计及多重不确定因素的柔性互联配电网极限线损计算方法

张真，欧阳森，杨墨缘，吴晗

（华南理工大学电力学院， 广州 510640）

0 引言

柔性互联配电网能提高新能源消纳率、降低线损以及提高可靠性，是配电网发展的主要形态［1-4］。柔性互联配电网发生故障时其网架呈现多变性，柔性软开关（soft open point， SOP）所产生的谐波因负载率变化而呈现不确定性，此外，新能源、负荷的随机性比传统配电网更强烈，这些不确定性因素影响柔性互联配电网极限线损的准确性。

柔性互联配电网可实现合环运行［5］，使得配电网故障时的网架结构具有多变性［6］，且各支路故障率与支路元件类型和运行时限相关呈现时变性。文献［7］讨论了系统支路发生断线故障会造成电压越限和支路过载，各支路故障率恒定且相同。文献［8］分析出支路故障对系统概率潮流影响较大，计及支路故障才能贴合实际，其各支路的故障率不同但仍为定值。文献［9-10］考虑了支路元件故障的概率随运行时间而变化，但其应用于配电网可靠性评估方向。综上，现有柔性互联配电网极限线损研究缺乏对支路元件类别以及支路元件故障率时变性的考虑。本文着重考虑断线故障导致的网络结构的多变性对系统损耗的影响，后续故障均为断线故障。

SOP加重了系统谐波电流的畸变程度，其注入谐波电流含量随直流侧负荷功率变化而呈现随动性［11］。文献［12］讨论了网架结构变化使得系统谐波电压畸变率增大，同时认为谐波含量恒定且仅与谐波源类别有关。文献［13-14］考虑了分布式电源（distribution generation， DG）出力的波动性使其注入的谐波电流幅值等具有不确定性，未涉及SOP的功率波动对谐波电流的影响。文献［15］采用半不变量分析各次谐波电流幅值不确定性的影响，但谐波含有量设为定值且主观性过强。综上现有研究未考虑网架变化时SOP传输功率波动与注入谐波电流含量的关系，及其对损耗计算的影响。

针对新能源及负荷波动问题，现有文献已针对两者相关性展开讨论。文献［16］探究出不同风电场风速相关系数会影响概率潮流的计算误差；文献［17］分析随机变量相关性对可靠性评估的影响，当未考虑相关性时其计算结果与实际偏差较大；文献［18］考虑了分布式电源及波动负荷的随机性与相关性在不同场景下对概率无功优化的影响。上述文献未涉及配电网柔性互联前后随机变量相关性变化对极限线损的影响。

现有极限线损计算方法［19-22］均无法处理上述多重不确定因素的情况，且不能适用于柔性互联配电网。本文采用改进Weibull分布拟合元件故障率，进而建立反映支路故障率时变性的概率分布模型，利用灵敏度法简化支路故障率变化后的线损计算过程。为表征网架变化后谐波含量的波动，建立谐波电流含有率与换流器直流侧负荷功率的关联模型。为处理变量相关性引入Nataf逆变换对三点估计法（three-point estimate method， 3PEM）进行改进，并结合故障率概率模型和谐波含有量模型构建适用于多重因素下柔性互联配电网极限线损计算方法，以改进IEEE33节点系统为例，结果验证了所提计算方法的准确性。

1 支路故障率的概率分布模型

柔性互联装置的接入提高了系统的可靠性，当系统某一支路发生故障时，各换流站可快速协调相应的策略为失电的区域供电。为分析网架多变性对系统损耗的影响，本文作以下假设：1）支路故障集中任意一条或多条支路发生断线故障时，不会导致系统解裂；2）所有支路发生断线故障的概率均相互独立；3）多条支路同时故障的概率极低，本文注重单条支路故障对线损的影响。

