关于数学多元表征视角下的数学实践活动

韦庆杰

（常州市新北区新桥实验小学，江苏常州 213000）

随着新课改不断推进，对小学数学教学提出了更高的要求，传统教学模式显然很难满足，所以需教师积极创新和改革。不过因为应试教育的影响，导致很多教师在教育教学中依旧采用灌输式教学手段，并且观念也比较落后，过分看重学生的考试成绩，对其他方面比较忽视，这样导致数学课堂显得十分枯燥无趣，阻碍学生学习热情的提升，教学效果自然也很不理想。而基于多元表征理论视角进行数学实践活动的设计开展，则能很好解决传统教学中的弊端，促进学生认知结构不断完善，帮助学生形成良好的数学素养，为其今后的学习与发展奠定扎实的基础。

一、数学表征概述

表征是认知心理学中的重要概念之一，不过当前有关表征的界定却多种多样。其中比较典型的一种描述为：“能够反复指代某一事物符号的形式，将一种事物、知识重新进行体现，是将一个表征世界与被表征世界的某种元素或者是特性构建起来的对应关系。”而对数学表征而言，则是说问题解决者在处理某一问题的时候，与另一个比较容易理解的问题搭建起来的映射过程[1]。具体体现为在特定的情境中，可以说明和辨别的以特定表征形式出现的知识，而且还能结合实际要求去应用或者是转换成其他形式的表征，最终实现问题的解决。从类型角度上来说，数学表征具体可以分为形象与抽象表征、内外部表征等。

除此之外，还有一些研究者将数学学科内比较常见的一种表征形式分为文字表征、符号表征以及操作性表征等。就其中的符号表征而言，具体就是指借助一些数学符号形式进行问题的解决；文字表征则是说将问题合理转变成为文字形式，然后在此基础上进行问题的处理；操作性表征是指将问题转变成为实际操作，然后解决。在具体应用中，需要教师结合实际情况合理选择，这样才能将其作用更加充分地发挥出来，促进学生更加有效地学习，达成理想的教学目标。

二、数学多元表征视角下的数学实践活动组织设计必要性

就当前情况来看，欧美一些国家早已经重视数学表征，就美国而言，2000年公布的《学校数学课程与评价标准》便提到了表征，同时还强调在教育教学中，应该实现表征多元化。新加坡在2007年的基础教育课程改革中也提出了表征概念，同时强调在问题解决中，应该应用多种表征合理解释[2]。鉴于此，根据我国实际，笔者觉得多元表征教学的必要性具体表现在以下几方面：

（一）认知负荷理论的必然结果

认知负荷理论最早是由澳大利亚心理学家所提出，具体就是指人在信息加工中需要耗费心理资源总量。唐剑岚在研究中觉得，可以将认知负荷分为三部分，分别是有效认知负荷、内在认知负荷以及外在认知负荷。就其中的有效认知负荷而言，主要是说工作极易对认知任务实施的实质性认知操作而承受的符合，这里所讲的实质性认知操作主要是指形成图式建构和图式自动化相关的活动。从认知负荷理论角度上来说，需要教师在教学实践中尽可能提升有效负荷，降低其他两者负荷[3]。对数学学科而言，有着一定的抽象性与复杂性，所以学生学习理解起来存在一定的难度，如果教师一味进行言语表征，会增加学生学习中的无效负荷。而合理创设多元表征，则能将复杂抽象化的概念合理进行分解，进而有效降低学生的学习难度。同时，这样还能帮助学生构建新旧知识间的联系，降低外在负荷，提升有效负荷，促进学生学习效率更上一个台阶。

（二）数学智慧课堂的必然选择

在数学课堂上，学生所学的并不是简单的知识，更为重要的还是在知识探寻中萌发的智慧。这里所讲的数学智慧并不是说让学生简单做几道数学习题，而是属于缄默知识的范畴，以数学思想方法的领悟、思维生成等当内隐的一种表达形式。要想使学生形成良好的数学思维，最为首要的任务便是构建数学智慧课堂。数学智慧课堂存在和谐性、多向性以及探索性等特征。对数学信息的多元化表征具体就是对数学信息多方面的解释过程，把知识当作核心，使各种表征方式统一和谐。除此之外，多元表征具体是以数学探索当教学形式的，主要目标就是生成数学智慧[4]。需要认清的一点，数学多元表征是以多种形式将知识表征出来，看起来会复杂化课堂教学设计，其实不然。多元表征能够促进数学智慧的生成，使得学生在数学思想感悟方面变得更加简约，有效加深学生对知识的理解，推动教学质量有效地提高。

