单自由度主动磁悬浮轴承的协同控制

王文军，竺志大，曾励，寇海江，唐率，孙帅

(扬州大学机械工程学院,江苏扬州 225127)

0 前言

磁悬浮轴承(Active Magnetic Bearing，AMB)支承转子系统是一个非线性系统，很多控制方法都是先进行线性化等简化处理再进行控制，其中最经典的就是PID控制[1]。它建立在精确数学模型的基础上，具有结构简单、稳定性能好、可靠性高等优点，还可利用DSP实现数字PID控制[2-4]。PID控制器设计的关键是参数的整定问题，因为AMB的工作过程复杂，在某时刻可能具有高度非线性、时变不确定性、滞后性等特点；或者在外界干扰、负载扰动等因素的影响下，其参数甚至数学模型都会发生改变。经典PID显然不能满足高精度控制的要求，因此出现了利用先进算法进行参数整定的PID控制方法，比如变论域模糊PID控制[5]、模型参考自适应PID控制[6]、改进不完全微分PID控制[7]、仿人智能PID控制[8]等。但这些方法归根结底仍属于PID控制范畴，都需要对原数学模型进行线性化处理，而且无法避免地会产生超调甚至振荡等现象，降低加工质量。

协同控制理论[9]是利用系统的自组织性，各部分之间相互协作，使系统稳定至平衡点。它从被控系统的状态变量出发，将状态变量的线性集合作为宏变量，通过合理地设定，可以降低系统对一些未知参数，例如外部干扰的敏感性，提高系统的鲁棒性；然后让宏变量逐渐趋于零，整个过程就是流形的变化过程，系统先由任意初始状态收敛并保持在流形上，最终顺着流形达到被控系统的平衡位置。流形的收敛过程是连续的，因此求得的控制规律也是连续的，相应地，控制系统的动态跟随性也会比较强，稳态性能也比较好。

协同控制适用于高阶、非线性、强耦合的系统，最开始用于无人机[10]之间的耦合运动。协同控制理论最早成功地投入生产实践是在电力控制领域[11]，用于多个并联电路的控制，后面经过应用开发，开始用于电机的控制：用于永磁同步电机的控制[12-13]，可以在保持不变流形的同时，实现系统的线性化，并降低系统的阶数；用于感应电机的转速控制[14-15]，可以使电机在受到干扰时，仍然保持转子的平稳旋转。对于同一非线性系统，相比滑模控制，协同控制的抗干扰能力更强，而且系统的响应速度更快，鲁棒性也更强，更易于实现控制系统的数字化[16]。综上所述，协同控制理论的适用对象与AMB支承转子系统相吻合，实现的控制效果也是AMB所需要的，因此提出将协同控制理论应用于单自由度AMB的控制，通过理论推导验证该想法的可行性，通过仿真与试验研究其控制效果。

1 单自由度AMB的数学模型

1.1 AMB的控制原理

差动式单自由度AMB的控制原理如图1所示。转子工作之前，必须先从停机位置(最大间隙处)起浮至平衡位置O处，待稳定悬浮之后再施加转速进行工作。首先开启控制器，位移传感器检测到转子处于停机位置，控制器将转子当前位置与设定平衡位置之差作为控制对象，使用控制算法求解出对应该时刻的电流，电流经过功率放大器放大，通入AMB线圈，由于AMB采用差动式结构，转子将受到不平衡的上下磁吸力，于是产生位移。位移一段之后的位置通过传感器反馈，控制器就会再次产生新的控制电流进行下一步的位移控制，直至转子的位置偏差为零，即达到平衡位置，转子实现静态悬浮。当转子开始工作处于稳态悬浮时，如果受到外界干扰力，转子的位置就会偏离平衡点，影响正常的加工制造，因此需要控制系统快速响应，及时将主轴恢复到稳态平衡点，其控制原理和上面相同。

图1 差动式单自由度AMB的控制原理

1.2 AMB的电磁力方程

设单自由度AMB的线圈匝数为N、有效磁极面积为S、线圈偏置电流为I0、工作气隙为g0，并假设：(1)忽略磁悬浮轴承转子的体积，将其看成一个质点，选取质量；(2)不考虑绕组漏磁通；(3)假设铁心与转子之间的磁阻为零；(4)不考虑磁滞和涡流对系统的影响。

根据磁悬浮轴承理论[17]，以单自由度x方向为例，可得电磁力的表达式为

(1)

从式(1)可以看出，电磁力和电流、位移均表现为明显的非线性关系。

(2)

当位移在较小的范围内变化时，可以将电磁力简化为位移与电流的线性组合，即

Fx=kx·x+kix·ix

(3)

AMB线圈的电压方程[18]为

(4)

由上式可见:AMB驱动线圈的电压与电流、电压与转子位移之间也均为非线性关系。

1.3 AMB的线性范围判定

下面是根据式(1)，在MATLAB中模拟在固定电流(位移)情况下的位移(电流)-电磁力响应。其中K=1.25×10-7(N·m2/A2)，i0=3 A，g0=0.3 mm。