采用Weibull分布对全生命周期内各元件的故障率进行建模，元件故障率的表达式为［10］：

式中：μ、ν分别为元件特征寿命和形状参数。本文采用分段式构造法将故障率分为3段，分别表示故障率前期迅速下降、中期稳定、后期上升的趋势。考虑到形状参数ν＞ 2时，故障率上升过快［11］；而ν在［1，2］内曲线呈现“上凸”趋势与元件老化后故障率加速上升的事实不符，故本文对故障率分段模型进行改进如式（2）所示。

式中：K1、K2、K3分别为修正系数；T1、T2、T3分别为元件投入运行到“磨合期”、“平稳期”以及“老化期”结束的时间周期；ν1、ν3分别为元件不同时间周期对应的形状参数。

各支路故障率与元件类别和运行时限有关，支路元件可分为变压器、线路以及SOP 3类，采用改进的分段Weibull分布构造这3类元件的故障率浴盆曲线，元件的故障率分布如图1所示。

图1 支路故障率分布Fig.1 Probability distribution of branch failure rate

由图1可知，元件在全生命周期内的故障率具有时变性，尤其在“磨合期”与“老化期”期间变化迅速。为描述支路元件故障率的时变性，本文采用简单随机抽样法（simple random sampling， SRS）建立元件故障率的概率分布模型，将支路元件故障率分布作为采样的稳定分布，对运行年限进行关联抽样，并将元件故障率波动范围进行N等分，各等分区间故障率均值的概率为采样点落在该区间的概率。如图2所示，概率分布模型融入了元件故障率时变的不确定性信息。

图2 全寿命周期元件故障率的概率分布Fig.2 Probability distribution of component failure rate in life cycle

依据元件的故障率概率分布曲线特性，为提高精度本文采用两指数分布叠加构建元件故障率的概率分布模型，在95%置信度下，可表示为：

式中：f(λ)为元件故障率的概率分布函数；a1～a5分别为拟合参数；λ为元件故障率。

依据各支路类型选择故障率概率分布函数，对其进行抽样得支路故障率向量为R=[rl1，rl2，…，rlN]，假设系统存在N种故障运行拓扑，则损耗概率分布floss可表示为：

式中：rli(i=1，…，N)为支路li的抽样故障概率；fli，loss为支路li故障后系统损耗概率分布。

2 不确定性谐波含量的计算模型

为计算网架结构发生变化时系统谐波损耗的概率分布，本文将DG并网换流器和SOP内的换流器作为主要的谐波源。换流器产生的谐波与其运行工况相关，谐波含有率随网架的变化而变化。

谐波源的谐波含量可通过其注入的谐波电流比例来表征，当系统和换流器均三相对称时，换流器的h次谐波电流与基波电流之间的关系为［22］：

式中：I1m、Ihm分别为基波和h次谐波电流幅值；γ0为换相角。当电网中换流器均为六脉波，且DG并网变压器均采用Y/△联结方式，此时电网只包含6k±1（k=1，2，3，…）次特征谐波，且高频谐波含量低，因此谐波损耗主要取决于低频谐波（h=5，7，11，13）。

由式（4）可知注入的谐波电流大小随γ0的增大而减小。考虑变压器漏感时换相角可由控制角表示：

式中：α为控制角；Iload为直流侧电流；Uac为交流侧相电压；XS为交流侧变压器漏电抗。

由式（6）可知，控制角一定时，漏感的存在以及直流负荷电流的增加均会使换流角减小，即特征谐波含有率减小。直流电压恒定时，特征谐波含有率与换流器的传输功率呈现反比关系。当柔性互联配电网的网架结构发生变化时，对DG并网换流器的并网功率影响较小，但网架结构的变化会导致系统潮流发生显著改变，同时SOP内换流器的转供功率也将变化，其注入到电网的谐波电流随之变化。

考虑到谐波含有率与诸多因素有关，对于DG产生的谐波可通过换流器的谐波电流波谱确定［23］，具体公式为：

而对于SOP内换流器所产生的谐波电流注入量应考虑其因网架结构变化而导致的功率波动，结合式（5）—（6）分析可得SOP内换流器产生的谐波电流注入量为：

式中：Pload为直流负荷功率；Udc为直流电压；Uac为换流器交流侧电压幅值；α为控制角。由式（8）可知，一定条件下换流器注入系统的谐波电流含量随着其负载功率增大而减小。如图3所示，通过仿真获得换流器功率与谐波电流含有率的关联曲线，随着直流负荷功率的增加，谐波电流含有率呈现先快速下降，后趋于平滑的趋势。