（三）为问题的解决提供良好平台

正确的问题表征是数学问题解决的重要前提，不论是解决基于文字信息还是生活中的数学问题，在具体处理中都得先提取自身认知结构中的相关信息，然后进行问题的表征。不同的表征方式在问题解决中，一般能够达成不一样的效果。数学问题有着抽象性和复杂性，因此在实际解决中，如果只采用一种方式表征问题，往往只能解释问题的一个方面，不能透彻体现出问题本质。而引入多元化表征方式则能很好解决这一问题，从多方面解释问题，学生更加全面地掌握数学知识，达成理想的教学目标。

三、小学数学课堂教学中亟需改善的问题

（一）教学观念有待更新

虽然在我国新课程标准中针对小学数学课堂教学提出了相应的教学理论指导思想和方法，但不论任何一种先进的教学思想和方法要想在教学实践中得到广泛应用和认可，都必须要经过较长一段周期，因而，目前多数小学数学教师依旧是以传统教学理念为指导思想，所采取的教学方式也主要以灌输式、说教式为主，很少会引导学生对数学知识和问题进行主动思考和探究，进而影响到学生数学思维能力的发展。并且长期受到这一教学指导思想的影响，学生在数学学习过程中也会对教师产生较大的依赖性，遇到问题很少会主动思考，而是选择放在那里等教师讲解，或是向教师寻求帮助，这对学生数学学习能力的提升是非常不利的。

（二）教学方式使用不当

在新课改背景下，越来越多的先进教学手段和方法被引入小学数学课堂中，在一定程度上丰富了数学教学的形式。但由于部分小学数学教师对于这些先进数学教学方法的认知不够全面，导致他们在使用这些教学方法时存在一定的盲目性和随意性。以数学多元表征教学为例，部分教师在使用时，未能充分考虑小学生的认知特征和发展需求，所采取的表征方式不合理，导致学生不能利用已有的知识经验，将数学问题表征成自己所熟悉的内容，进而影响数学多元表征教学的效果，限制学生数学学习能力的提升。

四、数学多元表征视角下的数学实践活动开展措施

（一）深入挖掘有价值的资源

数学这门课程属于思维性学科，所以需要学生应用自己的思维能力进行新知识的建构，并在建构中实现数学思维的发展。就教育心理学角度上来说，在新知识学习时，学生首先就得进行知识内容的表征，如果新知与原有认知结构没有过多的矛盾，学生便能直接应用同化的方式将其纳入自身认知结构中[5]。如果两者存在一定的差异性，学生在新知表征中往往会存在一定的难度，需要进行原有认知结构的重组与改造。而在这类新知学习中，合理引入多元化的表征方式，将能很好降低学生的学习难度，减轻他们的学习负担。在此过程中，需要教师对知识本质展开深层次的分析，并且应用开放性思维进行多元化表征方式的开放。

以“千米和吨”这节知识教学为例，这两个概念其实并不是很难，不过学生在选择单位填空的时候时常会出现错误，这就代表着学生对该部分知识理解不够透彻。在教学实践中，学生时常会以学校跑道的圈数与百米赛跑圈数、1千米的关系构建相应的等式。不过因为千米离学生的生活经验有着一定的距离，所以学习学习理解起来存在一定难度。在多元表征理论视角下，教师可以在教学前让学生走一千米的路程，并要求他们走完之后记录时间和感受，如腿酸、很累等，这样便能实现概念的体验化表征，有效加深学生的理解，进而在下次遇见类似问题的时候，能够有效解决。

（二）借助多元表征强化学生数感

数感是小学生必须具备的一项数学能力，良好的数感能够帮助学生更好地理解生活中数的意义，把握具体情境中的一些数量关系。不过需要注意的一点，数感是对数的一种感悟，不像知识技能学习那般可以立竿见影，而是学生在不断学习中进行经验的积累，然后逐渐得到提高。针对此，教师在日常教学中应该清楚认识到这一点，采用合适的方式进行引导。

