位移；λp、Gp为桩的拉梅常数，λp=Epνp/[（1+νp）（1-2νp）]，Gp=Ep/[2（1+νp）]，其中，Ep、νp分别为桩的弹性模量和泊松比；λp*、Gp*分别为考虑桩身材料阻尼的修正拉梅常数；Dp为桩的滞回阻尼系数，其值与频率无关；ρp为桩的密度。

1.3 边界条件和初始条件

大直径桩桩身外壁边界条件在r=r0时，应满足

其桩顶边界条件在z=0时，应满足

其桩底边界条件在z=H时，应满足

初始条件（t=0时）为

2 问题的求解

2.1 大直径桩控制方程的通解形式

结合初始条件和边界条件，对式（2）和式（5）进行Laplace变换，将其拉氏变换形式记为

采用分离变量法进行分析，令Up=Z（z）R（r），并代入式（2），则有

式中，h2=（Gp*q2+ρpω2）/（λp*+2Gp*），圆频率ω=2πf，f为频率，对式（9）进行求解可得

式中，I0（qr）、K0（qr）分别为零阶的第一类和第二类修正Bessel函数。则桩的振动位移幅值

式中：A、B、C、D均为待定系数。

2.2 待定系数的求解

根据Bessel函数的性质，桩身为三维轴对称杆模型，在圆心位置r=0时，位移为有限值，得出A=0，则有

考虑桩-桩周土的边界连续条件式（4），可得超越方程

求解此方程，可得无穷多个值q，记为qn，则hn2=（Gp*qn2+ρpω2）/（λp*+2Gp*）。

大直径桩的位移函数式（12）即可改写为

式中：Cn、Dn均为与各阶特征值所对应的待定系数。将位移函数式（14）代入桩顶边界条件式（5），同时利用Bessel函数的正交性，在式（5）两边同乘I0（qnr）r，并对大直径桩截面的半径范围内积分，则有

将位移函数式（14）代入桩底边界条件式（6），可令各阶待定系数满足式

桩顶复刚度（即位移阻抗函数，当z=0时）为

由式（18）可得桩顶复刚度无量纲化（z=0）为

桩顶速度频域响应函数（z=0）为

对Hv（ω）进行无量纲化（z=0），可得

设桩顶所受到的半正弦激振力为

式中：T0为脉冲宽度。对q（t）进行Laplace变换，可得

则桩顶速度时域响应为V（t）=IFT[Q（ω）Hv（ω）]，对其进行无量纲化，可得

3 解的对比分析

3.1 与既有解的对比

为验证本文建立的桩身三维效应下大直径桩计算模型的正确性，将本文的模型与Rayleigh-Love杆模型和Euler-Bernoulli杆模型进行对比。取土的计算参数：Vs=1 500 m/s，ρs=2 000 kg/m3，Ds=0.05；桩的计算参数：H=20 m，r0=0.8 m，Ep=40 GPa，vp=0.25，ρp=2 500 kg/m3，Dp=0.02；脉冲宽度T0=1.2 ms。

图2展示了本文模型与Rayleigh-Love杆模型和Euler-Bernoulli杆模型的对比情况。从图2（a）可以看出，本文模型桩底反射波的峰值较Euler-Bernoulli杆（一维杆）模型和Rayleigh-Love杆模型小，虽然反射波开始接受到的时间一致但是其峰值后移，这是由于本文模型考虑了波在桩身中三维传播，能量有所耗散，接受的信号也由于水平向的传播，导致叠加影响而使得波峰值后移。从图2（b）可以看出，在低频范围内，本文模型与两种杆件模型曲线基本一致，但随着频率的增大，三者的差异性逐渐体现，由于Euler-Bernoulli一维杆模型忽略了水平向的波动，共振频率不受水平波动的影响而等间隔出现，但Rayleigh-Love杆模型通过横向惯性效应来简化三维波动效应，本文模型又是严格意义上的考虑三维波动的影响，所以受到水平波动的影响会导致共振间隔逐渐减小。

图2 本文解与既有解的对比

综合来看，本文模型计算结果在反映桩顶动力响应的规律总体上与Rayleigh-Love杆模型和Euler-Bernoulli杆模型规律一致，从而验证了本文模型建立的合理性。但由于桩顶的激振力仍为均布荷载，其计算结果与Rayleigh-Love杆模型十分接近。Rayleigh-Love杆模型通过泊松比来表现它的横向惯性效应达到简化考虑波的三维波动，其可靠性在本文得到了进一步验证，而本文模型严格考虑三维波动效应的影响，其精确性更高，并为此类问题的求解提供一种新的方法与思路，这也是本文模型的优越性所在。

3.2 理论解与数值解的对比

为了进一步验证本文模型建立的正确性，使用ANSYS/LS-DYNA有限元软件进行数值分析，建立模型如图3所示，使用LS-Run进行求解，并利用专门的后处理软件LS-Prepost提取桩顶速度时域曲线。

图3 桩-土有限元模型

由于采用的是三维轴对称杆模型，结构与荷载均为对称形式，则建模时可取1/4结构简化计算，并在对称面施加对称约束。桩顶采用半正弦脉冲激励，桩底模拟刚性支承，即在模型底部施加固定约束。为了消除波的边界反射影响，更合理地反映实际土体，采用无反射边界来模拟无限的土体。模型采用映射网格划分，如图4所示。