图3 换流器谐波电流含有量曲线Fig.3 Harmonic current content curves of converter

通过采用傅里叶级数分析，利用三角函数构建各次谐波电流含有率与负载率的关联模型为：

式中：fh（·）为h次谐波电流含有率分布函数；βSOP为SOP内换流器的负载率；bhi（i=1， 2， 3）为h次谐波电流含有率波形的展开系数；ωh为振荡频率。

对于第ζi种网架拓扑，通过基波确定SOP内换流器的负载率，依据式（7）、（9）可确定拓扑ζi中谐波源h次谐波电流注入向量，节点谐波电压为：

式中：Uζi，h、Yζi，h、Iζi，h、Zζi，h分别为第ζi种网架拓扑中h次谐波电压向量、谐波导纳矩阵、谐波电流向量和谐波阻抗矩阵。

系统所产生的谐波损耗可计算得：

式中：Pζi，lossh为h次谐波损耗；Ω为系统支路集；Pζi，lij，lossh为支路lij产生的h次谐波损耗；M为节点数量；Uζi，h，i为节点i的h次谐波电压有效值；Zζi，h，ij为支路lij的h次谐波阻抗。

3 基于Nataf逆变换的三点估计法

鉴于采用蒙特卡洛模拟法和交替迭代法计算交直流概率潮流时计算量大且计算效率低；而采用半不变量法难以应对交替迭代过程中多系统同时包含随机变量的情况，因此本文基于3PEM建立柔性互联配电网极限线损计算方法。

为满足点估计法输入变量需相互独立的需求，本文用Nataf逆变换处理变量的相关性［24］。已知m个原始随机输入变量X=［x1，x2，…，xm］的累积分布函数为Fi（xi），依据等概率原则的求得对应标准正态分布的随机变量Y=［y1，y2，…，ym］，各元素计算如式（12）所示。

式中Φ-1(·)为标准正态累积分布函数的逆函数。

同时依据变量X的相关系数矩阵ρx求解变量Y的相关系数矩阵ρy，该矩阵中的量为：

式中：ρx，ij为变量xi与xj的相关系数；ρy，ij为变量yi与yj的相关系数；φ2(·)为二维标准正态联合概率密度函数；μi、σi分别为变量xi的期望值与标准差；μj、σj分别为变量xj的期望值与标准差。

对ρy进行Cholesky分解求得下三角矩阵B。

依据矩阵B和标准正态随机变量Y求得独立的标准正态分布变量Z=［z1，z2，···，zm］如式（15）所示。

上述Nataf正变换可将任意分布的随机变量转化为独立的标准正态分布随机变量。本文考虑基于Nataf逆变换构造服从任意分布的相关随机变量样本点，原始随机变量通过式求（16）得。

基于Nataf逆变换的三点估计法计算步骤如下。

1）确定输入随机变量X=［x1，x2，···，xm］及相关系数矩阵ρx，通过式（13）求解标准正态随机变量Y的相关系数矩阵ρy，通过Cholesky分解得矩阵B。

2）依据三点估计法原理确定独立标准空间下估计点的位置系数和权重系数。同时标准正态分布下变量Zi的估计值为所对应权重系数分别为 1/6、1/6、（1/m-1/3）。以向量Zi，k=［0， 0，zi，k， 0，0］T形式组成点估计矩阵Zr=［z1，1，z1，2，···，zm，1，zm，2，z2m+1］。

