多弹协同最优制导律研究

邓海鹏，刘梦焱，马季容，栗金平

(西安现代控制技术研究所，陕西 西安 710065)

1 引言

在导弹飞速发展的同时，导弹防御系统也应运而生，并不断增强，如舰空导弹系统、电子对抗系统和近程防御武器系统(CIWS)。因此，在很多情况下单弹作战很难完成预期的作战任务。近年来，多弹(导弹群)协同作战问题的研究越来越受到世界各军事强国的关注。俄罗斯П-700“花岗岩”超声速反舰导弹[5]与SS-N-19[6]导弹的领弹与攻击弹的攻击方式充分体现了导弹之间的协同作战思想。

为了使多枚导弹协同作战的作战效果最优，一般要求多枚导弹同一时间到达目标，即实现饱和攻击。文献[1]中各导弹通过交互，实现数据共享，并在比例导引律的基础上加了一个时间控制增益项以达到同时到达目标实现饱和攻击的目的。文献[2]中提出了一种弹着时间可控的机动目标多弹协同制导律，它由指定弹着时间和预计弹着时间的误差作为反馈信号与传统比例制导律结合推导得出，该制导律控制导弹可以达到以规定的时间攻击目标的要求。上述两种多弹协同攻击方式，都通过控制攻击时间实现了饱和攻击，但有时为了同时达到精确打击和最大杀伤的目的，还要求导弹从不同的方向同时攻击目标。以上两种制导律都不满足此要求。文献[3-4]提出了基于虚拟导引点的多弹协同作战控制方法和控制多弹协同攻击时间和攻击角度的方法。这两种方法都针对位置协同和攻击角度协同的要求，设计了导引点的圆弧运动轨迹。但都是通过对多枚导弹的位置、攻击角度、攻击时间和攻击速度进行控制实现的。这样给设计带来了方便，但由于控制量中包含速度和角度函数的乘积项，且速度的控制较难实现，所以给控制的实现带来了挑战。另外，由于弹上能源有限，所以控制能量最省也是制导设计中经常考虑的一个性能指标。

2 导弹协同问题数学模型

多弹协同攻击问题就是让多枚导弹通过协作来攻击同一目标以保证目标被摧毁的目的。通常情况下，弹目相对运动关系可以解耦成俯仰和偏航两个平面上的分量运动，为了研究方便，本文只研究偏航平面上的分量运动。本文考虑n枚导弹同时攻击同一目标，偏航平面上的二维弹目相对运动如图1所示。

图1 多弹协同攻击示意图

其中M表示导弹，T表示目标，a表示导弹加速度，σ表示导弹速度方向与弹目连线之间的夹角，ψv表示弹道偏角，q表示弹目连线与参考面之间的夹角。各导弹的初始位置、速度方向以及速度大小可以不同，但要求它们在同一时间并且以一定的攻击角度击中目标，以达到饱和攻击和最大杀伤效果。

多弹协同攻击的对象一般是装备有导弹防御系统大型的静止或慢速移动目标，如军事基地、大型船舰等。其相对导弹可视为静止目标。本文中假设导弹的质量和速度大小不变，加速度方向始终与速度方向垂直，则简化后的导弹的运动学方程为

(1)

式中：x和z表示导弹的位置，v为导弹的速度。从运动学方程可以看出，选取了(x，y，ψv)作为状态向量，a作为控制量。

3 领弹制导律与剩余飞行时间

多枚导弹协同攻击目标时，选择其中一枚作为领弹，其余导弹为从弹。因为要满足同时攻击的要求，选取剩余飞行时间最长的导弹作为领弹，而被领弹通过控制使其在领弹到达目标的同时到达目标，并满足一定的攻击方向要求。

3.1 领弹制导律

在多弹协同作战过程中，从弹要根据领弹的遭遇时间来设计自己的飞行轨迹，所以对领弹剩余飞行时间的计算非常重要。目前比例导引律因其具有的优良特性而在导弹制导方面应用较多，并且针对比例导引律的剩余飞行时间可以较准确的得到，后面给出比例导引律剩余飞行时间公式的推导及仿真结果。这里领弹选择了使用比例导引律。

形式如下

(2)

(3)

弹目视线角速度可表示为

(4)

其中r是领弹与目标之间的距离，并且速度与弹目连线之间的夹角σ满足σ=ψv-q，因此领弹的制导问题可以描述为关于r和σ的形式

(5)

这种形式可以比较容易得到领弹与目标之间的距离，便于下面计算领弹剩余飞行时间。一般来说，当比例系数N选取较大时会对噪声比较敏感，而较小时会导致响应速度慢并且对机动目标制导性能变差的后果。所以比例系数的选取需要设计者具有一定的经验，一般选择在3-5之间。

3.2 领弹剩余飞行时间

关于比例导引律剩余飞行时间的近似计算有几种比较好的方法，在这里引出其中一种用作领弹剩余飞行时间的计算[1]。假设目标静止在x轴上，导弹发射点位于原点，速度方向与x轴夹角为σ，导弹的位置可以用(x，y)表示，如图2所示。则导弹运动学方程如图2所示。

图2 弹目相对运动示意图

在上式中，假设σ较小，速度大小恒定，加速度与速度方向垂直，并用x/v代替t可以得到

(7)

如果用-z/(xf-x)代替目标视线角q，比例导引律可以表示为

(8)

将式(8)带入式(7)得到

(9)

由于假设初始条件为y(0)=0，并且z′(0)=σ(0)，因此可以得到上面微分方程的解为

(10)