图4 数值模型网格划分

首先建立大直径桩-土的基础模型，取值如下：桩长为20 m，桩径为0.8 m。其余桩土材料参数如表1所列。如无特殊说明，下文中桩土参数取值均按基础模型中参数取值。通过理论计算得出理论解，将其与ANSYS/LS-DYNA软件得出的数值解进行对比，见图5。可以看出，理论解与数值解吻合度较高，基本一致。

图5 理论解与数值解的对比

表1 基础模型桩土材料参数

接着，改变基础模型的桩径（r0取0.4、0.6、1.0、1.2 m），分别对相应的桩-土模型进行数值求解，将得到的数值解与理论解进行对比。从图6可以看出，不同桩径下的数值解与理论解能够较好地吻合，变化规律一致，从相互验证的角度可以说明本文模型以及数值模型建立的正确性和可靠性。另外，图6还可以看出随着桩径的增大，桩底反射信号幅值变大，这是由于桩身直径大，桩侧土对桩振动的影响变小，被土体吸收耗散掉的能量少，传到桩顶的信号明显。

图6 不同桩径时理论解与数值解

4 参数分析

4.1 桩身三维效应对桩顶动力响应的影响

为研究桩身三维效应对桩顶纵向振动的影响，在桩顶沿着径向取0、0.2r0、0.4r0、0.6r0、0.8r0、1.0r0等六处节点。图7显示了桩顶径向不同位置处大直径桩的纵向振动特性。从图7（a）可以看出，六处节点的速度时域曲线总体趋势略有差别。随着距中心径向距离的增大，干涉振荡的幅值逐渐减小，并且在处振荡达到最小值。此外，处点的振动相位与处点的振动相位相反。从图7（b）可以看出，由于桩身三维效应的影响，不同位置处点的速度频域曲线上共振幅值存在明显差异，即频域曲线的共振幅值随着距中心径向距离的增大而减小。

图7 径向不同位置对桩顶动力响应的影响（a.桩顶速度时域曲线；b.桩顶速度频域曲线）

4.2 桩径对桩顶动力响应的影响

在其他参数取值不变的情况下,桩径r0取0.4、0.6、0.8、1.0、1.2 m等五种情况。

图8表示桩径不同时大直径桩的纵向振动特性。从图8（a）可以看出，随着桩径的增大，桩底反射波的峰值逐渐增大，反射曲线振荡明显加剧，即桩周土对桩的阻抗作用减弱，应力波在桩身中传播时耗散的能量降低。而且桩径越大，二次反射越明显。从图8（b）可以看出，桩径越大，速度频域曲线的共振就幅值就越大，即能量的耗散损失减慢。且随着频率的增大，共振间隔逐渐减小，共振频率逐渐增大。

图8 桩径对桩顶动力响应的影响（a：桩顶速度时域曲线；b：桩顶速度频域曲线）

4.3 桩身纵波波速对桩顶动力响应的影响

在其他参数条件取值不变的情况下，桩身纵波波速取为3 000、3 500、4 000 m/s等三种情况，无量纲时间是以4 000 m/s传播工况做基准。

图9显示了桩身纵波波速不同时大直径桩的纵向振动特性。从图9（a）可以看出，随着桩身纵波波速的增大，桩底反射波的峰值逐渐增大，反射曲线振荡加剧。此外，由于纵波波速的增大会使得桩身模量增大，能量耗散减小，从而引起桩底反射波接受到的时间变短，即波峰提前出现。从图9（b）可以看出，桩身纵波波速越大，速度频域曲线的共振幅值就越大，且频率越大，共振频率差也越大。

图9 桩身纵波波速对桩顶动力响应的影响

4.4 泊松比对桩顶动力响应的影响

在其他参数取值不变的情况下，泊松比νp取0.15、0.25、0.35等三种情况。图10表示不同泊松比下大直径桩的纵向振动特性。由图10（a）可以看出，随着泊松比的增大，桩底反射波的峰值逐渐减小，反射波有叠加影响，曲线振荡加剧。此外，泊松比越大，应力波在桩身内三维传播时会耗散更多的能量，从而导致桩底反射波接受到的时间变长。此结论与已有基于Rayleigh-Love杆研究[16]的结论一致。从图10（b）可以看出，在低频范围内，泊松比的增大对桩顶速度频域曲线几乎没有影响，但随着频率的增大，在高频范围内，泊松比的影响越来越显著，即泊松比越大，频域曲线的共振幅值越小，且共振间隔也越小。

图10 泊松比对桩顶动力响应的影响

5 结论

（1）本文提出了考虑桩身三维效应下的大直径桩-土耦合振动模型，求解得到桩顶频域响应解析解，并通过卷积定理和傅里叶逆变换得出其时域响应半解析解。

（2）先通过本文解与既有解的对比，初步验证了本文模型的合理性，再利用有限元软件进行数值模拟，将理论解与数值解进行对比，进一步验证了本文模型的正确性。本文采用模型及计算结果为大直径桩纵向振动研究提供了一种新的求解方法与思路，能够更加直观地反映大直径桩的尺寸效应。

（3）在对大直径桩参数影响分析中，得出了三维波动效应考虑的必要性，特别是桩身材料泊松比比较大、桩身纵波波速小、桩径比较大的情况下，三维波动效应的影响比较明显，会影响到桩基动力响应。本文得出大直径桩动力响应规律能为其在桩基抗震防震设计、完整性检测等方面提供理论依据。