3）根据式（16），进行Nataf逆变换求得Zr所对应的原始变量空间下点估计矩阵Xr=［x1，1，x1，2，···，xm，1，xm，2，x2m+1］。

4）Xr的每一列代表1个所有随机变量确定的状态，因此可提供2m+1个极限线损计算样本。

4 计及多重不确定因素的柔性互联配电网极限线损计算流程

为考虑随机变量相关性、谐波含有率不确定性以及支路故障率变化对线损的影响，本文结合支路故障率概率模型和谐波关联模型对基于Nataf逆变换的3PEM进行改进，计算步骤如下。

1）初始化。针对含有b条支路的柔性互联配电网，遵循系统不解裂的原则可确定包含n条故障支路的集合L=｛l1，l2，···，ln｝，加上系统正常运行情况，获得网架故障集合Θ= ｛ζ1，ζ2，···，ζn，ζn+1｝，初始化系统元件参数。依次对第k种拓扑进行分析，且当k=1时，拓扑为系统正常运行的拓扑结构。

2）更新拓扑ζk的系统参数。包括节点负荷的增减以及节点编号修正，DG、支路参数更新等。

3）随机变量相关性处理。依据原始变量Xζk的相关系数矩阵ρx和累积分布函数计算标准随机变量Yζk的相关系数矩阵ρy，并通过Cholesky分解获得B。基于3PEM原理计算估计点值和相应权重系数，并形成样本矩阵Zζk，r，依据Nataf逆变换求得原始变量空间的计算样本矩阵Xζk，r。

4）基波损耗计算。选取Xζk，r第i列样本点进行确定性的交直流基波潮流计算，本文采用交替迭代法［25］进行求解，其中SOP内换流器损耗模型为：

式中：Pclossv为第v台换流器有功损耗；I˙cv为流过第v台换流器的交流电流向量；d1cv、d2cv、d3cv分别为换流器损耗系数，本文取0.001、0.004、0.002。

计算系统总损耗并保存相关计算结果。

若系统为故障运行状态，本文采用灵敏度法分析支路断线情况，在故障支路ij两端分别虚拟注入ΔPi+ΔQi和 ΔPj+ΔQj的功率增量来模拟支路开断，模拟断开而注入的功率增量与故障前线路功率Pij+Qij和Pji+Qji需满足灵敏度方程为［26］：

式中：I4×4为单位矩阵；T′4×4为支路功率与节点负荷的灵敏度矩阵子矩阵；元素参考文献［7］。

5）谐波损耗计算。依据基波功率和电流通过式（7）和式（9）确定各谐波源的谐波含有率，同时本文采用诺顿等效的解耦法求解谐波损耗，保存该样本点下系统谐波损耗计算结果。

6）求解综合损耗概率分布。当满足i＞2m+1时，依据2m+1次的计算结果和相应权重求得基波和谐波损耗期望值和方差，否则返回步骤4），且i=i+1。然后通过叠加获得综合损耗的样本点，采用Cornish-Fisher级数求得基波、谐波以及综合损耗的概率分布分别为fζk，loss、fζk，lossh、fζk，Tloss。

7）稳定性判断。判断拓扑ζk下节点电压的越限概率及支路过载程度是否满足稳定运行条件，如果是则保存fζk，Tloss至集合Λ；否则返回步骤2），且k=k+1。

8）极限线损求解。当k＞n+1时，即遍历完集合Θ中所有拓扑，获得N个有效的综合线损概率分布，即集合Λ={fζΛ1，Tloss，fζΛ2，Tloss，…，fζΛN，Tloss}。结合式（3）并采用蒙特卡洛法对支路的故障率进行有限次q次抽样，第j次支路故障率抽样向量Rj=[rlΛ1，j，rlΛ2，j，…，rlΛN，j]，结合全概率公式求得为计支路故障率变化、谐波以及变量相关性因素下系统的综合线损概率分布fsys，loss，公式如式（19）所示。

本文置信度取95%，计及多重不确定因素的柔性互联配电网极限线损计算流程如图4所示。

图4 基于3PEM的柔性互联配电网极限线损计算流程Fig.4 Calculation process of limit line loss of flexible interconnected distribution network based on 3PEM