从图2—图3可以看出：当|y|≤0.05 mm时，其电磁力与电流之间呈线性关系;超过0.05 mm甚至0.1 mm基本上就是非线性关系;在位移|y|≤0.05 mm的时候，即使是在较大的控制电流范围(-3 A,3 A)内，电磁力与电流之间也较符合线性关系；位移超过0.1 mm，就会明显地呈现为非线性关系。在转子实际工作中，要求控制系统在检测到极其小的位移或者产生位移的趋势时，就要立即对其进行位移控制。

图2 固定电流下的位移-电磁力响应 图3 固定位移下的电流-电磁力响应

2 单自由度AMB的协同控制理论与仿真研究

2.1 单自由度AMB的协同控制器设计

(5)

一般宏变量的设定为状态变量以及控制输入的线性组合，因此可设宏变量为

(6)

其中:kx为位移刚度系数，为已知参数，把它作为基量，以此为基础调节k2、ku，使系统达到较好的控制性能。

协同控制器的控制目标是使系统在有限时间内从任意初始状态收敛并保持在流形ψ(x)=0上，并沿着流形趋向被控系统的平衡点。收敛到流形的动态过程可以采用如下动态方程来描述

(7)

式中:T为时间常数，决定了系统状态变量收敛到流形ψ=0的速度。

将式(6)代入式(7)，即可得到输出位移与控制电流之间的关系为

ku·ix=0

(8)

即

(9)

同理可以设置电压为控制输入，将宏变量中的电流变为电压，再根据电压方程式(4)，同样可以求得控制电压与位移之间的关系，而电流则变成了电压求解位移的中间量。具体推导过程不再给出，宏变量的设置可参考下列公式(10)

(10)

2.2 单自由度AMB的协同控制仿真分析

在MATLAB/Simulink中建模仿真来验证其控制效果。由式(9)和式(2)可得单自由度AMB系统的协同控制仿真模型，和PID控制的仿真模型建立在一起，如图4所示。

图4 电流为控制输入时的协同与PID控制仿真模型

由协同控制模型中可以看出，反馈对象总共有3个：速度反馈，其作用是增加系统的阻尼，提高系统的稳定性及鲁棒性并减小超调量；加速度反馈，可在不增加系统带宽的情况下增加系统的刚度，提高悬浮转子的等效质量，提高系统的动态悬浮刚度，改善系统动态特性；电流反馈，可以降低系统的电网电流扰动作用。

通过不断调节控制参数，找到一组控制效果较好的参数值，如表1所示。

表1 控制参数

脉冲干扰时的PID、协同控制位移响应对比如图5所示，结果表明：(1)电压为控制输入时的控制效果和电流为控制输入几乎无差，但求解过程更加复杂，因此在没有特殊要求时尽量使用电流进行控制；(2)协同控制可以通过调节T的值改变响应时长，如表2所示；(3)当没有干扰产生时，位移在协同控制下0.01 s达到稳定，而PID则需要0.02 s才稳定；(4)t=0.02 s时干扰力产生时，协同控制的反应时间为0.002 s，而PID则需要0.018 s，效果远差于协同控制，干扰消失时的效果也相同。

图5 脉冲干扰时的PID、协同控制位移响应对比曲线

表2 不同时间常数时的位移响应对比

综上所述，协同控制下的位移响应更加迅速，调节时间更短，可以通过调节时间常数T方便地对响应时长进行控制，具有良好的动态稳定性与跟随特性；PID控制参数的调节过程复杂，很难对时长进行有效率、精确的控制。

3 单自由度AMB的协同控制实验研究

协同控制与PID控制思想类似，只是求取控制电流的算法不同。目前数字PID技术已经比较成熟，而协同控制器也同样适用于数字控制，也可以在DSP上改写控制算法进行数字控制。

3.1 硬件设计

以数字PID常用的TMS320F2812为核心控制芯片，选取灵敏度比较高的电涡流位移传感器，以及电流传感器、速度、加速度传感器再加上外围测量电路构成整个硬件系统，如图6所示。

图6 基于DSP的数字控制原理

3.2 软件设计

设计的数字控制器都是时域系统，而DSP中的控制量需要采样时刻的偏差值计算，因此要进行离散系统的转化来逼近连续系统。

PID调节控制电流的公式为

e(k-1)]+i0(k)

(11)

可得

(12)

其中:i代表电流;k代表位移;T为采样周期。PID控制算法的程序框图如图7所示。

图7 PID控制算法程序框图

控制参数kp、ki、kd的值均采用经验法确定，通过实验调试，其值分别为：kp=300、ki=1 500、kd=0。标准PID算法有时会出现饱和效用，这种效应一般在给定值发生突变时发生，也叫启动效应。