对上式子关于x求导可以得到

(11)

式中的轨迹s，可以用下面式子表示

(12)

假设σ(也即z′)是小量，上式子可以表示成

(13)

因此，可以得到

(14)

考虑一般情况，当目标不处在x轴上的时候，也就是把图2绕原点顺时针转动q角度，可以得到比例导引律剩余飞行时间表达式如下

(15)

其中r表示弹目距离，σ表示导弹速度与弹目连线之间的夹角，逆时针旋转为正。

图3 剩余飞行时间估计值变化曲线

图3给出了领弹剩余时间估计值随时间变化的曲线，从图中可以看出，曲线近似可以看作斜率为-1的直线，也就是说剩余飞行时间的估计和真实情况基本相符。

4 从弹最优制导律

在估计出领弹的剩余飞行时间后，要求从弹在领弹遭遇时间的同时按照期望的攻击方向到达目标。设(xt，zt)为目标位置，ψvf为期望的弹道倾角，则要求终端状态矢量为(xt，zt，ψvf)。

因为导弹载荷的限制，所携带的能源非常有限，所以在满足上面所提的终端约束外，可以根据控制能量最省提出如下性能指标函数

(16)

(17)

根据横截条件

(18)

根据上式可以得到

(19)

控制变量不受约束为

(20)

从而最优控制变量为

(21)

因此，最优制导问题转化成了求解拉格朗日乘子的初值问题，得到如下两点边值问题

x(0)=x0，x(tf)=xT

z(0)=z0，z(tf)=zT

ψv(0)=ψv0，ψv(tf)=ψvT

如上两点边值问题解析解很难求得，所以这里选择利用打靶法求出拉格朗日乘子的初始值，进而得到最优控制量。

5 仿真验算

5.1 仿真结果

假设领弹和两枚从弹协同攻击一个静止的舰船，目标位置为(13000m，0m)，三枚导弹的初始参数如表1所示。

表1 导弹初始参数

得到导弹初始参数后，首先根据领弹的初始参数计算出其剩余飞行时间作为从弹到达目标的末态时间；然后再根据各从弹的初始参数，设计满足攻击时间、攻击角度和控制能量最省性能指标的最优制导律。其中重要的一步是计算拉格朗日乘子的初始值，在表1初始参数条件下，根据打靶法利用计算机编程得到拉格朗日乘子初始值如表2所示。

表2 打靶法得到拉格朗日乘子初始值

整个攻击过程可以用如下框图来表示。首先，通过领弹初始参数和目标位置计算出领弹剩余飞行时间；然后，根据从弹的初始参数、目标位置、理想攻击时间、攻击角度以及控制能量最省的指标函数计算得到最优制导律。最后从弹利用设计好的导引律攻击目标。

图4 攻击过程示意图

仅仿真在俯仰方向，领弹采用比例系数为4的比例导引律，从弹采用设计的最优控制器，仿真结果如图5-8所示。两枚从弹的攻击角度和攻击时间如表3所示。

图5 领从弹都采用比例导引的轨迹

图6 采用最优导引的轨迹

图7 从弹加速度

图8 从弹弹道倾角

表3 领弹和从弹攻击角度和时间

5.2 仿真结果分析

1) 从攻击时间分析

如图5，当三枚导弹均使用比例导引律时，其到达目标的时间相差较大，这样便不能实现饱和攻击。

如图6，当领弹采用比例导引律，而从弹采用最优制导律的时候，在飞行时间为45.22 S时，领弹与2枚从弹距目标的距离均很小，可认为3枚导弹同时命中了目标。3枚导弹协同作战的攻击时间由领弹的剩余飞行时间确定，并不需要提前指定，因此，本文中的方法在实际应用时比较方便．

2) 从攻击角度和法向加速度分析

由于领弹采用比例导引律，没有给定理想攻击角度，在此不作讨论。如图7，从两枚从弹的弹道倾角随时间变化曲线可以看出，从弹的最后攻击方向基本和理想攻击方向一致。从图8可以看到，从弹的法向加速度最大值不超过23m/s2，即过载不大于2.3。结合飞行轨迹可以知道，此制导律一般情况下没有其它方法中存在的起始段过载较大的问题。

3)其它问题分析

本文中，领弹采用了常用的比例导引律，领弹也可以采用带有落角约束的任何一种制导律来对它的攻击角度进行控制，只要能较准确估计出其剩余飞行时间，这并不影响本文所提方法的使用。

另外，由于假设目标静止，且领弹利用比例导引律，其在打击静止目标时剩余飞行时间可以比较准确得到，因此，本文中从弹的最优制导律中的拉格朗日乘子只在开始时使用打靶法计算得到，即在开始时就已经确定了从弹的飞行轨迹。但如果目标是移动的，且速度越大，使用本文中设计方法时各导弹达到目标的时间，脱靶量和攻击角度也会有所变化。但此问题可以通过一些方法解决，例如可以在导弹飞行过程中分段使用此方法在前一段飞行的同时计算出下一段的最优飞行轨迹，从而对目标移动带来的误差进行修正，此处不做赘述。

6 结束语

本文针对多弹协同攻击问题，提出了一种基于领弹与从弹思想的最优制导方法。此方法满足各导弹同时到达目标实现饱和攻击的要求，并且可以根据不同的攻击对象设置理想的攻击方向，同时还考虑了控制能量最省问题。控制量仅为与速度垂直的法向加速度，且需用法向过载较小，在工程方面比较容易实现，具有较广阔的军事应用前景。