5 算例分析

在主频2.7 GHz、内存8 GB的计算机上采用MATLAB 2018A对改进的IEEE 33节点配电系统进行仿真分析。如图5所示，系统包含34条支路，SOP1、SOP2分别将节点12、22，节点25、29进行互联，背靠背型换流器采用文献［23］的控制方式3和4相结合，可作无功功率支撑，系统分别接入一个风电场和一个光伏组件。系统用户负荷采用正态分布描述，期望值为原负荷值，波动系数为0.2，互相关系数为0.8；光伏有功出力服从Beta分布，α=0.68、β=6.78；风电风速模型服从双参数Weibull分布，k=20.14、c=11；无功功率可通过恒功率因数0.95确定，风光相关系数为-0.5，并将SOP和DG接入点设为谐波源，谐波电流含有率拟合参数如表1所示。

图5 基于改进IEEE 33节点系统的柔性互联配电网Fig.5 Improved flexible interconnected distribution network based on IEEE 33-bus distributed system

表1 SOP谐波电流含有率分布参数Tab.1 SOP harmonic current content distribution

5.1 系统正常运行时潮流分布

柔性互联配电网拓扑机构未发生故障时，DG接入前后节点电压和支路有功分布曲线如图6所示。节点电压的期望值随着潮流流向而逐渐减小，波动性随之增大；电网首端输出有功功率最大且不确定性也最大。DG接入后节点18、33后的电压期望值和方差均增大，支路17、32出现反向潮流且方差显著增加，DG接入后线损期望值减小，方差增大。

图6 DG接入前后对电压和有功功率分布的影响Fig.6 Influence on voltage and active power distribution before and after DG connection

5.2 随机变量相关性对线损的影响

系统正常运行情况下，对比交流系统和柔性互联系统，考虑相关性前后的计算结果如表2所示。考虑相关性后节点电压期望值会减小，损耗期望值和所有状态变量的标准差会增大；这说明变量相关性会增强系统内的能量波动程度。此外交流系统引入柔性互联装置后，改善了电压水平并降低了损耗，同时状态变量的标准差显著减小，说明柔性互联降低损耗的同时提高系统的稳定程度。其中原PQ节点12、29柔性互联后转换为PV节点。

表2 计及相关性和柔性互联前后的状态变量Tab.2 State variables before and after considering correlation and flexible interconnection

如图7所示，当负荷间相关系数从0逐步增加至1.0，风光之间相关系数不变时，交流系统与柔性互联系统的损耗均值分别从167.68 kW、117.61 kW增大到176.21 kW、131.21 kW，分别增大了5.09%、11.56%，这是因为随着负荷相关性的增强，负荷的相关性出力使得系统出现轻载和重载的概率增加，经济运行的概率降低，导致损耗增加。同时负荷相关系数的变大，使得损耗标准差均增大了4倍左右，说明负荷相关性增大了系统内部能量的波动，增加了系统损耗的不确定性程度。在配电网极限线损计算过程中，若不考虑相关性，分析结果将严重偏离实际情况。

图7 负荷间相关系数对损耗均值与标准差的影响Fig.7 Influence of correlation coefficient between loads on loss mean and standard deviation

5.3 谐波含量不确定对线损的影响分析

系统正常运行且考虑变量间相关性时，求解各次谐波损耗的概率分布曲线如图8所示。图8（a）为计及不确定性谐波时各次谐波损耗的概率密度曲线，谐波损耗的期望值和方差随着谐波次数的增加而减小，因存在相关性使得谐波损耗向增大方向波动。对比基波、确定谐波以及不确定谐波3种情况下总线损的概率分布，如8（b）图所示，确定谐波含有率情况下总损耗的期望值增大，但对标准差的影响不大，然而考虑不确定性谐波含有率后不仅总损耗的期望值会增大，还会增大其波动标准差，使得系统损耗曲线发生畸变。

图8 各次谐波损耗及不同情况下总损耗的概率分布图Fig.8 Probability distribution diagram of each harmonic loss and total loss under different conditions