对于协同控制而言,对式(9)离散化后求偏差为

(13)

即:

(14)

于是有程序流程框图如图8所示。

图8 协同控制算法程序框图

取仿真验证过的控制参数,其值分别为：kz=90 000、k16=50、k8=0.1，即可达到想要的流形变化效果。效果不好的情况下可根据结果再调整参数。在DSP的集成开发环境CCS7.2.0中进行PID与协同控制的子程序编制。

在这些基础上完成了实验台的搭建，如图9所示。下面进行转子起浮、稳定悬浮和扰动实验，对比协同控制与PID控制的效果。

图9 单自由度磁轴承支承转子系统实验台

3.3 转子静态起浮实验

线圈通电之前，磁轴承转子x方向由于自身重力处于最大位移处；系统一旦启动，转子将迅速回到平衡位置。传感器可以将转子的位移过程记录下来，将其保存并提取数据后在Origin里面作图，得到转子起浮时的位移响应曲线如图10—图11所示。

图10 转子起浮响应曲线

图11 转子起浮响应曲线放大图

转子从最大位移0.3 mm处起浮，t=0.5 s控制器启动后，转子在不同的控制方法下迅速开始位移，极短时间内就达到平衡位置，然后在平衡位置极小的范围内波动。在协同控制下，位移起浮的过程平稳、无超调，0.02 s左右就达到稳定平衡，基本稳定在±0.002 5 mm之内，只有1次波动明显超过该范围，整体起浮性能良好；PID控制下，线圈至少需要通入27 A的电流才能使转子起浮，转子在起浮瞬间产生了超调，达到了-0.012 mm左右，经过0.03 s后，开始在±0.005 mm范围内波动，效果较差，而且后续的波动幅度也比较大，远超协同控制的0.002 5 mm，更有至少5次超过了0.005 mm。

3.4 转子稳定悬浮实验

当转子完成起浮动作、在平衡点处达到稳定悬浮后，启动电机，让转子达到设定转速10 000 r/min，测得转子的位移波形如图12所示。

图12 转子位移波形

在转速上升的0.5 s之内，转子在平衡位置不断发生波动；当转速稳定在10 000 r/min之后，转子波动不断减小。在协同控制下，转子加速过程中，波动范围为±0.03 mm；转速平稳后，基本稳定在±0.01 mm之内。而PID相比协同控制，波形不稳，每段的波动范围都更大，最高可达0.055 mm，大部分都在超过协同控制波形±0.01 mm范围外波动，说明其动态稳态性和稳定时的控制精度不如协同控制。

3.5 转子扰动实验

转子稳定旋转时，给其一个脉冲扰动，得到位移实验结果如图13所示。

图13 不同控制下的转子受扰动时的响应曲线

在t=0.1 s扰动产生瞬间，转子受力向下偏转，偏移平衡位置0.075 mm，该数据比较符合实际生产中转子的允许波动范围；t=0.2 s干扰力消失，转子重新回到平衡位置。PID控制方法下，干扰产生瞬间，位移产生超调现象，超出稳定位置0.075 mm；干扰消失瞬间，超调约0.07 mm，之后才慢慢稳定；转子的每段响应大部分都是在稳定位置±0.05 mm波动，超过该位移范围的次数也比较多。转子在协同控制之下，面对干扰并不会产生超调现象，转子的每段浮动范围也只有0.02 mm，远低于PID的0.05 mm，而且发生较大位移波动的频次也相对PID少很多。协同控制器与PID控制器相比，面对干扰时不会产生超调现象，对外部干扰有更低的敏感性，对转子的动态位移有更好的跟随性，系统的动态稳定性与鲁棒性强。

4 结论

针对单自由度AMB的经典PID线性控制方法的不足，提出对存在干扰、非线性的磁轴承支承转子系统采用协同控制的方法，并将PID控制器和协同控制器进行了仿真与实验对比分析，为单自由度AMB控制器的设计提供了一定的理论与实验基础。文中主要完成的工作有：

(1)建立了单自由度AMB的磁力、电压方程，然后依据协同控制理论，设计了强干扰、非线性的单自由度系统的协同控制器；

(2)在MATLAB/Simulink中对协同控制系统、PID控制系统进行仿真，结果发现无论有无外界干扰，协同控制下的位移响应速度都更快，而且过程平缓、无超调、无振荡，动态稳定性好，抗干扰能力强，所有表现均优于PID控制；

(3)搭建控制系统实验平台，并针对转子起浮、稳定悬浮、受到干扰3种工况分别进行了实验测试。实验结果表明：协同控制下的位移响应迅速，起浮过程平稳，起浮性能良好；转子在工作时，协同控制器可以将位移稳定在更小的范围内；转子受到扰动时，协同控制可以迅速调整位移并稳定在相应位置，系统的跟随性和动态稳定性较好，说明设计的协同控制器参数正确合理，实际控制性能良好。