例如在《找规律》这节知识教学中，本质上就是培养学生的数感。针对此，教师在教育教学中可以合理引入多元表征，这样能够强化学生对数感的感悟，加深他们对本课程知识的理解。在课程开始的时候，教师可以创设这样的情境：小兔子在家中玩拼图游戏，第一次拼的是三行一列，第二次是三行两列……，第十次是三行十列。之后提出问题：“小兔子几次拼的图形一样吗？有什么不同和变化？”这时很多学生都能回答出正确答案，本环节主要目的就是借助语言表征、图形表征使学生初步认识到数列的规律。之后，教师可以让学生应用不同的表征形式将自己理解的内容呈现出来，可以采用算一算、圈一圈等方式。学生应用不同的表征形式找到规律的时候，教师可以组织学生进行规律的朗读，以便进一步加深学生的记忆，促进学生数感的有效形成，提升教学质量。

（三）通过多元表征帮助学生理解数学概念

数学概念有着复杂性与抽象性等特点，蕴含着非常丰富的内涵，是学生数学学习的重要基础。可以说，所有数学规则的研究与应用，都依赖于数学概念。针对此，数学教师需要加强对其的重视，合理开展数学概念教学。不过就实际情况来看，部分教师因为传统教学观念的影响，在教育教学中依旧采用灌输式教学手段，具体就是自己简单讲解，然后让学生机械背诵，这样导致学生知其然而不知其所以然，而且时间久了还很容易遗忘，不利于教学目标的达成。而通过多元表征方式则可以很好解决这一问题，加深学生对数学概念的理解。

例如在《除法》这节知识中的“有余数除法”教学中，教师帮助学生构建概念的多元表征，同时结合具体需要引导学生灵活地转换。首先，教师可以通过符号、动作等表征方式的转换帮助学生理解有余数除法和余数的概念含义。其次，在课堂上，以学生熟悉的小棒摆图形情境引入新课，具体就是让学生利用自己手中的小棒摆出相应的图形，然后看看剩余多少。最后，学生对摆图形的结果合理分类，分别是有剩余和没有剩余。学生借助操作表征和言语表征之后，教师便可以进入算式表征，这样便能将本课程的本质呈现出来，有效加深学生对知识的理解与掌握，提升教学质量。

（四）借助多元表征帮助学生理解算理

在应试教育背景下，数学教师在教学中往往比较看重立竿见影的教学训练，进而在课堂教学中一味采用灌输式教学手段，让学生大量做题，这样导致数学学习比较枯燥无趣，影响学生学习兴趣的提升。以计算教学为例，教师一般都是设计大量的练习，旨在帮助学生更好地掌握算法。这样虽然能够短时间看到效果，不过对学生长期发展有着很大的不良影响，阻碍学生真正地理解算理。

在两位数加一位数进位法这一知识点教学中，为了达成理想的教学目标，教师不仅可以为学生提供小棒，还有方格纸。看起来简单的两种学具，其实能够发挥大作用，促进数学学习方法的逐渐渗透。之后，教师可以为学生呈现一些比较典型的例题，然后让学生通过多种计算方法进行解答，比比哪个学生提出的方法最多。在好胜心驱使下，能够使学生的思维一直保持活跃的状态。而且，这样体现的很多计算方法是学生通过具体操作获得，而不是教师硬塞的，所以学生的理解将会更加深刻，为学生今后的数学学习做好铺垫，有效强化学生独立探究与迁移的能力。

五、结束语

综上所述，基于多元表征进行数学实践活动的组织设计十分必要，有助于增强学生对数学知识的理解，促进学生核心素养的形成。可以这样说，数学理解离不开多元表征教学，而这就需要教师积极转变传统教学观念，加强对多元表征的分析，认清其特点和优势，然后结合教学目标与要求合理进行教学活动的设计，这样便能将多元表征的作用更好地发挥出来，使得学生可以形成良好的认知结构，为其今后的数学学习与发展奠定扎实的基础。