如表3所示，计及确定谐波后总损耗期望值增大了2.10%，标准差不变；计及不确定谐波后损耗期望值增大了3.94%，标准差显著增大14.95%。这是由于负荷波动引发SOP负载率变化，通过式（9）求得谐波含有率随之变化，其所产生的谐波进一步增大了系统内的能量波动程度。

表3 计及谐波后线损的概率分布Tab.3 Probability distribution considering harmonic line loss

5.4 支路故障率变化对线损的影响分析

依据系统不解裂的原则确定了网架故障集合Θ，考虑相关性和谐波情况下，采用灵敏度法求得总损耗的期望值和标准差如表4所示，故障支路前传输功率越大，故障后系统线损增大越显著。

表4 网架变化下总损耗的概率分布Tab.4 Probability distribution of comprehensive loss under different grid structures

如图9所示，对比正常、网架变化以及支路故障率变化3种运行状态下，总损耗的累积概率分布。相较于正常运行，网架变化后使得总损耗向增大的方向显著波动，且该波动变化程度大于进一步考虑支路故障率变化后总损耗的波动变化程度，一方面由于网架变化考虑了各种支路故障导致线损增大的情况，增大了总损耗的期望值和标准差，另一方面支路故障率处于“平稳期”的概率相对较大，且处于非平稳期的概率较小，即故障率处于增大情况的比率较小，因此故障率变化对总损耗波动的影响较为有限。

图9 计及故障率变化综合损耗的累积概率分布Fig.9 Probability distribution of comprehensive loss considering the change of failure rate

设极限线损的置信区间为95%，上述3种运行情况下的计算结果如表5所示，网架变化使得线损极小值、极大值分别增大1.82%、12.88%，支路故障率变化后使得线损极小值、极大值分别增大2.69%、20.78%。考虑支路故障率变化对柔性互联配电网的极小值影响较小，对极大值影响较大。

表5 考虑支路故障变化下柔性互联配电网的极限线损Tab.5 Probability distribution of comprehensive loss under different grid structures MW

以10 000次Monte-Carlo计算结果为基准，对比传统3PEM和本文方法，计及多重因素下3种方法求解的总损耗概率分布如图10所示。如表6所示，传统3PEM求得状态变量的期望值和标准差误差大，而本文方法所求结果的误差均低于2%，计算速度显著快于Monte-Carlo法，但稍慢于传统方法，这是因为传统方法省略了相关性和谐波损耗等计算过程。综上本文方法更适用于柔性互联配电网考虑多种因素下极限线损的计算。

表6 计及多重因素下算法计算结果对比分析Tab.6 Comparison and analysis of calculation results error

图10 计及故障率变化综合损耗的概率密度分布Fig.10 Probability distribution of comprehensive loss considering the change of failure rate

在柔性互联配电网计及网架变化和谐波的极限线损计算过程中，有助于实现线损异常网架以及故障线路的快速排查，推动线损管理时网络薄弱环节的巡查工作，也为供电企业制定线损考核指标提供参考。

6 结论

本文考虑变量相关性、谐波的不确定性以及支路故障率对柔性互联配电网极限线损的影响，建立了适用于考虑多重因素下柔性互联配电网极限线损的计算方法，通过算例分析得到如下结论。

1）负荷相关性会增大了系统内部能量的波动，系统损耗的期望值和标准差随相关系数呈现线性递增的趋势，标准差增加更为显著。

2）谐波损耗的期望值与方差随谐波次数增高而降低。确定性谐波仅改变线损期望值，而谐波的不确定性会使损耗的期望值与标准差增大。

3）网架变化后使得总损耗向增大的方向显著波动，波动标准差显著增大，且该波动增大的程度高于进一步考虑支路故障率变化对总损耗所增加的波动程度。同时在上述3种因素中支路故障率变化对总损耗的影响最大。

4）通过误差对比分析可知，本文方法计算精度高、计算速度快，较好的适用于考虑多重因素下柔性互联配电网极限线损的计算。